高等数学教学课件：Lecture 03-Limits of Sequences

1、复习复习函数函数的有界性的有界性(下下)(下下)( ) ,( ),XDKxXf xK 若若有有成成立立( ).f xX在在 上上有有上上界界称为一个上界称为一个上界K则称则称,0,( ),XDMxXf xM 若若有有成成立立在在 上有界上有界.( ) f xX则称函数则称函数 使使若对任意正数若对任意正数 M , 均存在均存在 则称则称 无无界界.,xD ( ),f xM ( )f x二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节数列的极限数列的极限一一. 数列极限的定义数列极限的定义1. 概念的引入概念的引入我们在绪论中讲到我们在绪论中讲到:求由求

2、由 x 轴，轴， 所围曲边三角形的面积所围曲边三角形的面积 A21, xyx我们利用阶梯形的面积我们利用阶梯形的面积来逼近来逼近曲边三角形的曲边三角形的面积面积nnini1211 11231niinnA进而进而,需要讨论其变化趋势需要讨论其变化趋势)( n从以上问题中从以上问题中, 抽象抽象出数列、数列的极限的定义出数列、数列的极限的定义.(极限极限)nA阶阶梯梯形形面面积积2612131n n 2111326nnA13 123,nA A AA,1,2,n将区间将区间 0,1 进行进行 等分，得到一列有等分，得到一列有次序的阶梯形的面积数次序的阶梯形的面积数(数列数列)123,nA A AA2

3、. 数列的定义数列的定义称为称为无穷无穷数列数列, ,简称简称数列数列. .12, , , , nxxx从小到大排列的一列从小到大排列的一列数数 定义定义: : 如果按照某一对应法则，对每个如果按照某一对应法则，对每个 , , 对对应应一个确定的实数一个确定的实数 Nn这些实数这些实数按照下标按照下标,nxnxn对于数列对于数列, ,我们要研究的是我们要研究的是: :?即极限的问题即极限的问题.nxa()n nO1 2 3n( )nxf n ( )f n注：注： 数列数列是是整标整标函数，函数， 其图形其图形为为 xoy 平面平面上点的集合上点的集合.1x2x3xnx数列数列 记记为为例如：例

4、如：数列中的每个数称为数列的数列中的每个数称为数列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项). nx12,nxxx1( 1):n 11, 1, 1, , ( 1),;n 1 42,2 31( 1),;nnn 1( 1):nnn 1 1 1,2 4 81,;2n1:2n并不是所有的数列都有通项公式并不是所有的数列都有通项公式3,33,333 ,问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划它如何用数学语言刻划它?观察观察数列数列 当当n 无限增大时的发展趋势无限增大时的发展趋势(定性的描述定性的描述)1nxn 1nxn 无限接近于无限接近于0，称，称 0 为为 的极限的

5、极限1n0, nxa . 当当 时，时，nN N (正整数正整数)，有有 当当 n 无限无限增大时增大时, 无限接近于某一无限接近于某一确定确定的的数值数值 a, 则则称称a为数列为数列 的极限的极限.一般地一般地,nxnxlimnnxa ()nxan 定义定义: 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 （不论它多么小）（不论它多么小）,总存在正整数总存在正整数 , 使得对于使得对于 时的一切时的一切 , 不等式不等式 都成立，那么就称常数都成立，那么就称常数 为数列为数列 的极限。或者称数列的极限。或者称数列 收敛于收敛于 ， 记为：记为： NnN nx|nxa anxnxa或者或者如

6、果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：刻画刻画 与与a 的无限接近的无限接近nx2. N 的存在性，的存在性，1. 的任意性，的任意性， 3. N 与任意给定的正数与任意给定的正数 有关。有关。 不唯一不唯一1( 1)1,nn 例如：例如：1nx 111( 1)nnn 1,100 给定给定11,100n 若若要要100,n 只只要要100,N 取取当当 时，时，nN 11;100nx 有有1,1000 给定给定1000,n 只只要要11;1000nx 有有1,10000 给定给定10000,n 只只要要11;10000nx 有有0, 给定给定1( ),n

7、N 只只要要1;nx 有有几何解释几何解释: : 当当 时，时，nN nxa 由由于于naxaxa2x1x当当 时，所有的点时，所有的点 都落在都落在 内，内，nN (,)aanx只有有限个只有有限个(至多只有至多只有 N 个个)落在其外落在其外.a a 3x4x1Nx 2 2Nx limnnxa0,N nN .nxa 恒恒有有当当 时时,都都落落在在绿绿色色区区域域内内n0AN1 2 3N+21x2x3xnx 数列数列极限几何解释极限几何解释对一切对一切 n N 自然数自然数 N A 的的 邻域邻域limnnxA A A nx数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.

8、 .注意：注意：limnnxa0,N nN .nxa 恒恒有有当当 时时,例例1nxC 设设 ( (C为常数为常数) )，证明，证明 lim.nnxC 证证对任意对任意0, 对于一切自然数对于一切自然数 n ,nxC CC0 , 成成立立所以所以, ,说明说明: : 常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数. .lim.nnxC 例例2. 已知已知2( 1),(1)nnxn 证明证明lim0 .nnx 证证:只要只要即即N 与与 有关有关, 但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N .说明说明: 0nx 2( 1)0(1)nn 21(1)n 11n (0,1), 欲使欲使0,

9、nx 1,1n n 11. 取取11,N 则当则当时时, 就有就有nN 0,nx 故故2( 1)limlim0(1)nnnnxn 2231lim2342nnnnn . .例例3证明证明证明证明:0, 2223134,23422(234)nnnnnnn 解解不不等等式式222313423422(234)nnnnnnn223477,2(2)44nnnnnn 2231,2342nnnn 若若要要7,4n 只只要要7,4n 7,4N 取取22317.23424nnnnn 2231lim2342nnnnn . .则当则当 时时,nN 任意给定任意给定0, 例例4证证limnnxa0,N nN .nxa

10、恒恒有有当当 时时,lim0,1.nnqq其其中中0,q 若若limlim00;nnnq则则01,q若若(不妨设不妨设 )1 0,nnxq 要要使使lnln ,nq 只只要要ln,lnnq 即即只只要要ln,lnNq 取取0,nq 就就有有lim0.nnq证明证明则当则当 时时,nN ,Nnnnxaxaxa 例例5证证小结小结:limnnxa0,N nN .nxa 恒恒有有当当 时时,用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找 N, 但但不必要求最小的不必要求最小的N.0, 设设0,lim0,nnnxxa且且证明证明lim.nnxa 任意给定任意给定0

11、, lim,nnxa 当当 时时,nN .nxaa 恒恒有有从而有：从而有：nxaa aa lim.nnxa 故故所以所以,limnnxa0,N nN .nxa 恒恒有有当当 时时,lim1,(0).nnaa例例6证明证明证明证明当当a =1时为常数列，结论显然成立时为常数列，结论显然成立.1,a 0,|1|1,nnaa要要使使若若1lnln(1),an 只只要要ln,ln(1)an 即即ln1,ln(1)aN 取取则当则当 时时,nN 1,na 有有综上所述，即知结论成立综上所述，即知结论成立.问题：有没有别的证明方法？问题：有没有别的证明方法？再设再设01,a1,ab 令令则则1.b li

12、m1.nna 因因此此，111nnnnbabb , （令令）由前述所证，取由前述所证，取ln1,ln(1)bN 则当则当 时时,nN 11,nnab 所以所以,limnnxa0,N nN .nxa 恒恒有有当当 时时,lim1,(0).nnaa例例6证明证明证明二证明二当当a =1时为常数列，结论显然成立时为常数列，结论显然成立.1,a 若若1,(0),nnna令令则则(1)11,nnnnnnann101nnaan 0, 1,na 若若要要1,an 只只要要1,an 或或1,aN 取取则当则当 时时,nN 1,na 有有lim1;nna综上所述，即知结论成立综上所述，即知结论成立.再设再设01

13、,a1,ab 令令则则1.b lim1.nna 因因此此，111nnnnbabb , （令令）由上述所证，取由上述所证，取1,bN 则当则当 时时,nN 11,nnab 1. 唯一性唯一性定理定理1 收敛的数列有唯一的极限收敛的数列有唯一的极限.证证由定义由定义,二二. 数列数列极限的性质极限的性质设设lim,lim,nnnnxaxb又又120,.NN 使使得得当当 时时,1nN ;nxa 恒恒有有;nxb 恒恒有有当当 时时,2nN 12max,NNN 取取则当则当 时有时有,nN ()()nnabxbxannxbxa2 .故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.上式仅当上式仅当a =b 时才

14、能成立时才能成立.但是，注意到但是，注意到例例6 证明数列证明数列 是发散的是发散的 证证由定义由定义, 对于对于区间长度为区间长度为1.不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的区间内的区间内.由定理由定理1,其极限唯一其极限唯一.1( 1)nnx lim,nnxa 假设假设1,2 ,N 使使得得当当 时有时有,nN 1,2nxa成成立立即当即当 时时,nN 11(,),22nxaanx无休止地反复取无休止地反复取 两个数，两个数，1,1 所以所以 数列数列 是发散的是发散的. 1( 1)nnx 2. 有界有界性性例如例如,有界有界无界无界定义定义,0,nxMnN 若若有有对于数列对于数列

15、,nxM 则称数列则称数列 有界，否则称为无界有界，否则称为无界. nx1nnxn 数列数列2nnx 数列数列nx数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间都落在闭区间 上上. .,M M 定理定理2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证由定义由定义,注：有界是数列收敛的必要条件但非充分条件注：有界是数列收敛的必要条件但非充分条件,即即lim,nnxa 设设1, 取取,N 使使得得则则当当 时恒有时恒有nN 1,nxa11.naxa即即: : 1max,1 ,1,NMxxaa记记,nxM 则对一切自然数则对一切自然数 n, 均有均有 .nx故故有有界界有界有界收敛收敛:

16、nx1:( 1),n 如如有有界界但发散但发散推论推论 无界数列无界数列 发散发散.3. 保保号性号性证明证明定理定理3lim0 (0),nnxaa如如果果或或,N 使使得得则则当当 时恒有时恒有nN 0nx (0).nx 或或lim,nnxa 由由于于由定义由定义0.a 的的情情形形仅证仅证0,2a 取取,N 当当 时恒有时恒有nN ,2naxa ,22naaaxa即即0.22naaxa从而从而推论推论1lim0nnxa如如果果，,N 使使得得则则当当 时，时，nN 恒有恒有| |.2nax 证证明明 用反证法用反证法, 定理定理3lim0 (0),nnxaa如如果果或或,N 使使得得则则当

17、当 时恒有时恒有nN 0nx (0).nx 或或0,a 假设假设由极限的保号性，由极限的保号性，2,N 使使得得当当 时时, 有有2nN 0.nx 1,2max,NN N 取取当当 时有时有nN 0, 0nnxx及及同时成立，矛盾。同时成立，矛盾。0.a 故故必必有有nx如果如果当当 时有时有0nx (0).nx 或或lim,nnxa 且且0(0)aa或或则则1nN 是否成立？是否成立？推论推论2nx如果如果当当 时有时有1nN 0nx (0).nx 或或lim,nnxa 且且则则0(0).aa或或4. 子子数列的收敛性数列的收敛性注意：注意：例如，例如，定义：定义：在数列在数列 中任意抽取无

18、限多项，并保持中任意抽取无限多项，并保持 nx这些项在原数列这些项在原数列 的先后次序，这样得到的一的先后次序，这样得到的一 nx个数列称为原数列个数列称为原数列 的子数列的子数列(或子列或子列) nx112121,knnnnnx xxxxxx 12,knnnxxx在子数列在子数列 中，中， 一般项一般项 是第是第 k 项，项，knxknx而而 在原数列在原数列 中却是第中却是第 项，显然项，显然.knk knxknxkn0, 0,N 使使得得,KN 取取则当则当 时，时，kK 定理定理4. 收敛收敛数列的任一子数列也收敛且数列的任一子数列也收敛且极限极限 相同相同（反之结论成立）（反之结论成立）证证证毕证毕lim,nnxa 当当 时恒有时恒有nN .nxa 设数列设