微积分基本公式

1、5.2 微积分基本公式微积分基本公式0 积分上限函数积分上限函数0 微积分基本公式微积分基本公式第五章第五章 定积分定积分变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为变速直线运动中路程为 21)(TTdttv 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时是时间间隔间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程求物体在这段时间内所经过的路程.另一方面这段路程可表示为另一方面这段路程可表示为)()(12TsTs 一、问题的提出).()()(1221TsTsdttv

2、TT ).()(tvts 其中其中 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上连续，并且设上连续，并且设x为为,ba上的一点，上的一点， xadxxf)(考察定积分考察定积分 xadttf)(记记.)()( xadttfx积分上限函数积分上限函数 如如果果上上限限x在在区区间间,ba上上任任意意变变动动，则则对对于于每每一一个个取取定定的的x值值，定定积积分分有有一一个个对对应应值值，所所以以它它在在,ba上上定定义义了了一一个个函函数数，二、积分上限函数及其导数abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具

3、有有导导数数，且且它它的的导导数数是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 积分上限函数的性质积分上限函数的性质xx 证证dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由积分中值定理得由积分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x 如如果果)(tf连连续续，)(xa、)(xb可可导导，则则dttfxFxbxa )()()()(的的导导数数)(xF 为为补充补充 )()(

4、)()(xaxafxbxbf 证证 dttfxFxaxb)()(0)()(0 dttfxb )(0)(,)()(0dttfxa )()()()()(xaxafxbxbfxF )()()()(xbxadttfdxdxF例例1 1 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.例例 2 2 设设)(xf在在),(内连续，且内连续，且0

5、)( xf.证明函数证明函数 xxdttfdtttfxF00)()()(在在), 0( 内为单调增内为单调增加函数加函数.证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxF)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.例例 3 3 设设)(xf在在1 , 0上上连连续续，且且1)( x

6、f.证证明明 1)(20 dttfxx在在1 , 0上上只只有有一一个个解解.证证, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 1)( xf)(xF在在1 , 0上上为为单单调调增增加加函函数数., 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xF即原方程在即原方程在1 , 0上只有一个解上只有一个解.令令定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函上连续，则积分上限的函数数dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一个上的一个原函数原函数. .定理的重要意义：定理

7、的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系间的联系.定理定理 3 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）如如果果)(xF是是连连续续函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的一一个个原原函函数数，则则)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一个个原原函函数数, 已知已知)(xF是是)(xf的一个原函数，的一个原函数，CxxF )()(,bax 证证三、牛顿莱布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttf

8、aaa,)(CaF ),()()(aFxFdttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微积分基本公式表明：微积分基本公式表明： baxF)( 一个连续函数在区间一个连续函数在区间,ba上的定积分等于上的定积分等于它的任意一个原函数在区间它的任意一个原函数在区间,ba上的增量上的增量.注意注意当当ba 时，时，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转化为求原函数的问题.例例4 4 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式

9、20cossin2 xxx .23 例例5 5 设设 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo12例例6 6 求求 .,max222 dxxx解解由图形可知由图形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 例例7 7 求求 解解.112dxx 当当0 x时时，x1的的一一个个原原函函数数是是|ln x,dxx 121 12

10、|ln x. 2ln2ln1ln 例例 8 8 计计算算曲曲线线xysin 在在, 0 上上与与x轴轴所所围围 成成的的平平面面图图形形的的面面积积.解解 面积面积xyo 0sin xdxA 0cos x. 2 3234)(2xxxf解解：例例. 设,d)(2d)()(20102xxfxxfxxxf求).(xf定积分为常数 ,d)(10axxf设bxxf20d)(abxxxf2)(2, 则10d)(xxfa33x22bxax20120d)(xxfb33x22bxax202ab2231ab4238,31a34b故应用积分法定此常数 .例例求解解：20dsin2sinxxnxIn的递推公式(n为正

11、整数) . 由于,dsin) 1(2sin201xxxnIn因此1nnII20d) 12cos(2xxn20dsinsin) 12cos(2xxxxn12) 1(21nn1nnII12) 1(21nn所以), 3 ,2(n2dcos2201xxI其中3.微积分基本公式微积分基本公式1.积分上限函数积分上限函数 xadttfx)()(2.积分上限函数的导数积分上限函数的导数)()(xfx )()()(aFbFdxxfba 四、小结牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系之间的关系思考题思考题 设设)(xf在在,ba上上连连续续，则则dttfxa )(与与

12、duufbx )(是是x的的函函数数还还是是t与与u的的函函数数？它它们们的的导导数数存存在在吗吗？如如存存在在等等于于什什么么？思考题解答思考题解答dttfxa )(与与duufbx )(都都是是x的的函函数数)()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 一一、 填填空空题题：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ . .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,2

13、10,)(2xxxxxf . .5 5、设、设 ,coscos1nxdxmxI dxnxmx sinsin，练练 习习 题题（1 1） 、当） 、当nm 时，时， 1I= =_ , ,2I= =_ _ ，（2 2） 、当） 、当nm 时，时，1I= =_ ,_ ,2I= =_ . . 6 6、设、设,sincos nxdxmx（1 1） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ _ , ,（2 2） 、当） 、当nm 时，时，3I= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . . 9 9、 xdttxx020coslim_ . .二、二、 求导数：求导

14、数：1 1、 设函数设函数)(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所确所确定，求定，求dxdy ；2 2、 设设 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、设、设 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 三、三、 计算下列各定积分：计算下列各定积分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx . .四、四、 求下列极限：求下列极限：1、 xtxtxdtedte02202

15、2)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .五、五、 设设)(xf为连续函数，证明为连续函数，证明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函数求函数 xdttttxf02113)(在区间在区间 1,0上的最上的最大值与最小值大值与最小值 . .七、七、 设设 时，时，或或，当，当时，时，当当 xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 内的表达式内的表达式 . .八、八、 设设 baxf,)(在在上连续且上连续且,0)( xf xaxbtfdtdttfxF)()()( , ,证明：证明： （1 1） 、） 、2)( xF ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xF在在),(ba内有且仅有一个根内有且仅有一个根 . .一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5