待定系数法分解因式(含答案)-

1、待定系数法分解因式待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决 应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认 真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。 然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便 可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定 系数法。本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行 因式分解时的方法，步

2、骤，技巧等。例 1 分解因式.：I'- -思路 1 因为:; I-厂I . -.所以设原式的分解式是- I' -2?十：然后展开，利用多项式的恒等,求出m, n,的值。解法1因为-I-厂；'1 .-.所以可设2 十 +2y-3y2 +x+14yl5= （x-y + 战）（2x + 3+js）.=2x3 + xy-32 + （2 朋十 m）x + （3 髀一同丿 + 湘ir2ji+n=l比较系数，得-由、解得 h = 1 :.二'把=打=I代入式也成立。. 丁 I 二辺X ：二v :|I思路2前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出 m,n的值。解法2因为-I-厂

3、；'1 . -;.所以可设2x2 + i + W.y-15 - （x-y + 刑）（2x+ 3y 卄）.因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令二 -得令' - '-1，-.得讪工: 1.1解、得空二二；或 - - 把它们分别代入恒等式检验，得， : .一 - - .T 7- I ;说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方 程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程 组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。例2分解因式思路 本题是关于 x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解

4、为两个二次式之 积。解设二 -一.=(? +ax + l)(x2 +分 + 5) J + (a +A)x3 + (aiJ + (5a +fi)x+5ta+ b= -1由恒等式性质有：'日b + 6二45a+ b= 3-由、解得.：.-，代入中，式成立。.-1 : - - : 说明若设原式- -厂. -由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式= (x2 +dx + l)(? +分+*例3在关于x的二次三项式中，当r - I时，其值为0；当-1时，其值为0;当I _ _时，其值为10 ,求这个二次三项式。思路1先设出关于 x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。可

5、 考虑利用恒待式的性质。解法1设关于x的二次三项式为 - :;- 二把已知条件分别代入，得a+ b+ c = 0宅 9a+ 3b + c = 04a + 2b + c = 10a = 3, 解得* b = 4tI c = -6.故所求的二次三项为思路2根据已知' 一-时，其值0这一条件可设二次三项式为工；T；：； ! J然后再求出a的值。解法2由已知条件知当= I,；时，这个二次三项式的值都为0,故可设这个二次三项式为把】一代入上式，得解得_故所求的二次三项式为二即-t说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。例4已知多项式的系数都是整数。若二,：_：；是奇数，证明这个多项式不能

6、分解为两个整系数多项式的乘积。思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其 他知识推出这种分解是不可能的。证明：设|-: - -：- :丁 :一.:- - , I "I"'：' （m,n,r 都是整数）。比较系数，得w = d.因为乂- .； j ； I是奇数，则. . _与d都为奇数，那么 mr也是奇数，由奇 数的性质得出m,r也都是奇数。在式中令|，得由- -是奇数，得|十、一 -+叮是奇数。而 m为奇数，故| 是偶数，所以I i是偶数。这样的左边是奇数，右边是偶数。这是不可能的。因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘

7、积。说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。例5已知：-能被-整除，求证：| ：''思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。证明：设展开，比较系数，得a-2c = 0F+ b - 2ac= 0atjt4rn-abc + = 0 cJSr-c-be3 =59由、，得一 = .二=二代入、得：”-:-',丁： u 例6若a是自然数，且一一 丁一二的值是一个质数，求这个质数。思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。进而解决问题。解：由待定系数法可解得?-4?+15-30 + 27

8、 （a3 - 3a + 3（沖-ts + 9）,由于a是自然数，且，二一十 -;_，是一个质数，as -3d + 3< a1 -3 + 9.二 J 解得；I.：, 当一.：时，*门-；不是质数。当J' - 1时，'巴-? 1是质数。 j J 工.；，'11 .练习A级1、 分解因式3H + 5心- 2护+工+ 9y - 4二.2、若多项式3+ 5砂-2y2 +并+ 9y +就能被3x-y + 4整除，则n=.3、 二次三项式当-：时其值为-3，当一时其值为2，当，丨时其值为5，这个二次三项式是 .4、m, n是什么数时，多项式 -1 - _； J - '

9、/ -+ ；，能被一二-一整除？B级5、 多项式 3F +2xy_y" +*-3> +上能分解为两个一次因式的积，贝卩k=.6、 若多项式1 - ； ； - ._； + ；,能被；一整除，则E 门-.7、若多项式_6+恋讪当 L 1,2时的值均为0,则当x=时，多项式的值也是0。8、 求证丁 ：不能分解为两个一次因式的积。参考答案或提示：1.提示：设原式 二；-十二十：十= 3x2 +5xy-2y2 + + 弘)x + (2a - b)y + ab.比较两边系数，得a + 3b = 12a-b = 9ab - -4由、解得p =4, |i = -l将' T代入式成立。原

10、式 _2、-4。提示：设原式 匕- '、'_： - :比较系数，得3m+ 4 = 18-m-9n = 4m由、解得:-=.代入得:;:3、J.r提示：设二次三项式为-：;把已知条件代入，得+b +c =4a + 2b + c 2,a -h + c = 5k解得ib-AfL =亠2L所求二次三项式为一4.疋设；'-Nv- -:' /:/ I：COe 懸M隼壬 q+A禹汙AI+禹 g)+A7M斗 7.(?§+n yT¥疤怒谆曙甲X.r【 N瞪esM HS!罡 X M富H起。迤觀t£h藉黠¥济e星卫寸Hu =LdE汕III "德h N esE; Zn十亭犬e 懸M隼壬 si+氏+ 南)+AL + 禹芒斗 J(7g) + 7 H卜ICD提示：设原式 (E)(盯 2)(“)=x3 -(3 +