高等数学教学课件：Lecture 17-Mean Value Problems

1、第三章第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题利用导数解决实际问题罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理泰勒公式泰勒公式 ( (第三节第三节) )推广推广微分中值定理微分中值定理 与导数的应用与导数的应用 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理第一节第一节二、拉格朗日二、拉格朗日( Lagrange )中值定理中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理中值定理 费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理证证: 则则证毕证毕( )yf x

2、0()U x在在有定义有定义且且 存在存在0( )(),f xf x () 或或0()fx 0()0fx 000()()limxf xxf xx 0()fx 0()fx 0 (0 )x (0 )x 0()fx 0 0()0fx o0 xxy0000(),()(),xxU xf xxf x 设设罗尔罗尔(Rolle) 定理定理(2) 在区间在区间 (a , b) 内可导内可导证证:若若 M = m, 在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点, 使使得得( )0.f xyabo( )yf x M 和最小值和最小值 m .所以所以在在 上上取得最大值取得最大值 , a b因为因为 在在

3、上连续，上连续， , a b( )f x( ), , ,f xMxa b则则从而从而( , ),( )0 .a bf (3)( )( )f af b 满足满足:( )yf x (1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续若若 M m, 则则 M 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,1) 定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备, 结论结论不一定不一定成立成立. x1yox1y1 ox1yo不妨设不妨设 ( ) ,Mf a 则至少存在一点则至少存在一点( , ),a b 使得使得( ),fM 则由费马引理得则由费马引理得 ( )0.f ,01( )0,1xxf xx (

4、 ) | 1,1f xxx ( )0,1f xxx 注意注意:2) 定理条件只是充分的定理条件只是充分的.本定理可推广为本定理可推广为)(xfy 在在 ( a , b ) 内可导内可导, 且且 )(limxfax)(limxfbx 在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点, 使使得得( )0.f 证明提示证明提示: 设设证证 F(x) 在在 a , b 上满足罗尔定理上满足罗尔定理 . ( )F x (),f axa ( ),f xaxb(),f bxb 物理解释物理解释:变速直线运动在变速直线运动在折返点处折返点处,瞬时速瞬时速度等于零度等于零.几何解释几何解释:ab1 2 xy

5、o)(xfy C在曲线弧在曲线弧 上至少有上至少有一点一点C，在该点处，在该点处的切线是水平的。的切线是水平的。证明：证明：例例1. 若方程若方程 10110nnna xa xax 有一个正根有一个正根0 x证明证明方程方程 12011(1)0nnna nxa nxa 必有一个必有一个小于小于 的正根的正根.0 x1011 ( ),nnnF xa xa xax 令令则则0(0)()0,FF x且且0( )0,F xx在在上上连续，在连续，在 上可导上可导0(0,)x0(0,),( )0,xF 使使得得由由Rolle中值定理中值定理 知：知：即：即：有一个小于有一个小于 的正根的正根.0 x12

6、011(1)0nnna nxa nxa 方程方程例例2. 证明证明方程方程有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实根正实根 .证证: 1) 存在性存在性 .2) 唯一性唯一性 .5510 xx设设5( )51,f xxx则则在在0,1连续连续 ,( )f x且且(0)1,(1)3.ff 由介值定理知存在由介值定理知存在0(0,1),x 使得使得0()0,f x 即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根0.x假设另有假设另有110(0,1),xxx1()0,f x 使使为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件 ,01( ),f xxx在在以以之间至少之间至少存在一点存在一点

7、01,xx在在, ( )0.f 使使但但4( )5(1)fxx 0,(0,1),x故假设不真故假设不真!矛盾矛盾,二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续(2) 在区间在区间 ( a , b ) 内可导内可导使得使得满足满足:( )yf x 至少存在一点至少存在一点( , ) ,a b ( )( )( ).f bf afba 注注: 若若 ， 则得到则得到Rolle定理定理. ( )( )f bf a 因此因此, 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.思路思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数利用逆向

8、思维找出一个满足罗尔定理条件的函数证证: 问题转化为证问题转化为证( )( )( )0f bf afba ( ) 在在(a, b)内可导内可导, 且且即定理结论成立即定理结论成立 .证毕证毕显然显然 ,在在a, b 上连续上连续,( )x ( )( )bf aaf bba ( )a ( )b 由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点( , ),a b ( )0, 使使xyab)(xfy o ( )( )f bf ayxba xabafbf )()(作辅助函数作辅助函数)(xf( )x 说明说明: : 拉格朗日拉格朗日中值中值公式的公式的另一常见形式另一常见形式：1.拉格朗日中值公式拉格

9、朗日中值公式( )( )( ) f bf afba ( )( )( )(),( , ).f bf afbaa b ( )( )()(),01 .f bf afababa 3. 01, 且且则则 aba2. 则则()( )( )().m baf bf aM ba( ), mfxMaxb 若若,aba 记记).10()( 0 xxxfy也可写成也可写成拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理. .拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式. .拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式精确地表达了函数在一个区间上的精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数增量与函

10、数在该区间在该区间内内某一点某一点处的导数之间的关系处的导数之间的关系. .增量增量 的精确表达式的精确表达式y 4. 00,ax bxx 记记则有则有000()()()(01).f xxf xfxxx ( 不一定很小不一定很小!)|x 证证:若若函数函数在区间在区间 I 上满足上满足则则 在在 I 上必为常数上必为常数.推论推论: ( )f x( )0,fx ( )f x在在 上使用拉格朗日上使用拉格朗日中值公式中值公式 , 得得12,xx21()()f xf x 21( )()fxx 0 12()xx 21()()f xf x由由 的的任意性知任意性知, 12,xx 在在 I 上为常数上为

11、常数 .( )f x1212,(),xxxx 在在 I 上任取两点上任取两点例例2. 证明证明等式等式证证:由推论可知由推论可知经验经验:arcsinarccos, 1,1.2xxx ( )arcsinarccos,f xxx设设( 1,1) 在在上上则则( )fx 211x 211x 0 (常数常数) ( )arcsinarccosf xxxC令令 x = 0 , 得得.2C 又又( 1),2f 故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立. 1,1 欲证欲证时时xI 0( ),f xC 只需证在只需证在 I 上上( )0,fx 0,xI且且00().f xC 使使练习：练习：arct

12、anarccot,2xx(,)x 例例3. 证明不等式证明不等式证证:ln(1)(0).1xxxxx ( )ln(1) ,f tt设设即即因为因为故故从而有从而有则则 在在 上满足拉格朗日中值定理条件上满足拉格朗日中值定理条件,( )f t0, x( )(0)f xf( )(0),0fxx ln(1)x ,01xx 1xx 1x x ln(1)(0)1xxxxx 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理及及满足满足 :( )f x( )F x至少存在一点至少存在一点( , ) ,a b 使使( )( )( ).( )( )( )f bf afF bF aF (3) 在在开区间开区间 内

13、内( )0Fx ( , )a b(2) 在在开区间开区间 内内可导可导( , )a b(1) 在在闭区间闭区间 上上连续连续 , a b注注: 若若 则得到拉格朗日中值定理则得到拉格朗日中值定理. ( ),F xx 拉格朗日中值定理是拉格朗日中值定理是柯西中值定理柯西中值定理的特殊情形的特殊情形.思考思考: 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ?( )( )( )(),( , )f bf afbaa b 错错! !( )( )( )(),( , )F bF aFbaa b 上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论. 两个两个 不不一定相同一定相同分析分析:( )( )F bF a (

14、 )()Fba 0 ab 0)()()()()()( fFaFbFafbf( ) 问题可转化为证问题可转化为证( )( )( )( )( )( )( )f bf axF xf xF bF a 构造辅助函数构造辅助函数由罗尔定理知由罗尔定理知, 至少存在一点至少存在一点( , ),a b ( )( )( )( )( )( )( )( )f b F af a F babF bF a 则则 在在 上连续，上连续， 在在 内可导，且内可导，且( )x , a b( , )a b证明证明: ( )( )( )( )( )( )( )f bf axF xf xF bF a 作辅助函数作辅助函数使得使得即即

15、( )( )( ).( )( )( )f bf afF bF aF ( )0, 柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:)( F)(aF)(af)(bF)(bf注意注意:弦的斜率弦的斜率切线斜率切线斜率xyO( )( )( )( )( )( )f bf afF bF aF d( )d( )yftxF t ( )( )xF tyf t ( )( )fF (1)(0)(1)(0)ffFF 例例4. 设设证证:因此在因此在 (0,1) 内至少存在一点内至少存在一点 , 使得使得01 即即在在0,1 上连续上连续, ( )f x(0,1), ( )2 (1)(0).fff (1)(0)( )102fff

16、 2( )()fxxx 在在(0, 1)内可导内可导, 证明证明至少存在一点至少存在一点使使问题转化为证问题转化为证设设2( ),F xx 则则在在 0, 1 上满足柯西中值上满足柯西中值定理条件定理条件, ( ),( )f xF x( )2 (1)(0).fff 2 例例5. 试证至少存在一点试证至少存在一点使使证证: 法法1 用柯西中值定理用柯西中值定理 .则则 f (x) , F(x) 在在 1, e 上满足柯西中值定理条件上满足柯西中值定理条件, 令令因此因此 即即分析分析:(1,e) sin1cosln. sin1cosln 1cosln(e)(1)( ),(1,e)1(e)(1)(

17、 )fffFFF ( )sinln,( )lnf xxF xxsin1cosln sinlne sinln1lne ln1 1cosln1 法法2则则 f (x) 在在 1, e 上满足罗尔中值定理条件上满足罗尔中值定理条件,使使例例5. 试证至少存在一点试证至少存在一点使使(1,e) sin1cosln. ( )sinlnf xx sin1 ln x因此存在因此存在(1,e) , ( )0f ( )fx sin1cosln 1x cosln xsin11x令令法法3则则 f (x) 在在 1, e 连续，且连续，且例例5. 试证至少存在一点试证至少存在一点使使(1,e) sin1cosln.

18、 ( )coslnsin1f xx令令(1)cosln1sin11sin10f( )coslnsin1cos1sin1f ee1sin()sin102 由零点定理知，由零点定理知，使使存在存在(1,e) , ( )0.f sin1=cosln 即即：内容小结内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理)()(afbf xxF )()()(afbf xxF )(2. 微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1) 证明恒等式证明恒等式(2) 证明不等式证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关

19、中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数费马引理费马引理思考与练习思考与练习1. 填空题填空题3415)4,3(, )2,1(, )3,2(上上.1) 函数函数在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件, 则中值则中值._ 4( )f xx 44321421 2) 设设有有个根个根 , 分别分别位于位于区间区间方程方程( )(1)(2)(3)(4),f xxxxx( )0fx 32. 设设且在且在内可导内可导, 证明至少存证明至少存在一点在一点使使( )0, ,f xC (0, )(0, ), ( )( )cot.ff 提示提示: 由结论

20、可知由结论可知, 只需证只需证即即验证验证)(xF在在,0上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件.设设( )sin( )cos0ff ( )sin0 xf xx ( )( )sinF xf xx 提示提示:可导可导, 试证在其两个零点间一定有试证在其两个零点间一定有的零点的零点. ( )( )f xfx ( )f x3. 若若欲证欲证:12(,),xx 使使( )( )0ff ( ) ( )0ff 只要证只要证e e 亦即亦即e( )0 xxf x 作辅助函数作辅助函数( )e( ) ,xF xf x 验证验证在在上上满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件.( )F x12,xx1212()()0

21、,f xf xxx设设4. 思考思考: 在在即即应用拉格朗日中值定理得应用拉格朗日中值定理得上对函数上对函数0, x21sin,0( )0 ,0 xxxf xx ( )(0)( )(0),(0, )f xffxx 21sinxx(2 s n1i 1cos) , x (0, )x cos2 sinsin111x 当当时时0 x 0 , 因此由上式得因此由上式得cos10. 问问是否可由此得出是否可由此得出 0limc1os0?xx 不能不能 !因为因为)(x 是依赖于是依赖于 x 的一个特殊的函数的一个特殊的函数.表示表示 x 从右侧从右侧以任意方式趋于以任意方式趋于 0 . 0 x思考题答案思

22、考题答案作作 业业P134. 8, 10, 11, 12, 14提示提示:题题15.( )(0)-0nf xfx 111()(0)-0nffn 作业提交时间：作业提交时间：2013年年11月月20日上午日上午10:00am.备用题备用题求证存在求证存在使使1. 设设 可导，且可导，且在在连续，连续，使得使得( )f x0,1(0,1)(1)0 ,f (0,1), ( )( )0.nff 证证: 设辅助函数设辅助函数( )( )nxx f x 显然显然在在 上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件,( )x 0,1因此至少存在因此至少存在(0,1) , ( ) 1( )( )nnnff 0 即即(

23、)( )0nff 设设 证明对任意证明对任意有有证：证：2.( )0 ,(0)0fxf 120,0 xx1212()()()f xxf xf x不妨设不妨设120 xx1221()()()f xxf xf x 1221()()()(0)f xxf xf xf21()fx 11()fx 2212(,xxx 110)x 121( )()0 x f 12()1212()()()f xxf xf x3. 设设 在在0,1上连续，在上连续，在(0,1)内可导，内可导， 且且(0)0,(1)1,ff证明证明:(2) 在在(0,1)内存在两个不同的点内存在两个不同的点 使得使得12()()1ff 12, (

24、 )f x(1) 存在存在(0,1), s.t. ( )1.f(2005 年期中年期中)4. 设设 在在a,b上连续，在上连续，在(a,b) 内可导，内可导， 且且( )0,( )0,f af b( )f x(1) 存在存在( , ), s.t. ( )( )a bff (2006 年期中年期中)又有又有( , ),( )0ca bf c5. 设设 在在0,1上连续，在上连续，在(0,1)内可导，内可导， 且且(0)0,(1)0,ff证明证明:(3) 存在存在 在该邻域内在该邻域内( )1.f x o10,1,2 ( )f x(1) 存在存在1( ,1), s.t. ( )2f(2007 年期

25、中年期中)21/2( )1lim1,(1/ 2)xf xx (2) 存在存在(0, ), s.t. ( )( )1ff 6. 设设 在在 上连续可导，当上连续可导，当 时时, 其中其中 为常数为常数, 证明若证明若 ( )0,fxk( ) ,f aa ak ( ) ,)f xa xa k( )0f x 在在 内有唯一实根内有唯一实根则方程则方程( )0,f a (2009 年期中年期中)7. 设设 在在0,1上连续，在上连续，在(0,1)内可导，内可导， 且且(0)0,(1)1,ff证明证明:(2) 在在(0,1)内存在两个不同的点内存在两个不同的点 使得使得12,x x( )f x(1) 存

26、在存在1(0,1), s.t. ( ).2f12112()()fxfx(2010 年期中年期中)证证,1 , 0)(上上连连续续在在又又xf由介值定理由介值定理, ,8. 设设 在在0,1上连续，在上连续，在(0,1)内可导，内可导， 且且(0)0,(1)1,ff试证：对任意给定的正数试证：对任意给定的正数 a, b,在在(0,1)内存在不同的内存在不同的 使得使得.( )( )ababff, ( )f x 0,0ab01aab (0,1), 存存在在( ),afab 使使得得( )0, , ,1,f x在在上上用用拉拉氏氏中中值值定定理理 有有由由(1)(2)有有(1)(2)( )(0)(0)( ),(0, )fff (1)( )(1)( ),( ,1)fff 注意到注意到(0)0,(1)1,ff( )afab 1(1)( )abbf ()