矩阵及其秩在高等代数中的应用毕业论文

1、矩阵及其秩在高等代数中的应用曹玲毓定西师范高等专科学校 数学教育摘 要 ：在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解、极大无关组的情况等都有着密切的联系。通过引用了大量的实例说明了矩阵及其秩是高等代数中的一个重要的概念,希望通过本文的介绍可以让读者对矩阵及其秩有更深的了解。关键词：矩阵 ；秩 ；变换 ；可逆 1 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值,它常见于很多科学中,如：线性代数、线性规划、统计分析、以及组合数学等,而本文主要介绍其在高等代数中的应用。高等代数是用辩证观点和严密的逻辑推理方法来体现的

2、一门课程它常见于很多科学中, 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值对其在高等代数中的应用概括为：求解一般的线性方程组,判定向量组的线性相关性,求极大无关组,化二次型为标准型,求规范正交基,对称变换,正交变换的判断,欧氏空间中的内积的表示。这就使矩阵成为数学中一个极其重要而且广泛的工具.本文对矩阵的基本理论及其秩的应用进行具体阐述。2 矩阵的基本理论 定义2.1 矩阵是一张简化了的表格,一般地称为矩阵,它有行、列,共个元素,其中第行、第列的元素用表示.通常我们用大写黑体字母表示矩阵.为了标明矩阵的行数和列数,可用或表示.矩阵既然是一张表,就不能像行列式那样算出一个数来. 定义2.2 所有元素均

3、为的矩阵,称为零矩阵,记作.定义2.3 如果矩阵的行、列数都是,则称为阶矩阵,或称为阶方阵.定义2.4 令是数域上一个阶矩阵.若是存在上阶矩阵,使得,那么叫作一个可逆矩阵,而叫作的逆矩阵.用来表示.定义2.5 主对角线上元素全为的对角矩阵,叫做单位矩阵,记为,即矩阵（只有一行）又称为维行向量；矩阵（只有一列）又称为维列向量.行向量、列向量统称为向量.向量通常用小写黑体字母,表示.向量中的元素又称为向量的分量.矩阵因只有一个元素,故视之为数量,即.定义2.6 把矩阵的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵的转置矩阵,记为,即 ,若方阵满足,则称为对称矩阵.定义2.7 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角

4、线.阶矩阵的元素按原次序构成的阶行列式,称为矩阵的行列式,记作.定义2.8 设有阶方阵的行列式有个代数余子式（=1,2,）,将它们按转置排列,得到矩阵称为矩阵的伴随矩阵定义2.9 利用线性方程组的系数和常数项可以排成此表则此表称为线性方程组的增广矩阵.定义2.10 在一个行列矩阵中,任取行列.位于这些行列交点处的元素（不改变元素的相对位置）所构成的阶行列式叫作这个矩阵的一个阶子式.定义2.11 向量组的一个部分向量组叫作一个极大线性无关部分组简称极大无关组) 线性无关； 每一都可以由,线性表示.定义2.12 设是一个数域,上元二次齐次多项式 叫作上一个元二次型.定义2.13 上一个元二次型可以

5、看成定义在实数域上个变量的实函数.如果对于变量的每一组不全为零的值,函数值都是正数,那么就称是一个正定二次型. 3 秩的基本理论定义3.1 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个这个矩阵的秩.若一个矩阵没有不等于零的子式,就认为这个矩阵的秩为零.性质 （1） ,当且仅当是零矩阵.（2） ,当且仅当.（3） 设是矩阵,则.（4） （5） .矩阵可以进行加法、减法、数乘、阶乘、伴随等一系列运算.而矩阵经过运算后所得到的新矩阵的秩往往也与原矩阵的秩有一定的关系.定理3.1 两矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和,即：设均为矩阵,则推论3.1.1 两矩阵差的秩不小于两矩阵秩的差,即：设均为矩阵,则推论3.

6、1.2 设均为矩阵,且,则定理3.2 矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩.即：设是矩阵,是矩阵,则 定理3.3 设是矩阵,是阶可逆矩阵,是阶可逆矩阵,则推论3.3.1 设是矩阵,则,当且仅当存在阶可逆矩阵和阶可 逆矩阵,使得.定理3.4 设均为阶方阵。则.定理3.5 设都是矩阵都是矩阵,则. 定理3.6 设是矩阵,则必存在矩阵与矩阵,且 ,使得.4 矩阵及其秩的理论应用定理4.1 初等变换不改变矩阵的秩.定理4.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组有解的充要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.定理4.3 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩.那么当等于方程组所含未知量的个数时, 方

7、程组有唯一解；当时,方程组有无穷多解.定理4.4 设方程组有解,它的系数矩阵和增广矩阵的共同秩是.那么可以在方程组的个方程 中选出个方程,使得剩下的个方程中的每一个都是这个方程的结果,因而解方程组可以归结为解由这个方程所组成的线性方程组.定理4.5 一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩小于它的未知量的个数.定理4.6 阶矩阵可逆当且仅当的秩等于.定理4.7 向量组的所以极大无关组多含向量个数相同,称该个数为向量组的秩.定理4.8 两个等价向量组的秩相同.定理4.9 复数域上两个阶对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的秩. 两个复二次型等价的充要条件是它们有相同的秩.定理4.1

8、0 实数域上两个元二次型等价的充要条件是它们有相同的秩和符号差.定理4.11 实数域上二次型是正定的充要条件是它的秩和符号差都等于.是负定的充要条件是它的秩等于符号差等于.5 实例应用例1. 证明一个n阶矩阵A的秩1当且仅当可以表为一个矩阵和一个矩阵的乘积. 证：必要性 当秩时,有； 当秩A=1时,A中任意两行成比例,不失一般性,可设 而易得 . 充分性 如果, 那么秩例2. ,将二次型化为标准型并求相应的非奇异线性变换.解：该二次型的矩阵对施行行和列同样的初等变换,同时对只施行列的初等变换：,则令,则经非奇异线性变换 原二次型化为.例3 在欧氏空间中,求基的在中的一个规范正交基.解：取 =

9、于是就是的一个规范正交基.例4.解线性方程组 解：根据方程组可知增广矩阵是将其进行初等变换得对应的线性方程组是 得到原方程组的一般解： , 例5 设为阶方阵,且秩为.证明存在阶方阵、.使,且的秩等于的秩等于.解： ,则存在阶矩阵和,使.则 令 则 且、为可逆矩阵.6结束语：在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量。通过本章节学习，我们对于求解一般的线性方程组,判定向量组的线性相关性,求极大无关组,要注意学习解题技巧,从中总结经验, ,对各种方法的推导进行分析归纳,并根据矩阵特点,引进适当的变换,进一步对矩阵及其秩有更加深刻的了解。参考文献：1 张禾瑞,郝鈵新.高等代数（第四版），北