第二章第三节交通流特性参数的统计分布

1、在设计新的交通设施或新的管制方案时候，需要预测有关某些特征的交通在设计新的交通设施或新的管制方案时候，需要预测有关某些特征的交通特性，并且常常希望能用现有的或假设的有限数据作出预报。如：在设特性，并且常常希望能用现有的或假设的有限数据作出预报。如：在设计左转弯的候车道时，需要预测在一个信号周期，车辆到达数超过计左转弯的候车道时，需要预测在一个信号周期，车辆到达数超过4辆每辆每小数会有多少次等。小数会有多少次等。统计分布模型使交通技术人员能用象那些最少量的资料作出预报。统计分布模型使交通技术人员能用象那些最少量的资料作出预报。在描述具有高度随机性的各种现象时，常常用统计分布理论。在交通上最在描述

2、具有高度随机性的各种现象时，常常用统计分布理论。在交通上最重要的分布是离散型分布（描述可数的事件出现率）以及连续型分布重要的分布是离散型分布（描述可数的事件出现率）以及连续型分布（描述事件之间时间间隙的出现率）。（描述事件之间时间间隙的出现率）。本节主要讨论离散分布，主要包括泊松分布、二项分布及负二项分布等，本节主要讨论离散分布，主要包括泊松分布、二项分布及负二项分布等，然后讨论基本的连续型分布，最后讨论了用于交通的几种改进分布。然后讨论基本的连续型分布，最后讨论了用于交通的几种改进分布。在一定的时间间隔期间清点车辆到达数，是最老的也是最简单的交通量量测在一定的时间间隔期间清点车辆到达数，是最

3、老的也是最简单的交通量量测法。当比较一系列时间间隔相等的计数时，这就形成了一随机序列。这法。当比较一系列时间间隔相等的计数时，这就形成了一随机序列。这就引起交通技术人员研究其分布，描述一间隔期间车辆到达的事件。就引起交通技术人员研究其分布，描述一间隔期间车辆到达的事件。1、泊松分布、泊松分布为了描述离散事件完全随机出现，泊松分布是合适的分布。其早期在交通上为了描述离散事件完全随机出现，泊松分布是合适的分布。其早期在交通上的应用有：金蔡于的应用有：金蔡于1933年论述了泊松分布应用于交通的可能性，年论述了泊松分布应用于交通的可能性，1936年年亚当斯发表了数值例题，亚当斯发表了数值例题，1947

4、年格林希尔治在其有关交叉口交通分析中，年格林希尔治在其有关交叉口交通分析中，采用泊松分布。采用泊松分布。泊松分布的公式：泊松分布的公式：!)()(xetxPtx!)(xemxPmx,2, 1 ,0 xP(x)为在计数周期为在计数周期t期间期间x辆车到达的概率辆车到达的概率为平均到达率（辆为平均到达率（辆/妙）妙）t为每个计数周期的持续时间（妙）为每个计数周期的持续时间（妙）m= t为在持续时间为在持续时间t周期内平均到达的车辆数周期内平均到达的车辆数（1）用泊松分布拟合观测数据）用泊松分布拟合观测数据 当泊松分布拟合到观测数据时，参数当泊松分布拟合到观测数据时，参数m的计算：的计算：概率的计算

5、：概率的计算：总的观测次数总的事件m观测的总车辆数观测的总车辆数总的周期数总的周期数meP)0(xmexmexmxPxPmxmx)!1(!) 1()(1当当 时，时，据此可以得到：据此可以得到：可以计算出计数周期可以计算出计数周期t期间期间x辆车到达的概率。辆车到达的概率。1x)1()(xPxmxPmeP)0()0(1)1 (PmP)1 (2)2(PmP)2(3)3(PmP为递推公式为递推公式举例：已知数据如表所示：举例：已知数据如表所示：每每10秒周期的车辆到达数秒周期的车辆到达数观测频率观测频率总的到达车辆数总的到达车辆数理论频率理论频率094097.01636359.92214218.5

6、3263.83000.8合计合计180111180.0在在180个个10秒内有秒内有111辆车到达辆车到达,小时交通量小时交通量:第第3栏由第栏由第1栏乘以第栏乘以第2栏得到栏得到;理论频率的计算理论频率的计算:! xemmx （总的观测频率）理论频率180111总的观测频率总的车辆到达数量mx为第一栏中的数值为第一栏中的数值222（2）累积泊松分布）累积泊松分布上面讨论的是对待特定事件（即给定恰好上面讨论的是对待特定事件（即给定恰好x辆车到达）出现的概论，实际辆车到达）出现的概论，实际上，常常要求计算某一范围事件的概论。上，常常要求计算某一范围事件的概论。泊松分布各项可以总起来得出每周期期间

7、少于或多于泊松分布各项可以总起来得出每周期期间少于或多于x辆车的概率。例如：辆车的概率。例如：交通技术人员需要计算在已知的周期期间交通技术人员需要计算在已知的周期期间2辆车或少于辆车或少于2辆车到达的概率？辆车到达的概率？解：也就是车辆数解：也就是车辆数0，1，2到达的概率的总和，即：到达的概率的总和，即：20!)2(imiiemxP一般情况：一般情况：到达数量小于或等于到达数量小于或等于k的概论：的概论：到达数量小于到达数量小于k的概论：的概论：到达数量至少是到达数量至少是l但不超过但不超过n的概率：的概率：kiimiiemkxP0!)(10!)(kiimiiemkxP到达数量大于到达数量大

8、于k的概论：的概论：)(1)(kxPkxPkiimiiem0!1到达数量大于或等于到达数量大于或等于k的概论：的概论：)(1)(kxPkxP10!1kiimiiemnilimiiemnxlP!)(（3）泊松分布的使用情况）泊松分布的使用情况泊松分布适用于描述离散型随机变量，当交通流量不大并且没有象交通信泊松分布适用于描述离散型随机变量，当交通流量不大并且没有象交通信号这类因素干扰时，交通状况会出现随机性，泊松分布能够提供良好的号这类因素干扰时，交通状况会出现随机性，泊松分布能够提供良好的成果。成果。当交通拥挤或交通流的到达率上有周期干扰时候（如交通信号），用泊松当交通拥挤或交通流的到达率上有周

9、期干扰时候（如交通信号），用泊松泊松分布描述交通状况误差会较大。泊松分布描述交通状况误差会较大。具体应用时候，应该注意泊松分布的平均数与方差是相等的，当观测数据具体应用时候，应该注意泊松分布的平均数与方差是相等的，当观测数据的方差的方差/平均数的比率显著地不等于平均数的比率显著地不等于1.0时候，就是泊松分布不适合的表示。时候，就是泊松分布不适合的表示。2、二项分布、二项分布（1 1）二项分布的公式）二项分布的公式对于拥挤的交通（该处观测的方差对于拥挤的交通（该处观测的方差/平均数比率实际上小于平均数比率实际上小于1）时，可以使）时，可以使用二项分布来描述车辆到达的分布。用二项分布来描述车辆到

10、达的分布。二项分布的表达式：二项分布的表达式：xnxnxppCxP)1 ()(nx, 2 , 1 , 0p是是1辆车到达的概率辆车到达的概率nxC是是n个中一次取个中一次取x的组合数的组合数)!( !xnxnCnx对于二项分布，对于二项分布，m=np，m是平均数；是平均数；S2=np(1-p)是方差。是方差。如果如果 是拟合中使用的二项分布参数是拟合中使用的二项分布参数p的估计值，的估计值， 是拟合中使用的二项是拟合中使用的二项分布参数分布参数n的估计值，这些参数可以用下列关系式来估算：的估计值，这些参数可以用下列关系式来估算：二项分布的递推公式：二项分布的递推公式：p n msmp/ )(2

11、)/(/22smmpmnnpP)1 ()0()(11) 1(xPppxxnxP（2）举例）举例车辆数车辆数/间隔间隔观测频率观测频率理论频率（二理论频率（二项分布）项分布）理论频率（泊理论频率（泊松分布）松分布）1200.42.7合计合计646464m=7.469 S2=3.999S2/m=0.5353、负二项分布、负二项分布当交通流计数延续到高峰期间与非高峰期间两个方面时，将会形成一个高方当交通流计数延续到高峰期间与非高峰期间两个方面时，将会形成一个高方差。在交通信号的下游会有一个很普遍但不是很明显的情况：信号循环差。在交通信号的下游会有一个很普遍但不是很明显的情况：信号循环的前一部分时间，

12、交通流大，信号循环的后一部分时间，交通流很小。的前一部分时间，交通流大，信号循环的后一部分时间，交通流很小。如果计数期间相应于周期的绿灯部分，或相应于整个信号周期，周期影如果计数期间相应于周期的绿灯部分，或相应于整个信号周期，周期影响会不明显。不过如果计数周期短，会有大流量的时段与小流量的时段，响会不明显。不过如果计数周期短，会有大流量的时段与小流量的时段，甚至有居中流的时段，这样形成的计数分布将产生很高的方差。甚至有居中流的时段，这样形成的计数分布将产生很高的方差。（1）负二项分布的公式）负二项分布的公式 使用样本平均值与样本方差来估计参数完成使用样本平均值与样本方差来估计参数完成 与与 的

13、拟合。如果的拟合。如果m是观测是观测数据的平均值，数据的平均值， 是观测数据的方差，则有：是观测数据的方差，则有：nkkknqpCxP11)(, 2 , 1 , 0 xp k2/smp 2smsmk22) 1 (pq有了这些公式就可以有了这些公式就可以求得相应的概率求得相应的概率相应的递推公式相应的递推公式kpP)0() 1(1)(xqPxkxxP举例：举例：车辆数车辆数/间隔间隔观测频率观测频率理论频率（负理论频率（负二项分布）二项分布）理论频率（泊理论频率（泊松分布）松分布）0139140.4129.61128122.0132.425562.262.232524.224.24108.08.

14、0532.32.3500.90.9合计合计36036064m=1.022 S2=1.203 S2/m=1177基本离散分布的提要基本离散分布的提要（1）泊松分布模拟离散型的随机变量）泊松分布模拟离散型的随机变量（2）在低交通量计数中所观测的数据，其方差）在低交通量计数中所观测的数据，其方差/平均值比率约为平均值比率约为1，泊松分布，泊松分布可拟合观测数据。可拟合观测数据。（3）在拥挤的交通量计数中，观测数据所得方差）在拥挤的交通量计数中，观测数据所得方差/平均值比率事实上小于平均值比率事实上小于1，对观测数据可用二项分布拟合。对观测数据可用二项分布拟合。（4）在交通量计数中，有流量的周期变化，

15、或在计数周期平均流量在改变，）在交通量计数中，有流量的周期变化，或在计数周期平均流量在改变，得出方差得出方差/平均值的比率事实上大于平均值的比率事实上大于1.0，则负二项分布可拟合观测数据。，则负二项分布可拟合观测数据。)(tN以上分析提出了一定时间间隔内出现离散事件的概率，另外一非常重要的交以上分析提出了一定时间间隔内出现离散事件的概率，另外一非常重要的交通特性是事件之间的时间，即前后车辆到达之间的车间时距。为此需要通特性是事件之间的时间，即前后车辆到达之间的车间时距。为此需要用到连续型分布。用到连续型分布。负指数分布等负指数分布等1、负指数分布、负指数分布车辆的到达服从泊松分布，其公式为：

16、车辆的到达服从泊松分布，其公式为：令：令： 其中其中V为小时交通量为小时交通量则上式变为：则上式变为：!)()(xetxPtxP(x)为在计数周期为在计数周期t期间期间x辆车到达的概率辆车到达的概率为平均到达率（辆为平均到达率（辆/妙）妙）t为每个计数周期的持续时间（妙）为每个计数周期的持续时间（妙）m= t为在持续时间为在持续时间t周期内平均到达的车辆数周期内平均到达的车辆数3600V!)3600()(3600 xeVtxPVt3600)0(VteP当当x为为0时候有：时候有：在具体的时间间隔在具体的时间间隔t内，如果无车辆到达，则上一次车辆到达和下一次车辆内，如果无车辆到达，则上一次车辆到

17、达和下一次车辆到达之间，车间时距至少为到达之间，车间时距至少为t秒。换句话说，秒。换句话说，P(0)也是车间时距等于或大也是车间时距等于或大于于t秒的概率。这可以表示为：秒的概率。这可以表示为：从该关系可见，在随机车流状况下，大于任何已知值的车间时距数将按指数从该关系可见，在随机车流状况下，大于任何已知值的车间时距数将按指数曲线分布，为负指数分布，简称为指数分布曲线分布，为负指数分布，简称为指数分布 3600)0(VteP3600/)(VtethP上式中上式中m或或Vt/3600是到达（计数）概率分布的平均数。如果使是到达（计数）概率分布的平均数。如果使m=t/T，T是是间隔（车间时距）概率分

18、布的平均数间隔（车间时距）概率分布的平均数=3600/V。这样车间时距等于或大于。这样车间时距等于或大于t的概率可以写成：的概率可以写成：而车头时距小于而车头时距小于t的概率为：的概率为：3600/)(VtethPTtethP/)(TtethP/1)( 通过计算平均时间间隔通过计算平均时间间隔T后，就可以计算求得各种后，就可以计算求得各种t值的值的 值，拟合值，拟合指数概率分布。指数概率分布。举例：举例：Tte/车间时距车间时距t观测累积的频率观测累积的频率（t）H，期望的车间，期望的车间时距数（时距数（t）车间时距车间时距t车间时距车间时距t观测观测累积频率，累积频率，tH，期望的车间时，期

19、望的车间时距数（距数（t）0214214162635.71185191.3171931.92171171181628.53149153191425.54136136.7201122.75125122.2211020.36111109.422918.279597.823816.388487.324814.697278.125713.1106169.826711.6115262.527610.5125055.82849.2133449.92938.3143244.53017.5152939.83106.6观测数据包含观测数据包含214个时间间隔，总计个时间间隔，总计1753秒。秒。这样，这样，T=

20、1753/214=8.19秒，秒，则则m=t/T=t/8.19=0.122t则拟合的结果见上面表格。则拟合的结果见上面表格。tethP122. 0)(将数据用图来表示：将数据用图来表示：2、改进的负指数分布、改进的负指数分布移位负指数分布移位负指数分布用于车辆计数的泊松分布及用于前后两车相隔时间的负指数分布，只适用于用于车辆计数的泊松分布及用于前后两车相隔时间的负指数分布，只适用于低交通量。当交通转为繁忙，车辆随意超车的能力受到限制，车辆间的低交通量。当交通转为繁忙，车辆随意超车的能力受到限制，车辆间的相互影响增加。这时车队趋向于成队驾驶，车队的最小车间距明显地大相互影响增加。这时车队趋向于成

21、队驾驶，车队的最小车间距明显地大于于0；另外，指数分布描述车间时距越趋于；另外，指数分布描述车间时距越趋于0出现的概率越大，或说指数出现的概率越大，或说指数分布描述的是车头间距趋于较小时候的概率，或者说指数分布预测的短分布描述的是车头间距趋于较小时候的概率，或者说指数分布预测的短车间距太多。车间距太多。如图所示为指数分布对数据的拟合，显然效果较差。如图所示为指数分布对数据的拟合，显然效果较差。对指数分布进行改进：移位负指数分布对指数分布进行改进：移位负指数分布处理的方法是插进最小容许车间时距，即其中车间时距被禁止的分布区。处理的方法是插进最小容许车间时距，即其中车间时距被禁止的分布区。得到移位

22、负指数分布函数为：得到移位负指数分布函数为：移位指数分布拟合数据，需要估计参数移位指数分布拟合数据，需要估计参数 和和 是从原点量测的平均值是从原点量测的平均值 是曲线相对于原点的位移是曲线相对于原点的位移)/()()(TtethPTT举例：与前图对比举例：与前图对比移位负指数分布适合描述限制超车的单列车流车头时距分布和低流量时多列移位负指数分布适合描述限制超车的单列车流车头时距分布和低流量时多列车流的车头时距分布，不适合于车流量高的数据。车流的车头时距分布，不适合于车流量高的数据。3、爱尔朗分布、爱尔朗分布爱尔朗分布可以较好地描述车头间距。爱尔朗分布可以较好地描述车头间距。累积的爱尔朗分布可

23、以写成如下形式：累积的爱尔朗分布可以写成如下形式：当当k=1时候，为指数分布时候，为指数分布10/!)()(kiTktiieTktthPTtethP/)(当当k=2时时当当k=3时时当当k=4时时k的计算可由观测数据的均值的计算可由观测数据的均值m和方差和方差s2进行估算：进行估算：TkteTktthP/)(1 )(TkteTktTktthP/2! 21)()(1 )(TkteTktTktTktthP/32! 31)(! 21)()(1 )(22smk k四舍五入取整四舍五入取整4、复合车间时距模型、复合车间时距模型对于多于一个车道的车间时距，可以用两个子总体组成：一个是畅行车辆，对于多于一个

24、车道的车间时距，可以用两个子总体组成：一个是畅行车辆，另外一个是受前面交通限制的行驶车辆。因此将移位和不移位的指数分另外一个是受前面交通限制的行驶车辆。因此将移位和不移位的指数分布模型进行复合，即复合的车间时距模型：布模型进行复合，即复合的车间时距模型：式中：式中：a为受限制车辆构成的总流量的一部分为受限制车辆构成的总流量的一部分 T1为畅行车辆的平均车间时距为畅行车辆的平均车间时距 T2为受限制车辆的平均车间时距为受限制车辆的平均车间时距 受限制车辆的曲线位移值（即最小车间时距）受限制车辆的曲线位移值（即最小车间时距） )exp(1 )exp(1)1 ()(21TtTtthP采用复合车采用复合车间时距模型间时距模型的例子：的例子：5、车间时距分布的选择、车间时距分布的选择和许多工程选择过程一样，要综合考虑经济条件与模型的精确