重积分主要内容

1、 主主 要要 内内 容容1. 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质2. 二重积分的计算法二重积分的计算法3. 二重积分的应用二重积分的应用4. 三重积分的概念及其计算法三重积分的概念及其计算法5. 利用柱面坐标和球面坐标计算利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分三重积分第九章第九章 重重 积积 分分第九章第九章 重重 积积 分分 1、理解重积分的定义，熟悉重积分的性质； 2、掌握二重积分的计算法（包括直角坐标，极坐标），掌握三重积分的计算法 （包括直角坐标，柱面坐标，球面坐标） 3、熟悉重积分在几何、物理中的应用（包括平面图形的面积、立体体积；平面薄片和空间立体的质量、重心和转动惯量（惯性矩）

2、；第一节第一节 二重积分的概念二重积分的概念与性质与性质 二重积分的引入二重积分的引入 二重积分的概念二重积分的概念 二重积分的性质二重积分的性质=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.=？特点特点：曲顶：曲顶.2曲顶柱体曲顶柱体的体积的体积一、问题的提出一、问题的提出1平顶柱体平顶柱体的体积的体积二、二重积分的概念二、二重积分的概念1什么是曲顶柱体？什么是曲顶柱体？z,zfx y( , )0f x y 显然，显然，平顶柱体的体积平顶柱体的体积=底面积底面积高高，而曲顶，而曲顶柱体的体积不能直接用上式计算，那么怎样来计柱体的体积不能直接用上式计算，那么怎样来计算呢？算呢？ 以以 xoy 平面的

3、平面的有界闭区域有界闭区域d为底为底、侧面是以、侧面是以d的边界曲线的边界曲线c作准线而母线平行于作准线而母线平行于 轴的柱面，轴的柱面，顶是曲面顶是曲面这里这里且且在在d上连续所形成的立体上连续所形成的立体称为称为曲顶柱体曲顶柱体（如上（如上图）。图）。2. 其体积其体积v怎样计算？怎样计算？xzyo 由第五章由第五章求曲边梯形面积的方法求曲边梯形面积的方法就不难想到就不难想到下面的解决办法：下面的解决办法：用一组曲线网将用一组曲线网将xoy面上的区域面上的区域d划分划分为为n个小区域个小区域12,.n(1,2, )iin也同时记为它们的面积，也同时记为它们的面积，分别以各小闭区域的边界曲线

4、为准线，作母线分别以各小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于平行于z轴的柱面，这些柱面轴的柱面，这些柱面把原曲顶柱体分为把原曲顶柱体分为n个小曲顶柱体个小曲顶柱体当这些小闭区域的直径很小时，当这些小闭区域的直径很小时，连续函数连续函数 的变化不大，这时小的变化不大，这时小曲顶柱体可曲顶柱体可近似近似看作平顶柱体在每个看作平顶柱体在每个( ,)f x y(1,2, )iin中各中各任取任取一点一点(,)(1,2, )iiipin (,)iif以为高而底为为高而底为i的小平顶柱体体积为的小平顶柱体体积为( ,)(1,2, )iiifin 这这n个平顶柱体体积之个平顶柱体体积之和和1(,)niiii

5、f 可作为整个曲顶柱体体积的近似值令可作为整个曲顶柱体体积的近似值令n个个小闭区域的小闭区域的直径中的最大值（记作直径中的最大值（记作）趋于零趋于零，取上述和的取上述和的极限极限，所得的极限就，所得的极限就定义为所论曲顶柱体的体积定义为所论曲顶柱体的体积 综合起来，即所谓“分割、近似、作分割、近似、作和、取极限和、取极限”四步。xzod),(yxfz i),(ii 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动

6、画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱

7、体的体积采用 “分割、近似、分割、近似、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示步骤如下：步骤如下：(3)用若干个小平顶柱体用若干个小平顶柱体体积之体积之和和近似近似表示曲顶表示曲顶柱体的体积，柱体的体积，xzyod),(yxfz i),(ii10( , )lim.niiiivf (4)取极限：曲顶柱体的体积取极限：曲顶柱体的体积(1)先先分割分割曲顶柱体的曲顶柱体的底，并取典型小区域底，并取典型小区域i (2)( , )iiiivf :近似11( , )nniiiiiivvf 1maxii n 其中 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域面上的闭

8、区域d，在，在点点),(yx处的面密度为处的面密度为),(yx ，假定，假定),(yx 在在d上上连续，平面薄片的质量为多少？连续，平面薄片的质量为多少？ 求平面薄片的质量求平面薄片的质量 i),(ii将薄片将薄片分割分割成若干小块，成若干小块，取典型小块，将其取典型小块，将其近似近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之所有小块质量之和和近似等于薄片总质量（近似等于薄片总质量（极限）极限）.),(lim10iiniim xyo定义定义 设设),(yxf在有界闭区域在有界闭区域d上有定义，将闭区上有定义，将闭区域域d任意任意分成分成n个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，n ，其，其中中i

9、表示第表示第i个小闭区域，也表示它的面个小闭区域，也表示它的面积，在每个积，在每个i 上上任取一点任取一点),(ii ， 作乘积作乘积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ， 并作和并作和 iiniif ),(1， 3.二重积分的定义二重积分的定义如果当各小闭区域的如果当各小闭区域的直径中的最大值直径中的最大值 趋近于零趋近于零时， 这时， 这和式的极限和式的极限存在， 则称此极限为函数存在， 则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 d d 上的上的二重积分二重积分， 记为记为 ddyxf ),(， 即即 ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . (1) 在在二二

10、重重积积分分的的定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的. 注：注：(2)当当),(yxf在在闭区域上连续闭区域上连续时，或时，或分片连续且有界分片连续且有界，定，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. (3)几何意义：几何意义：当被积函数大于零时，二重积分是柱当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值).(),(),()4(drfdyxfdyxfd 记记上上可可积积，在在存存在在，称称若若xyo(5) 面积元素为面积元素为ddxdy二重积分

11、可写为二重积分可写为( , )( , )ddf x y df x y dxdy ddyxfv ),()6( ddyxm ),(性质性质当当 为常数时为常数时，k.),(),( dddyxfkdyxkf 性质性质 ddyxgyxf ),(),(.),(),( dddyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 ddddyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为d的面积，的面积，.1 dddd 性质性质 若在若在d上上),(),(yxgyxf .),(),( d

12、ddyxgdyxf 推论推论(1).),(),( dddyxfdyxf )(21ddd 则有则有 dyxfdyxfdyxfddd ),(),(),(即证：即证：),(),(),(yxfyxfyxf 证明：证明：）据据性性质质（ 5 dyxfdyxfdyxfddd ),(),(),( 设设m、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 d 上上的的最最大大值值和和最最小小值值， 为为 d 的的面面积积，则则性质性质 dmdyxfm),(（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）例例 1 1 估计估计 dxyyxdi16222 的值，的值， 其中其中 d： 20, 10 yx. 区域面积区域面积

13、2 ,16)(1),(2 yxyxf在在d上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxm),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2, 1( yx 故故4252 i. 5 . 04 . 0 i解解 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域d上上连连续续， 为为d的的面面积积，则则在在 d 上上至至少少存存在在一一点点),( 使使得得性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理） ),(),(fdyxfd为连续函数。为连续函数。，其中，其中、求、求例例),(),(1lim222220yxfdxdyyxfyx 解解：据据积积分分中中值值定定理理 ),(1lim),(1lim202022

14、2iiyxfdxdyyxf 220),(1lim iif ).0 , 0(f .0),(,0),(),(3 yxfdyxfdyxfd则则且且上上非非负负连连续续，在在有有界界闭闭区区域域、若若例例 0),(,),(, 0),(0000 yxfdyxyxf使使则则证证明明：若若00),( , 0),(dyxyxfdd ，使，使则则0),(0 dyxfd0),(),(0 dyxfdyxfdd. 0),( yxf矛盾矛盾例例 4 4 判断判断 122)ln(yxrdxdyyx的符号的符号.0r1 当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)

15、ln(22 yx于是于是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解性质性质8. 0),(),(),(1 ddyxfyxfyxfyd 则则轴对称，轴对称，关于关于、若、若. 0),(),(),(2 ddyxfyxfyxfxd 则则轴对称，轴对称，关于关于、若、若.),(2),(),(),(11 dddyxfdyxfyxfyxfddyd 则则在第一象限部分，在第一象限部分，为为轴对称，轴对称，关于关于若若.),(4),(),(),(),(),(,11 dddyxfdyxfyxfyxfyxfyxfddyxd则则在第一象限部分，在第一象限部分，为为轴对称，轴对称，关于关于若若.),(2),(),(),

16、(11 dddyxfdyxfyxfyxfddxd 则则在第一象限部分，在第一象限部分，为为轴对称，轴对称，关于关于若若分分计计算算、化化简简下下列列二二重重积积例例5. 1:,)cos(sin12222 yxddyxxyd 、.2:,)sin(222223yyxddyxxd 、所围区域。所围区域。及及是由是由其中其中、14,)(322 yxyxyddyxd dxyyx14、22： 1 sin cos()0dxyxy d(答 案 、0)sin(2223 ddyxx 、 12)(3ddyddyx 、1110000444)xyxyxyxxyyxydxydxyd 、思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处.课外思考题：课外思考题： 能否用一个积分式表示二者？能否用一个积分式表示二者？ 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被