方案设计型问题综述

1、    方案设计型问题综述    李琳近年来方案设计型问题一直是各地中考命题的热点，考查的知识一般是一次方程（组）、一元一次不等式、一次函数等，偶而涉及二次函数.考查的数学思想主要是转化、数形结合、分类讨论等.一、运用不定方程（组）设计方案例1（2019.绥化）小明去商店购买a、b两种玩具，共用了10元，a种玩具每件1元，b种玩具每件2元，若每种玩具至少买一件，且a种玩具的数量多于b种玩具的数量，则小明的购买方案有（   ）.a.5种b.4种c.3种d.2种解析：设a种玩具的数量为x件，b种玩具的数量为）y件.由题意可得x+2y=10

2、，即y=5一x/2，且满足条件：x1，y1，x>y.可以分以下四种情况：（1）当x=2时，y=4，不符合要求.（2）当x=4时，y=3，符合要求.（3）当x=6时，y=2，符合要求.（4）当x=8时，y=1，符合要求.共有3种购买方案.点评：在某些实际问题中，依据数量关系列出的方程个数少于未知数个数时，通过求方程（组）的某种特征的解，可使问题获得解决.此题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意分情况讨论是解题的关键.二、运用一次方程（组）、一元一次不等式、一次函数设计方案例2（2019.广安）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯.已知购买3个a型节能灯和5个b型节能灯共需50元

3、，购买2个a型节能灯和3个b型节能灯共需31元.（1）1个a型节能灯和1个b型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200个，要求a型节能灯的数量不超过日型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.解析： （1）设1个a型节能灯的售价是x元，1个b型节能灯的售价是y元. 200-a=50.答：当购买a型节能灯150个、b型节能灯50个时最省钱.点评：运用一次方程（组）、一元一次不等式、一次函数进行方案设计，可以根据题中蕴含的等量关系以及变量间的函数关系.列出方程（组）、函数解析式，再根据题中的不等关系确定变量的取值范围，结合一次函数的性质确定最优的方案，

4、三、运用一次方程（组）、一元一次不等式设计方案例3 （2019.温州）某旅行团32人在景区a游玩，他们由成人、少年和儿童组成，已知儿童10人，成人比少年多12人.（1）该旅行团中成人与少年分别是多少人？（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区b游玩.景区b的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童，若安排成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少.解析：（1）设成人有x人

5、，少年有y人.可午x+y+10=32，解得x=17x=y+12，y=5答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人.（2）安排成人8人和少年5人带队，所需门票的总费用是100×8+5×100×0.8+（108）×100×0.6=1 320（元）.答：安排成人8人和少年5人带队，所需门票的总费用县1 320元.设可以安排成人a（a为正整数）人，少年b（b为正整数）人带队，则1a17，1b5.下面分情况讨论，分别求出在a的不同取值范围内6的最大值，得到符合题意的方案，并计算出所需费用，比较大小即可，当10a17时，可分以下三种情况.a.若a =10.

6、则100 x10 +100b x0.81200.得b2.5.b的最大值是2，此時a+b =12，费用为1 160元.b.若a=11，则100 x11+100b x0.81 200，得b5/4.b的最大值是1，此时a+b =12，费用为1 180元.c.若a12，则100a1 200，即成人门票费用至少是1200元，不合题意，舍去.当1a<10时，可分以下三种情况.a.若a=9.则100x9+100b x0.8+100x1×0.61200.得63.b的最大值是3，此时a+b=12，费用为1 200元.b.若a=8，则100x8+100b x0.8+100x2x0.61200，得b3.5.b的最大值是3.此时a+b=11<12.c.当a<8时，易知a+b<12.综上所述，最多安排成人和少年共12人带队，有三种方案：成人10人，少年2人;成人11人，少年1人;成人9人，少年3人.其中成人10人、少年2人时购票费用最少.点评：运用一次方程（组）、一元一次不等式进