工程电磁场 第六章电磁场的边值问题ppt课件

1、第六章第六章 电磁场的边值问题电磁场的边值问题 maxwell 方程 微分形式 积分形式 全电流定律 tJD D StdsJdlHLD D （1-1） 电磁感应定律 tBE StdsdlELB B （1-2） 高斯定律 D VSdvdsD （1-3） 磁通连续性原理 0 B 0SdsB (1-4) 电流连续性方程 tJ VSdvtdsJ （1-5） 一、麦克斯韦方程组一、麦克斯韦方程组1 1、四个方程的物理意义，电生磁，磁生电，预言电磁波；积、四个方程的物理意义，电生磁，磁生电，预言电磁波；积分方式环量与旋度，通量与散度之间的关系、复数方式可作分方式环量与旋度，通量与散度之间的关系、复数方式可

2、作为稳态场计算；梯度、散度、旋度的概念描画为稳态场计算；梯度、散度、旋度的概念描画“点上电磁点上电磁场的性质。场的性质。2 2、方程、方程1-11-1、1-21-2、1-51-5是一组独立方程，其它两个方是一组独立方程，其它两个方程可以由此推出。但独立方程有程可以由此推出。但独立方程有6 6个变量个变量 ，因此，因此，方程数少于未知量，是非定解方式，必需加本构方程才为定解方式，方程数少于未知量，是非定解方式，必需加本构方程才为定解方式，对于简单媒质，本构方程为对于简单媒质，本构方程为 (1-6) (1-6)、JDEHBEDHBEJ3、材料性质 材料是均匀的 const，const ，const

3、 材料是非均匀： zyx,，zyx,，zyx, 材料是各向异性：材料参数用张量形式表示 ， 材料为非线性：材料参数是未知函数的函数 E， B， E dEdJdHdBdEdD （1-7） 4、直接求解矢量偏微分方程不易：一般矢量方程要转化为标量方程才能求解，另外，在边界上不易写出场量边界条件，因此，常化为位函数的定解问题（位函数容易确定边界条件） ，通过位函数与场量的关系 tmAEHABE （1-8） 得到场量。 二、定解问题二、定解问题1 1、初值问题、初值问题 只需初始条件，没有边境条件的定解问题。如电路中的过渡过程问只需初始条件，没有边境条件的定解问题。如电路中的过渡过程问题、无界空间电磁

4、波传播问题等。题、无界空间电磁波传播问题等。2 2、边值问题、边值问题 只需边境条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、只需边境条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、恒定磁场等问题。恒定磁场等问题。3 3、混合问题、混合问题 既有边境条件，又有初始条件的定解问题，又称定解问题。如电气既有边境条件，又有初始条件的定解问题，又称定解问题。如电气设备中的瞬态电磁场问题等。设备中的瞬态电磁场问题等。4 4、解的稳定性问题、解的稳定性问题 假设定解条件的微小变化只引起方程的解在整个定义域中的微小变假设定解条件的微小变化只引起方程的解在整个定义域中的微小变化，称其解是稳定的。反之称为

5、不稳定解。化，称其解是稳定的。反之称为不稳定解。 三、电磁场中的定解问题三、电磁场中的定解问题定解问题定解问题 = = 泛定方程泛定方程+ +定解条件初始条件定解条件初始条件+ +边境条件边境条件下面先引见各种场的泛定方程，然后引见各类边境条件。下面先引见各种场的泛定方程，然后引见各类边境条件。3.13.1静态、稳态电磁场中的泛定方程静态、稳态电磁场中的泛定方程 1、静静电电场场方方程程 静电场的基本方程 0E , D 泊松方程 三维方程 zzyyxx 若是均匀、各向同性介质，上式为 2 椭圆型方程 静电场方程是椭圆型方程，只有边值问题。 2、 稳态电流场问题稳态电流场问题 稳态（直流）电流场

6、满足的基本方程： 0E0J , E 说明在导电媒质中， 电流不会自成闭合回路 （从电源正极出发到电源负极终止） ，电位满足 拉普拉斯方程 0 椭圆型方程 若是均匀、线性、各向同性介质，上式为 02 产生该电流场的源往往需要借助边界条件引入。 2、 稳态磁场稳态磁场 稳态（直流）电流产生的磁场满足的基本方程 HB , B , JH0 3 3、稳态磁场、稳态磁场1） 矢量磁位的泊松方程矢量磁位的泊松方程 根据AB0BJH , , ，有双旋度方程 JA 1 取库伦规范0 A，及矢量恒等式 AAA，得 JA1 矢量泊松方程 JA1A1A1zzyyxx 若为线性、均匀媒质 JA2 若存在铁磁质， 可将其

7、作用等效为磁化电流的作用，它与磁化强度的关系为 mJM 磁矢位 A 的方程可以写为真空中的泊松方程 mJJA02 时变场中0t， （下面分段没有绝对的分界线） 缓慢变化 ( f 10 KHz ) 快速变化 准静态场 准静态场 电磁波 MQS：00DtBEBJH , , , EQS： 000DEBtDJH , , , 00DtBEBtDJH , , MQS 场求解时， 磁场可以用稳态磁场的方法求解， 然后用上述公式求电场； EQS场求解时，电场可以用静电场的方法求解，然后用上述公式求磁场。 4 4、交变电磁场中的泛定方程、交变电磁场中的泛定方程 00DtBEBJH , , ,JtAA10tJtA

8、A202tJAjA202j1分散方程抛物型方程分散方程抛物型方程忽略位移电流，忽略位移电流，MQS场的方程为场的方程为由此得到的分散方程为对第一式再取旋度非线性介质 ， 线性介质 涡流损耗是引起导体发热的主要缘由。 假设为正弦交变场，分散方程为、 波动方程（双曲型方程）波动方程（双曲型方程） 一般不考虑非线性问题，因为如果在铁磁材料中传播电磁波，高频下的涡流损耗及磁滞损耗很大，电磁波很快衰减，能量不可能传递很远。因此，场量的波动方程 0222tHtHH 0222tEtEE 取洛伦兹规范t A，则位函数满足的波动方程 JtAtAA222 222tt 2 2动摇方程双曲型方程动摇方程双曲型方程3.

9、23.2定解条件定解条件1、初始条件（柯西问题）、初始条件（柯西问题） 在瞬态电磁场中，初始条件是整个系统初始状态的表达式 扩散方程初始条件： 010tzyxftzyxutt, 波动方程初始条件： 010tzyxftzyxutt, 020tzyxftzyxuttt, 如：初始的速度、电流、电压等。 （1）第一类边界条件）第一类边界条件（Dirichlet 狄利赫里条件） t , z , y, xgt , z , y, xu11 强加边界条件 2 2、边境条件、边境条件例 1 铁磁体的磁场和电容器的电场（二维） 图 1-1 第一类边界条件 （a）磁场问题； （b）静电问题 在距离磁体足够远的地方

10、，设磁力线平行于边界，因此可以假设0A。在距离电容器足够远的地方，设等位线平行于边界，可以假设0。关键问题是第一类边界条件取得多远，才能保证计算精度。 例 2 电机的磁场 图 1-2（a） 、 （b） ：需要考虑定子外的漏磁，因此，第一类边界条件取在大于定子外径 20%之处，磁力线于边界平行，可以设 A=0。 图 1-2（c） 、 （d） ：如果定子深度饱和，漏磁很小，可以忽略，可将第一类边界条件取在定子外径，减少计算量。 图 1-2（e） 、 （f） ：如果要分析远场，第一类边界条件可以取在大于定子外径56 倍之处，如图（e）所示。或者用开于边界条件，如 Kelvin-transformat

11、ion边界（后面介绍） ，边界可以小一些，如图（f）所示。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 图 1-2 电机的磁场计算（第一类边界条件） 电磁场数值计算电磁场数值计算 当计算场域的边境几何外形复杂时，运用解析当计算场域的边境几何外形复杂时，运用解析法分析较困难，这时可以采用数值计算科学计算法分析较困难，这时可以采用数值计算科学计算的方法。的方法。1. 1. 电磁问题的划分电磁问题的划分场源问题场源问题 知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。直知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。直接求积分方程。接求积分方程。VrVrerd4)(jJAVrVrerd4)(jRRqeE204d

12、d体电荷的电场静电场中元电荷产生的电场静电场中元电荷产生的电场SdldVqdd，1221 101k2V34k3k4VV1d( )4dd NkkkkkkkqVRRSlRRE reeee矢量的积分矢量的积分( )d4V rVr( )d4VrV rJA静磁场中元电流产生的电场静磁场中元电流产生的电场VRerJBVRd420)( 体电流体电流S2RSRerKBd40)( 面电流面电流边值问题边值问题 知空间介质分布，电极外形、位置和电位，场知空间介质分布，电极外形、位置和电位，场域边境上的电位或场强，这类问题归结为求解给定域边境上的电位或场强，这类问题归结为求解给定边境条件的电位微分方程的解。边境条件

13、的电位微分方程的解。 静电场的边值问题Boundary Problem)边值边值问题问题场域边境条件场域边境条件分界面衔分界面衔 接条件接条件 强迫边境条件强迫边境条件 有限值有限值lim0r自然边境条件自然边境条件 有限值有限值rrlim微分微分方程方程边境边境条件条件初始初始条件条件21nn2211泊松方程泊松方程/2拉普拉斯方程拉普拉斯方程02下 页上 页场域边境条件场域边境条件1第一类边境条件狄里赫利条件，Dirichlet)2第二类边境条件聂以曼条件 Neumann)3第三类边境条件知边境上电位及电位法导游数的线性组合知边境上电位及电位法导游数的线性组合知边境上的电位知边境上的电位)

14、(|1sfs)(2sfnS)()3sfnS（有限差分法有限元法边境元法矩量法积分方程法积分法分别变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法计算法实验法解析法数值法实测法模拟法电磁问题1. 镜像法镜像法 本质本质: :是以一个或几个等效电荷替代边境的影响，将原来具是以一个或几个等效电荷替代边境的影响，将原来具有边境的非均匀空间变成无限大的均匀自在空间，从而使计算过有边境的非均匀空间变成无限大的均匀自在空间，从而使计算过程大为简化。程大为简化。 根据：独一性定理。因此，等效电荷的引入必需维持原来的根据：独一性定理。因此，等效电荷的引入必需维持原来的边境条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改动，这是

15、确定边境条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改动，这是确定等效电荷的大小及其位置的根据。这些等效电荷通常处于镜像位等效电荷的大小及其位置的根据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。关键：确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：仅仅对于某些特殊的边境以及特殊分布的电荷才有局限性：仅仅对于某些特殊的边境以及特殊分布的电荷才有能够确定其镜像电荷。能够确定其镜像电荷。 镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地运用独一性定镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地运用独一性定理，理， 使

16、某些看来难解的边值问题容易地得到处理。使某些看来难解的边值问题容易地得到处理。 运用镜像法时要留意以下三点：运用镜像法时要留意以下三点： 1 1镜像电荷是虚拟电荷镜像电荷是虚拟电荷; ; 2 2镜像电荷置于所求区域之外的附近区域镜像电荷置于所求区域之外的附近区域; ; 3 3导电体是等位面。导电体是等位面。1点电荷与无限大的导体平面。点电荷与无限大的导体平面。 介质 导体 q r P 介质 q r P hhrq 介质 以一个处于镜像位置的点电荷替代边境的影响，使整个空间以一个处于镜像位置的点电荷替代边境的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为变成均匀的介电常数为 的空间，那么空间任一点的空间，那

17、么空间任一点 P P 的电位的电位由由 q q 及及 q q 共同产生，即共同产生，即 rqrq 4 4思索到无限大导体平面的电位为零，求得思索到无限大导体平面的电位为零，求得qq 电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全一样。部分完全一样。 由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体外表吻合。外表吻合。电场线等位线 z fqo2点电荷与导体球。点电荷与导体球。 Padrq 假设导体球接地，导体球的电假设导体球接地，导体球的电位为零。为了等效导体球边境的影位为零

18、。为了等效导体球边境的影响，令镜像点电荷响，令镜像点电荷q q 位于球心与位于球心与点电荷点电荷 q q 的连线上。那么，球面的连线上。那么，球面上任一点电位为上任一点电位为 rqrq 4 4可见，为了保证球面上任一点电位为零，必需选择镜像电荷为可见，为了保证球面上任一点电位为零，必需选择镜像电荷为 qrrq 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必需求求比值为了使镜像电荷具有一个确定的值，必需求求比值 对于球面对于球面上任一点均具有同一数值。由上图可见，假设要求三角形上任一点均具有同一数值。由上图可见，假设要求三角形 OPq 与与 OqP 类似，那么类似，那么 常数。由此获知镜像电荷应为常数。由此

19、获知镜像电荷应为rrfarrqfaq镜像电荷离球心的间隔镜像电荷离球心的间隔d d 应为应为 fad2这样，根据这样，根据 q q 及及 q q 即可计算球外空间任一点的电场强度。即可计算球外空间任一点的电场强度。 fqOPadrq2 2 分别变量法分别变量法 分别变量法是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积的方分别变量法是把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积的方法。它首先要求给定边境与一个适当坐标系的坐标面相合；其次要求在坐法。它首先要求给定边境与一个适当坐标系的坐标面相合；其次要求在坐标系中，待求偏微分方程的解可表示为三个函数的乘积，且其中的每个函标系中，待求偏微分方程的解可表

20、示为三个函数的乘积，且其中的每个函数仅是一个坐标的函数。在直角、圆柱、球等坐标系中都可以运用分别变数仅是一个坐标的函数。在直角、圆柱、球等坐标系中都可以运用分别变量法。量法。 直角坐标系中的平行平面场问题直角坐标系中的平行平面场问题 平行平面场中位函数U(x，y) 在场域内满足拉普拉斯方程 0,22222yUxUyxU设定分别变量方式的试探解，即令U(x，y) =X(x)Y(y)，代入方程得 2222dd1dd1yYYxXX在x和y取恣意值时等式恒成立，这要求两边恒为同一常数。现记该常数为 (称为分别常数) ： 0dd22 XxX0dd22 YyY 取不同值时，两个常微分方程得到不同方式的解：

21、 =0 时，xAAxX2010)(yBByY2010)(时，02nm)sinh()cosh()(21xmAxmAxXnnnn)sin()cos()(21ymBymByYnnnn02nm时，)sin()cos()(21xmAxmAxXnnnn)sinh()cosh()(21ymBymByYnnnn位函数U的普通解可记作： yBBxAAymBymBxmAxmAymBymBxmAxmAyxUnnnnnnnnnnnnnnnnnn201020102112121121 shchsincos sincosshch, 假设问题的边境面与直角坐标系的坐标面吻合，那么可采用直角坐标系中的假设问题的边境面与直角坐标

22、系的坐标面吻合，那么可采用直角坐标系中的分别变量法。分别变量法。下面经过例子详细阐明该方法。下面经过例子详细阐明该方法。例例 求如下图二维长方形内的电位函数。求如下图二维长方形内的电位函数。解：根据题意，所求区域的电位函数满足解：根据题意，所求区域的电位函数满足的方程及边境条件为的方程及边境条件为200000,000,xx ayy bxaybUx xa ay yb b0U000? 12sincosxxfxAk xAk x只与只与x x有关有关只与只与y y有关有关在直角坐标系中方程在直角坐标系中方程 可写为可写为2022220 xy二维问题，与二维问题，与z z无关无关 分别变量法的前提即假设

23、分别变量法的前提即假设待求函数有分别变量方式的待求函数有分别变量方式的解：解： , x yfx g y 22220d fxd g yg yfxdxdy上式两端同除以上式两端同除以 g y fx 2222110d fxd g yfxdxg ydy因此该式成立的条件：因此该式成立的条件： 22222211xyd fxkfxdxd g ykg ydy且且220 xykk xk为实数为实数yk为虚数为虚数xk为虚数为虚数yk为实数为实数 xk为零为零yk为零为零 xk为实数为实数xk为虚数为虚数xxkjxk为零为零 1fxC xC 1212sinhcoshxxxxxxf xBxBxf xBeB e或或

24、同样的讨论适用于函数同样的讨论适用于函数 。为。为满足满足x=0 x=0和和x=ax=a的边境条件，应选取的边境条件，应选取 g y 12sincosxxfxAk xAk x那那么么 12sinhcoshyyg yByBy由于222200 xyxyyxkkkjk将边境条件将边境条件 000000 xfg yf将边境条件将边境条件 000 x af a g yf a20A 1sin01,2,3.xxAk ankna于是于是 1sinnfxAxaxnka称为边值问题称为边值问题200000,000,xx ayy bxaybU的本征值。它的意义是：在上述边境的本征值。它的意义是：在上述边境条件下，分

25、别常数条件下，分别常数 只需取这些特只需取这些特定值时，方程才有非零解。其解的函定值时，方程才有非零解。其解的函数方式数方式 称为本征函数。称为本征函数。xksinnxa对于对于 12sinhcoshyyg yByBy由于yxnka将边境条件将边境条件 000000yfx gg20B 于是于是 1sinhng yBya得得 11,sinsinhsinsinhx yfx g ynnABxyaannCxyaa由于由于 故故 的普通方式的普通方式 1,2,3.n , x y1,sinsinhnnnnx yCxyaa将边境条件将边境条件0y bU01sinsinhnnnnUCxbaa 这实践上是将一知

26、函数展为傅里叶级数。这实践上是将一知函数展为傅里叶级数。利用傅里叶级数的系数公式得利用傅里叶级数的系数公式得000024sinhsin214sinh21annnnUCbUx dxaaanUCnbna原问题的解原问题的解014,sinsinhsinh21nUnnx yxynaabna3 有有 限限 差差 分分 法法 图 3.1 差分网格 3.1 差分表示式差分表示式 二维泊松方程的差分格式 (Difference Form of 2D Poissons Equation)Fyx22221二维静电场边值问题 根本思想：将场域离散为许多网格 ，运用差分原理，将求解延续函数 的微分方程问题转换为求解网

27、格节点上 的代数方程组的问题。2)(LfL有限差分的网格分割令 h = x - x0，将 x = x1 和 x3 分别代入式 ( 3 )(0)()(!10000nnKKKKxxxxxxK3由式4+52402222)(0hyyy7同理,沿 x方向在 x0 处的泰勒公式展开为下 页上 页返 回 0333022200303330222001)(! 31)(! 21)()(! 31)(! 21)(xhxhxhxhxhxh452301222)(0hxxx6将式(6)、式(7)代入式(1)，得到2043214Fh当场域中00404321)(41243210Fh即)(4143210即五点差分格式下 页上 页

28、返 回)(4143210上式阐明，任一点的电位等于它周围四个点电位的平均值。显然，当h越小，计算越准确。假设待求N个点的电位，就需解含有N个方程的线性方程组。假设点的数目较多，用迭代法较为方便。 矩形网格剖分假设场域离散为矩形网格，差分格式为Fhhhh02221422221212)11()(1)(13.2 边境条件离散化Discrete Boundary Condition)第二类边境条件 hfhnf2100102 ,)()2(4124210Fh第一类边境条件 分界面衔接条件 对称边境条件 , )1212(4143210KKKbaK其中介质分界面10 f对称分界3.3差分方程的数值解法差分方程的数值解法 1. 简单迭代法简单迭代法 图 3.2 节点序号 )(411, 1