考研数学线代3向量与线性方程组

1、一 内容概要1 向量的概念：（1）定义；（2）与矩阵之间的关系；（3）向量的相等；2 向量的运算：（1）向量的和、差；（2）向量的数乘；（3）向量的线性运算；3 向量组的线性关系（1） 线性组合：对于给定的向量组；如果存在一组数使得：则称向量的一个线性组合，或称可以由向量组：线性表示；（2） 线性相关、线性无关的定义设是一组n维向量（当然是同型），如果存在一组不全为0的数使得：则称向量组线性相关指出，这里一定要注意关键词：（1）它是不全为0的数；（2）存在；至于这一组数具体是什么样的一组数无关紧要。反之 则称向量组线性无关，即若要成立，必有，则称向量组线性无关。（3） 向量组的线性相关性与方程

2、组之间的关系向量组线性关系式具体表示出来实际上就是一个方程组：其中：因此，通俗的话来说，向量组线性相关的充要条件是：上述方程组有非0解。这是判断一个向量组是否线性相关最常用的方法。（2） 向量 设的意义同上，则方程组可表示成：，或因此向量的充要条件是方程组有解。如果有唯一的解，则，且表示法是唯一的。如果方程组有无穷多组解，则，且表示法有无穷多种，此时向量组线性相关。如果方程组无解，则。4 关于向量组的等价（1） 设向量组：如果向量组中每一个向量可以被向量组线性表示，则称向量组可被向量组线性表示。用式子表示就是：（2） 如果与能相互线性表示，则称向量组与等价。（3） 如果向量组与等价，且与等价，

3、则与等价；这就是说，等价具有传递性；（4） 设等价；则向量组等价；5 向量组的极大线性无关组（1） 极大线性无关组的定义向量组：的一个部分组本身是线性无关的，其次再任意添进去一个都线性相关，则称是向量组：的一个极大线性无关组；特别注意：1 一个向量组若仅含有一个0向量，此时不存在极大线性无关组，或称其极大线性无关组所含有向量的个数为0； 2 若向量组本身是线性无关的，则其极大线性无关组就是该向量组本身；3一个向量组的极大线性无关组可能不止一组，可能有很多组；4 如果向量组与都是向量组的极大线性无关组，那么这两个向量组与是等价的，因而所含有的向量的个数是相同的；6向量组的秩（1） 向量组秩的定义

4、：向量组：的极大线性无关组所含有的向量的个数称为向量组的秩；（2） 设：，若可以被线性表示，则r()r();(3) 若向量组与等价，则其秩相同，即等价的向量组其秩是相同的；但注意反之是不能成立的，即两个向量组的秩相同，但未必等价。 7 关于线性相关性常用的结论（1） 若一个向量组仅含有一个向量（2） 若一个向量组含有0向量，则此向量组一定线性相关；（3） 若一个向量组仅含有两个向量，则此向量组线性相关的充要条件是对应分量成比例；（4） 向量组：线性相关的充要条件是：至少有一个向量可被其余向量线性表示；（5） 若向量组：线性无关，而向量组：线性相关，则向量一定可以被线性表示，且表示式是唯一的；（

5、6） 若向量一定可以被线性表示，且表示式是唯一的，则向量组：一定线性无关；（7） 若：中有部分组线性相关，则原向量组一定线性相关；若原向量组：线性无关，则它的任意一个部分组也线性无关；（8） 若：可被向量组线性表示，且s>t,则：必是线性相关的；即多的能被少的线性表示，则多的向量组一定线性相关；这个定理是比较重要的。（9） 若：是一个n维向量组，且s>n，则此向量组一定线性相关；这是因为：可被线性表示；例如：在三维几何空间中，任意四个向量都是线性相关的，而在二维空间平面上，任意三个向量都是线性相关的；（10） 若：可被向量组线性表示，且线性无关，则必有这只要反证即可：即若s>

6、t ，则应用上面的结论，则线性相关，与条件矛盾；（11） 若：与向量组是等价的，且这两个向量组都是线性无关的，则必有s=t；这只要应用上面的结论即可；（12） 若：与向量组是等价的，则其秩相同。这是因为与等价，那么它们的极大线性无关组也是等价的，因而其秩相同；从而向量组的不同的极大线性无关组所含有向量个数相等；（13） 若：线性无关，则它的延伸组：也必是线性无关，反之若线性相关，则原向量组也必是线性相关；事实上，这只要考虑方程组：与方程组：的解集关系即可。显然Z()Z()若向量组：线性无关Z()=,又Z(),故Z()=；另一个同理可证。（14） 设：，则：线性无关的充要条件是：证明：设若：线性

7、无关由这个结论可以得到一个常见问题的一般解法：例如，三个三维向量要判断它是否线性相关，这只要考虑是否为0即可，如果等于0，那么它是线性相关的，若不是0，则是线性无关的。8 关于向量空间（数一用）（1） 定义：设V是一个n维向量的一个集合，且非空，如果集合V中的向量对于向量的加法，和数乘仍然还在集合V中，即对于任意的则称V是一个向量空间。（2） 关于向量空间的例：例1 ，则是一个向量空间，通常称为方程组AX=0的解空间；这是因为：对于任意例2：，则是一个向量空间，通常称为由向量组生成的向量空间；例3 ，则不是一个向量空间。这是因为：，从而，.例4 通常所说的三维几何空间满足上述空间的要求。最常见

8、的向量空间是实数域上n维向量的全体构成的集合，记为。（3） 子空间如果,则称。例如，上述的例1中；（4） 基、维数、与坐标基的定义：设V是一个向量空间，如果线性无关，都可以被其线性表示，则称向量组是的一组基。例如：在中是V的一组基，通常称为是的自然基。一个向量空间中可能有很多组基，例如在上述的例1中就有很多组基，每一个基础解系就是它的一组基；在中除了自然基外，还有其他的基。一般地，向量空间V中不同基中所含有向量的个数是相同的。维数:在向量空间中，一组基中基向量的个数称为向量空间的维数；例如：在中，基向量的个数是n个，所以称为是n维向量空间，而在上述的例1中,的基（基础解系）向量的个数是n-r个

9、，所以是n-r维向量空间。坐标：设的一组基，则称下的坐标。注意：同一个向量在不同的基下的坐标是不同的。（5）向量空间中两组不同的基之间的关系：（基变换）设的两组基，若或者表示为：即,则称是由基的过渡矩阵。注意：这里过渡矩阵中元素的次序与两组基的表示式之间的关系。过渡矩阵都是可逆的。中一般过渡矩阵A的求法以例说明此具体求法：例：设是的一组基，而V的另一组基为，求由到基的过渡矩阵A。解 设是的一组自然基，显然从而：故则矩阵就是所求的由到基的过渡矩阵A。9 向量的内积（数一用） 内积的定义：设，则称为向量。上述向量的内积的定义正是三维几何空间中向量内积的定义的推广。向量的长度：两向量的夹角：的夹角。

10、由此可以计算向量的夹角；也记为向量的正交：设是两个非0的向量，当时称为是正交的。正交是三维几何空间中向量垂直的推广；关于正交向量的例：设方程组的任意一个非0解为，则向量是正交的；正交向量组的性质：设向量都是正交的，则称此向量组是正交向量组。正交向量组都是线性无关向量组。向量组的规范正交化：是一组线性无关向量组，由此得到一组单位正交向量组，称为向量组的单位正交化，又称施密特正交化方法。以具体的例说明此种方法的具体程序例 设为一组线性无关向量组，由此求一组单位正交向量组。第一步先将向量组正交化即同理：再将，即可得到单位正交向量组。具体单位化略。二 题型归纳1 有关向量组的线性相关性及其线性表示的问

11、题例1 设向量组，当？解 注意此向量组是4维的，且有四个向量，因此应用条件：线性相关的充要条件是，由此可以求出的值。具体略。例2 已知向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是：解 方法1 直接观察可得（1）的向量组是线性相关的；方法2 若直接观察有困难，可按照定义来进行，此种方法较繁，利用线性无关的条件，考察方程组：是否仅有0解，若仅有0解，就是线性无关，若有非0解，则就是线性相关（具体略）；方法3：注意而是可逆的，因此向量组与（2）是等价的，等价的向量组其秩相等，而线性无关，故（2）也是线性无关的。同理向量组（3）、（4）都是线性无关的例3 设：均为n维列向量，矩阵，则下列正确的是：（1）

12、若线性无关，则:线性相关；（2） 若线性相关，则也线性相关；（3） 若线性无关，则也线性无关；（4） 若线性相关，则也线性无关解：注意这里不知道矩阵A的条件如何，而向量组的线性相关性不仅与向量组：的线性相关性相关，且与矩阵A的秩也有关系。按定义进行：设，此方程组未必仅有0解，可能仅有0解，也可能有非0解。若仅有0解，则又因为，但是矩阵A的条件如何并不知道,因此，结论（2）是正确的。例3 设向量组线性表示，则对于任意的常数k有：；解：注意这里的k是任意的，因此（1）、（3）、（4）都是不正确的，（2）对；事实上，由条件可得:由此可知等价，因而（2）是正确的，同理此方法可用于其他3个的判断。（注意

13、：等价的向量组其秩相同）例4 设向量组，试问：当为何值时，（1）（2） ？（3）解：设，那么上述的问题分别是：（1）此方程组有唯一的解；（2）此方程组无解；（3）有无穷多组解；由于系数行列式因此，（1）当；（2） 当由可知，当线性表示；（3） 当线性表示；且表示法不是唯一的。例5 设向量组用分量表示分别是：，证明：若证明：令,这就是说：向量组是等价的；而等价向量组其秩相同。故结论成立。例6 设A是矩阵，而矩阵，若，证明矩阵B的列向量组线性无关。证明：方法1：设使得：即两边同时左乘以，故结论成立。方法2：因为，从而的列向量组的秩是m,故结论成立。题型2：有关向量组的极大线性无关组的问题1 求已知

14、向量组的极大线性无关组的问题例 设，求此向量组的一个极大线性无关组，并将其余的向量用极大线性无关组表示。解：由此可见：向量组等价，从而向量组有相同的秩，由上显然可见，向量组的秩为3，而等价的向量组其秩相同，故向量组的秩是3，又，因此向量组的一个极大线性无关组是，且，如果是行向量组，作（T是一个阶梯形矩阵）方法同上。例2 已知向量组：的秩为r，证明中任意r个线性无关的向量均是向量组的一个极大线性无关组。证明：设中的任意一个向量，有条件知道向量组：线性相关，而线性无关，因此可以被向量组线性表示，根据极大线性无关组的定义可知：是向量组的一个极大线性无关组。故结论成立。题型3 关于向量组的秩这里提请大

15、家注意：（1）向量组的秩即是向量组所含向量的个数，因此常常与向量组的极大线性无关组相联系；（2） 若向量组可被表示，则r()r()；等价的向量组其秩相同；（3）向量组的秩与其构成的矩阵的秩相等，因此常常与矩阵的秩的性质相联系。一般地1 若向量组是具体的m维数字列向量组，求此极大线性无关组和秩，方法如前；2 对于抽象的向量组（没有给出具体的数字），常用上述原理来转换。例1 设是一个n维向量组，如果向量组，证明证明:由条件知道线性表示，故又容易计算：这就是说向量组等价，故结论成立。例2证明：该结论大家都知道，但是它的来源并不是很清楚，下面给予证明证明：设线性表示，因此,故。例3 设，证明证明：因为（2） 若又，结合以上可得（3） 当是A的所有代数余子式例4 如果线性表示。证明：设是其一个极大线性无关组，因此线性无关，又，因此也是的极大线性无关组，从而可被线性表示，从而可被线性表示。题型4 与向量空间有关的问题1 已知的一组基，此问题就是解方程组：，此方程组的解所求。2 已知线性空间，求此线性空间的一组基；此问题事实上就是求向量组的一个极大线