一元二次方程知识要点

1、一元二次方程 1. 一元二次方程的一般形式: a0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c； 其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用， 其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax2+bx+c=0 (a0)时，=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请

2、注意以下等价命题：0 <=>有两个不等的实根； =0<=>有两个相等的实根；0 <=>无实根；0 <=>有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax2+bx+c=0 (a0) 时，如0，有下列公式： 5当ax2+bx+c=0 (a0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式；=b2-4ac 分析，不要求背记)（1）两根互为相反数Û= 0且0Ûb = 0且0；（2）两根互为倒数Û=1且0Ûa = c且0；（3）只有一个零根Û= 0且0Ûc = 0且b0；（4）有两个

3、零根 Û= 0且= 0Ûc = 0且b=0；（5）至少有一个零根 Û=0Ûc=0；（6）两根异号 Û0 Ûa、c异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值Û0且0Ûa、c异号且a、b异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值Û0且0Ûa、c异号且a、b同号；（9）有两个正根 Û0，0且0Ûa、c同号， a、b异号且0；（10）有两个负根 Û0，0且0Ûa、c同号， a、b同号且0.6求根法因式分解二次三项式公式：注意：当 0时，二次三项式在实数范围

4、内不能分解.ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax2+bx+c=.7求一元二次方程的公式： x2 -（x1+x2）x + x1x2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8平均增长率问题-应用题的类型题之一 （设增长率为x）： (1) 第一年为 a ,第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程： 第三年=第三年 或 第一年+第二年+第三年=总和.9分式方程的解法：10. 二元二次方程组的解法：11几个常见转化：解三角形 1.三角函数的定义：在RtABC中,如C=90°，那么sinA=； cosA=；tanA=； cotA=.

5、2余角三角函数关系- “正余互化公式” 如A+B=90°,那么：sinA=cosB； cosA=sinB； tanA=cotB； cotA=tanB.3. 同角三角函数关系：sin2A+cos2A =1； tanA·cotA =1. tanA=cotA=4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.5特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数值，要熟练记忆它们.A 0° 30° 45°60°90°sinA

6、0 1cosA 1 0tanA01不存在 cotA不存在 1 0 6. 函数值的取值范围： 在0°90°时.正弦函数值范围：01；余弦函数值范围: 10；正切函数值范围：0 无穷大； 余切函数值范围：无穷大 0.7.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边.8.关于直角三角形的两个公式：RtABC中: 若C=90°,9坡度： i = 1:m = h/l = tan；坡角:.10. 方位角：11仰角及俯角：12解斜三角形：已知“SAS”“SSS”“ASA”“AAS” 条件的任意三角形都可以经过“斜化直”求出其余的边

7、和角. 13解符合“SSA”条件的三角形：若三角形存在且符合“SSA”条件，则可分三种情况：（1）A90°，图形唯一可解； （2） A90°，A的对边大于或等于它的已知邻边，图形唯一可解；（3）A90°，A的对边小于它的已知邻边，图形分两类可解.14解三角形的基本思路：（1）“斜化直，一般化特殊” - 加辅助线的依据；（2）合理设“辅助元k”，并利用k进一步转化是分析三角形问题的常用方法-转化思想；（3）三角函数的定义，几何定理，公式，相似形等都存在着大量的相等关系，利用其列方程（或方程组）是解决数学问题的常用方法-方程思想.函数及其图象一 函数基本概念1.函数定

8、义：设在某个变化过程中，有两个变量x,、y, 如对x的每一个值, y都有唯一的值及它对应，那么就说y是x的函数，x是自变量. 2.相同函数三个条件：（1）自变量范围相同；（2）函数值范围相同；（3）相同的自变量值所对应的函数值也相同.3. 函数的确定：对于 y=kx2 (k0), 如x是自变量，这个函数是二次函数；如x2是自变量，这个函数是一次函数中的正比例函数.4.平面直角坐标系：（1）平面上点的坐标是一对有序实数，表示为: M（x,y），x叫横坐标，y叫纵坐标；（2）一点，两轴，（四半轴），四象限，象限中点的坐标符号规律如右图：（3） x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0; 即“x轴

9、上的点纵为0，y轴上的点横为0”；反之也成立；（4）象限角平分线上点M(x,y) 的坐标特征:x=y <=>M在一三象限角平分线上； x=-y <=> M在二四象限角平分线上.（5）对称两点M(x1,y1), N(x2,y2) 的坐标特征：关于y轴对称的两点 <=> 横相反，纵相同；关于x轴对称的两点 <=> 纵相反，横相同；关于原点对称的两点 <=> 横、纵都相反.5.坐标系中常用的距离几个公式-“点求距”（1）如图，轴上两点M、N之间的距离：MN=|x1-x2|=x大-x小 , PQ=|y1-y2|=y大-y小 . （2）如图，象

10、限上的点M（x,y）:到y轴距离：dy=|x|； 到x轴距离: dx=|y|；（3）如图，轴上的点M（0,y）、N（x,0）到原点的距离： MO=|y|； NO=|x|.（4）如图，平面上任意两点M（x2,y2）、N（x2,y2）之间的距离： 6. 几个直线方程 :y轴<=>直线 x=0 ； x 轴<=>直线 y=0 ；及y轴平行，距离为a的直线<=>直线 x=a；及x轴平行，距离为b的直线<=>直线 y=b.7. 函数的图象：(1) 把自变量x的一个值作为点的横坐标，把及它对应的函数值y作为点的纵坐标，组成一对有序实数对，在平面坐标系中找出点的

11、位置，这样取得的所有的点组成的图形叫函数的图象；(2) 图象上的点都适合函数解析式，适合函数解析式的点都在函数图象上；由此可得“图象上的点就能代入”-重要代入！(3) 坐标平面上，横轴叫自变量轴，纵轴叫函数轴；利用已知的图象，可由自变量值查出函数值，也可由函数值查出自变量值；可由自变量取值范围查出对应函数值取值范围，也可由函数值取值范围查出对应自变量取值范围；(4) 函数的图象由左至右如果是上坡，那么y随x增大而增大（叫递增函数）；函数的图象由左至右如果是下坡，那么y随x增大而减小（叫递减函数）.8. 自变量取值范围及函数取值范围：一次函数1. 一次函数的一般形式：y=kx+b . (k0)2

12、. 关于一次函数的几个概念：y=kx+b (k0)的图象是一条直线，所以也叫直线y=kx+b,图象必过y轴上的点(0,b)和x轴上的点(-b/k,0)；注意：如图，这两个点也是画直线图象时应取的两个点. b叫直线y=kx+b(k0)在y轴上的截距，b的本质是直线及y轴交点的纵坐标，知道截距即知道解析式中b的值. 3.y=kx+b (k0) 中，k，b符号及图象位置的关系：4. 两直线平行：两直线平行<=> k1=k2 两直线垂直<=> k1k2=-1.5. 直线的平移：若m0,n0, 那么一次函数y=kx+b图象向上平移m个单位长度得y=kx+b+m；向下平移n个单位长

13、度得y=kx+b-n （直线平移时，k值不变）.6.函数习题的四个基本功：(1) 式求点：已知某直线的具体解析式，设y=0，可求出直线及x轴的交点坐标（x0 ,0）；设x=0，可求出直线及y轴的交点坐标(0,y0)；已知两条直线的具体解析式，可通过列二元一次方程组求出两直线的交点坐标(x0 ,y0)；交点坐标的本质是一个方程组的公共解；(2) 点求式： 已知一次函数图象上的两个点，可设这个函数为y=kx+b，然后代入这两个点的坐标，得到关于k、b的两个方程，通过解方程组求出k、b，从而求出解析式-待定系数法；(3) 距求点：已知点M(x0 ,y0)到x轴,y轴的距离和所在象限，可求出点M的坐标

14、；已知坐标轴上的点P到原点的距离和所在半轴，可求出点P的坐标；(4) 点求距：函数题经常和几何相结合，利用点的坐标及它所在的象限或半轴特征可求有关线段的长，从而使得函数问题几何化.正比例函数1.正比例函数的一般形式：y=kx (k0)；属于一次函数的特殊情况；（即b=0的一次函数）它的图象是一条过原点的直线；也叫直线y=kx.2画正比例函数的图象：正比例函数y=kx (k0)的图象必过(0,0)点和（1，k）点，注意：如图，这两个点也是画正比例函数图象时应取的两个点，即列表如右：3.y=kx (k0)中，k的符号及图象位置的关系：4. 求正比例函数解析式：已知正比例函数图象上的一点，可设这个正

15、比例函数为y=kx,把已知点的坐标代入后, 可求k, 从而求出具体的函数解析式-待定系数法.二次函数1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a0)2. 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距,即二次函数图象必过（0，c）点.3. y=ax2 (a0)的特性：当y=ax2+bx+c (a0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2 (a0);这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：（1）图象关于y轴对称；（2）顶点（0，0）；（3）y=ax

16、2 (a0)可以经过补0看做二次函数的一般式，顶点式和双根式，即： y=ax2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0).4. 二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象及几个重要点的公式： 5. 二次函数y=ax2+bx+c (a0)中，a、b、c及的符号及图象的关系：(1) a0 <=> 抛物线开口向上； a0 <=> 抛物线开口向下；(2) c0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过；c0 <=> 抛物线从原点下方通过；(3) a,b异号 <=> 对称轴在y轴的右

17、侧； a,b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧；b=0 <=> 对称轴是y轴；(4) 0 <=> 抛物线及x轴有两个交点；=0 <=> 抛物线及x轴有一个交点（即相切）；0 <=> 抛物线及x轴无交点.6求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式-待定系数法.8二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a0)； 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h,k），对称轴方程 x=h 和函数的最值 y最值=k

18、.9求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（x0,y0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -x0)2+ y0，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.（注意：习题无特殊说明，最后结果要求化为一般式）10. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下：k值增大 <=> 图象向上平移； k值减小 <=> 图象向下平移；（x-h）值增大 <=> 图象向左平移； (x-h)值减小 <=> 图象向右平移.11. 二次

19、函数的双根式：(即交点式) y=a(x-x1)(x-x2) (a0)；由双根式直接可得二次函数图象及x轴的交点（x1,0）,（x2,0）.12. 求二次函数的解析式：已知二次函数图象及x轴的交点坐标（x1,0），（x2,0）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y= a(x-x1)(x-x2)，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式. （注意：习题最后结果要求化为一般式）13二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点及对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.反比例函数1. 反比例函数的一般形式：图象叫双曲线.2. 关于反比例函数图象的性质：反比例函数y=kx-1

20、中自变量x不能取0, 故函数图象及y轴无交点; 函数值y也不会是0, 故图象及x轴也不相交.3. 反比例函数中K的符号及图象所在象限的关系：4. 求反比例函数的解析式：已知反比例函数图象上的一点，即可设解析式y=kx-1, 代入这一点可求k 值，从而求出解析式.函数综合题1数学思想在函数问题中的应用：数学思想经常在函数问题中得到体现，例如：分析函数习题常常需要先估画符合题意的图象,利用数形结合降低难度；而点求式、式求点、点求距、距求点等基本操作则是转化思想在函数中应用；当函数问题及几何问题相结合时，方程思想则成为解决问题的基本思路；函数习题中，当图象及图形不唯一、点位置不唯一、可知条件不唯一时

21、，往往造成函数问题的分类.2数学方法在函数问题中的应用：建立坐标系、建立新函数、函数问题几何化、挖掘隐含条件、分类讨论、相等关系找方程、不等关系找不等式、等量代换、配方、换元、待定系数法、等各种数学方法在函数中经常得到应用，了解这些数学方法是十分必要的.3函数及方程的关系：正比例函数y=kx (k0)、一次函数y=kx+b (k0)都可以看作二元一次方程，而二次函数y=ax2+bx+c (a0)可以看作二元二次方程，反比例函数可以看作分式方程，这些函数图象之间的交点，就是把它们联立为方程组时的公共解.4二次函数及一元二次方程的关系：（1）如二次函数y=ax2+bx+c (a0)中的0时，图象及

22、x轴相交，函数值y=0，此时, 二次函数转化为一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)，这个方程的两个根x1、x2是二次函数y=ax2+bx+c及x轴相交两点的横坐标，交点坐标为（x1,0）（x2,0）；（2）当研究二次函数的图象及x轴相交时的有关问题时，应立即把函数转化为它所对应的一元二次方程，此时，一元二次方程的求根公式，值，根系关系等都可用于这个二次函数.（3）如二次函数y=ax2+bx+c (a0)中的0时，图象及x轴相交于两点A（x1 ,0）,B（x2 ,0）有重要关系式: OA=|x1|, OB=|x2|,若需要去掉绝对值符号,则必须据题意做进一步判断；同样,图象及y轴交点 C(

23、0,c),也有关系式: OC=|c|.5二元二次方程组解的判断：一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，若消去一个未知数，则转化为一元二次方程，此时的值将决定原方程组解的情况，即：0 <=>方程组有两个解； =0<=>方程组有一个解；0 <=>方程组无实解.初三数学应知应会的知识点 ( 圆 )几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例： CD过圆心CDAB2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的

24、弧相等.几何表达式举例：3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”； “等弦对等角”； “等角对等弧”； “等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) AOB=COD AB = CD (2) AB = CDAOB=COD4圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1）

25、 （2）（3） （4）几何表达式举例：（1） ACB=AOB（2） AB是直径ACB=90°（3） ACB=90° AB是直径（4） CD=AD=BDABC是Rt5圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例： ABCD是圆内接四边形CDE =ABCC+A =180°6切线的判定及性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过

26、圆心.几何表达式举例：（1） OC是半径OCABAB是切线（2） OC是半径AB是切线OCAB（3） 7切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例： PA、PB是切线 PA=PBPO过圆心APO =BPO8弦切角定理及其推论:（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（如图）（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）（1） （2）几何表达式举例：（1）BD是切线，BC是弦CBD =CAB（2） ED，BC是切线CBA =DEF9相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条

27、相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦及直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项.（1） （2）几何表达式举例：（1） PA·PB=PC·PD（2） AB是直径PCABPC2=PA·PB10切割线定理及其推论:（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线及圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线及圆的交点的两条线段长的积相等.（1） （2）几何表达式举例：（1） PC是切线，PB是割线PC2=PA·PB（2） PB、PD是割线PA·PB=PC·PD11

28、关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.（1） （2）几何表达式举例：（1） O1，O2是圆心O1O2垂直平分AB（2） 1 、2相切O1 、A、O2三点一线12正多边形的有关计算:（1）中心角an ，半径RN ，边心距rn ，边长an ，内角bn ，边数n；（2）有关计算在RtAOC中进行.公式举例：(1) an =；(2) 几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一 基本概念：圆的几何定义和集合定义、 弦、 弦心距、 弧、 等弧、 弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、 三角形的内心、 圆心角、圆周角、 弦切角、 圆的切线、 圆的割线、 两圆的内公切线、 两圆的外公切线、 两圆的内（外）公切线长、 正多边形、 正多边形的中心、 正多边形的半径、 正多边形的边心距、 正多边形的中心角.二 定理：1不在一直线上的三个点确定一个圆.2任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三 公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2R；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=R2.（4）扇形面积S扇形 =