矩阵理论与方法期末复习

1、1 1矩阵理论与方法矩阵理论与方法期末复习期末复习2 2考试相关信息n考试时间：考试时间：1 1月月1111日日 下午下午2:002:00到到4:004:00n考试地点考试地点n教学教学3 3班班 教三教三132 132 共共105105人人n教学教学4 4班学号班学号20141100922014110092（张进年）之前（张进年）之前 教三教三117117（共（共7070人）人）n教学教学4 4班学号班学号20141101012014110101（郭众鑫郭众鑫 ）开始开始 教三教三130130（共（共7575人）人）n考前答疑安排考前答疑安排n地点：教二地点：教二214214n时间：周五上下

2、午时间：周五上下午n大大作业提交截止时间：作业提交截止时间：1 1月月1111日下午日下午4 4:00:003 3线性空间n线性空间的定义：满足元素乘积和数乘的线性空间的定义：满足元素乘积和数乘的8 8条性质，会验证条性质，会验证n线性表示、线性相关、线性无关的概念线性表示、线性相关、线性无关的概念n线性空间的维数、基和坐标的概念线性空间的维数、基和坐标的概念n线性空间中基变换的过渡矩阵、坐标变换公式及计算线性空间中基变换的过渡矩阵、坐标变换公式及计算n直接法直接法n中介中介基法基法n线性子空间的定义、由一组向量张成的子空间概念、几个特殊的子空间及线性子空间的定义、由一组向量张成的子空间概念、

3、几个特殊的子空间及相关性质相关性质n子空间之间的运算、直和的概念和性质子空间之间的运算、直和的概念和性质n不变子空间的概念不变子空间的概念4 4线性变换n线性变换的定义、等价定义、基本性质，会利用定义或等价定义验证线性变换的定义、等价定义、基本性质，会利用定义或等价定义验证n线性变换的基本性质、线性变换的值域以及核的概念线性变换的基本性质、线性变换的值域以及核的概念n线性变换的基本运算及运算性质线性变换的基本运算及运算性质n线性变换的矩阵表示及坐标公式，线性变换在不同基下矩阵变换公式、相线性变换的矩阵表示及坐标公式，线性变换在不同基下矩阵变换公式、相似矩阵的概念似矩阵的概念5 5特征值与特征向

4、量n线性变换的特征值概念，线性变换与矩阵特征值以及特征向量的等价性及线性变换的特征值概念，线性变换与矩阵特征值以及特征向量的等价性及计算公式计算公式n矩阵的特征多项式，特征多项式，特征多项式系数与矩阵迹和行列式的关矩阵的特征多项式，特征多项式，特征多项式系数与矩阵迹和行列式的关系系n特征值的性质特征值的性质n最小多项式的概念、矩阵多项式的计算方法最小多项式的概念、矩阵多项式的计算方法n线性变换的基本性质、线性变换的值域以及核的概念线性变换的基本性质、线性变换的值域以及核的概念n线性变换的基本运算及运算性质线性变换的基本运算及运算性质n线性变换的矩阵表示及坐标公式，线性变换在不同基下矩阵变换公式

5、、相线性变换的矩阵表示及坐标公式，线性变换在不同基下矩阵变换公式、相似矩阵的概念似矩阵的概念6 6对角矩阵和标准形n矩阵与对角矩阵相似的充要条件矩阵与对角矩阵相似的充要条件nJordanJordan块和块和JordanJordan标准形的定义标准形的定义n不变因子、初等因子的概念不变因子、初等因子的概念nJordanJordan标准形的计算方法标准形的计算方法7 7Euclid空间n欧氏空间的定义，会根据定义的欧氏空间的定义，会根据定义的4 4个条件验证个条件验证n内积的性质内积的性质n内积的度量矩阵及内积的坐标表示内积的度量矩阵及内积的坐标表示n欧氏空间的长度与角度欧氏空间的长度与角度n正交

6、的概念、正交基、欧氏空间正交基的构造方法（正交的概念、正交基、欧氏空间正交基的构造方法（SchmitSchmit正交化方法）正交化方法）n正交补空间的概念正交补空间的概念n欧氏空间的正交变换、对称变换的概念及矩阵形式（正交矩阵、实对称矩欧氏空间的正交变换、对称变换的概念及矩阵形式（正交矩阵、实对称矩阵）阵）8 8酉空间n酉空间的定义，会根据定义的酉空间的定义，会根据定义的4 4个条件验证个条件验证n酉内积的性质酉内积的性质n酉空间的长度与角度酉空间的长度与角度n酉正交的概念、正交基、正交基的构造方法（酉正交的概念、正交基、正交基的构造方法（SchmitSchmit正交化方法）正交化方法）n酉变

7、换、酉对称变换的概念及矩阵形式（酉矩阵、酉变换、酉对称变换的概念及矩阵形式（酉矩阵、HermiteHermite矩阵）矩阵）n正规矩阵的概念和性质，矩阵对角分解定理正规矩阵的概念和性质，矩阵对角分解定理9 9向量范数n向量范数的定义，能根据定义进行验证向量范数的定义，能根据定义进行验证n常见向量范数的实例常见向量范数的实例n向量范数的性质、等价性向量范数的性质、等价性1010矩阵范数n矩阵范数的定义，能根据定义进行验证矩阵范数的定义，能根据定义进行验证n矩阵范数与向量范数相容的概念及实例矩阵范数与向量范数相容的概念及实例n常见矩阵范数的实例常见矩阵范数的实例n从属矩阵范数的概念和实例从属矩阵范

8、数的概念和实例n矩阵序列的收敛性定义矩阵序列的收敛性定义n矩阵范数的应用矩阵范数的应用n非奇异性定理非奇异性定理n逆矩阵逼近结论、逆矩阵摄动逆矩阵逼近结论、逆矩阵摄动n矩阵的谱半径矩阵的谱半径1111矩阵序列与级数n矩阵序列收敛性的定义及其性质矩阵序列收敛性的定义及其性质n矩阵级数收敛性和绝对收敛性的定义、判定和性质矩阵级数收敛性和绝对收敛性的定义、判定和性质n矩阵幂级数的概念和收敛性判定矩阵幂级数的概念和收敛性判定1212矩阵函数n矩阵函数的概念、常见矩阵函数矩阵函数的概念、常见矩阵函数n矩阵函数值的计算方法矩阵函数值的计算方法n待定系数法待定系数法n数项级数求和法数项级数求和法n对角形法对

9、角形法nJordanJordan标准形法标准形法n矩阵函数的另一种定义方法（矩阵函数的另一种定义方法（JordanJordan标准形）标准形）1313矩阵微分n矩阵微分、积分的概念和基本性质矩阵微分、积分的概念和基本性质n函数对矩阵的导数形式及性质函数对矩阵的导数形式及性质n函数矩阵对矩阵的导数形式及性质函数矩阵对矩阵的导数形式及性质n一阶线性微分方程组的矩阵形式以及通解一阶线性微分方程组的矩阵形式以及通解1414矩阵LU分解n矩阵矩阵LU/LDULU/LDU分解的定义、可分解的充要条件分解的定义、可分解的充要条件n矩阵矩阵LDULDU分解的方法分解的方法nFrobeniusFrobenius

10、矩阵方法矩阵方法nCROUTCROUT分解方法分解方法nDOOLITTLEDOOLITTLE分解方法分解方法n实对称正定矩阵的平方根分解（实对称正定矩阵的平方根分解（CholeskyCholesky分解）方法分解）方法1515矩阵QR分解nGivensGivens变换和变换和GivensGivens矩阵的概念及性质，用矩阵的概念及性质，用GivesGives变换进行向量变换的基变换进行向量变换的基本方法本方法nHouseholderHouseholder变换和变换和HouseholderHouseholder矩阵的概念及性质，用矩阵的概念及性质，用HouseholderHouseholder变

11、换变换进行向量变换的方法进行向量变换的方法n矩阵矩阵QRQR分解的概念、分解的概念、QRQR分解的充要条件分解的充要条件n矩阵矩阵QRQR分解的方法分解的方法nSchmitSchmit正交化方法正交化方法nGivensGivens变换方法变换方法nHouseholderHouseholder变换方法变换方法nHessenbergHessenberg矩阵的概念和相关分解矩阵的概念和相关分解1616矩阵满秩分解n矩阵满秩分解的定义、满秩分解的基本方法矩阵满秩分解的定义、满秩分解的基本方法nHermiteHermite标准形定义，利用标准形定义，利用HermiteHermite标准形进行满秩分解的方法标准形进行满秩分解的方法1717矩阵奇异值分解n矩阵正交对角分解的概念和相关定理矩阵正交对角分解的概念和相关定理n奇异值的概念奇异值的概念n矩阵奇异值分解的概念、奇异值分解的构造方法和存在性定理矩阵奇异值分解的概念、奇异值分解的构造方法和存在性定理n矩阵奇异值分解的性质矩阵奇异值分解的性质n矩阵正交相抵的概念和性质矩阵正交相抵的概念和性质1818投影矩阵、广义逆矩阵n投影算子的概念、投影矩阵的概念、投影矩阵的充