圆轴扭转应力

1、授课日期学时2课次授课班级授课教师授课题目 （教学章、节或主题）第十一章扭转第二节 扭转时横截面上的应力第四节圆轴扭转时的变形教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次）掌握圆轴扭转时横截面上的应力和变形教学重、难点重点与难点：圆轴扭转时横截面上的应力和变形参考资料 （含参考书、文献等）河南省高等职业技术学院教材工程力学徐广民中国铁道出版社21世纪高职高专系列教材工程力学杨玉贵机械工业出版社授课类型（请打2）理论课2讨论课 实验课 练习课其他教学过程设计（请打2）习口授新课2 安排讨论口 布置作业口教学方式（请打2）讲授2讨论口示教口指导口 其他口教学资源（请打2）多媒体模型口实物口挂图口音像

2、口 其他2基础部主任签字年月日教研室组长签字：年月日课时分配教学内容、方法、步骤§ 11-2圆轴扭转时的应力、圆轴扭转时横截面上的剪应力如图11-9a所示受扭圆轴，与薄圆筒相似，如用一系列平行的纵线与圆周线将圆轴表面分成一形有以下规律:TTpFI©平面叛设及变册几何关承个个小方格，可以观察到受扭后表面变4彳粘11-9(1)各圆周线绕轴线相对转动一微小转角，但大小，形状及相互间距不变;(2)由于是小变形，各纵线平行地倾斜一个微小角度，认为仍为直线；因而各小方格变形后成为菱形。平面假设：变形前横截面为圆形平面，变形后仍为圆形平面，只是各截面绕轴线相对“刚性地”转了一个角度。2.

3、变形几何关系从图11-9a取出图11-9b所示微段dx ,其中两截面pp,qq相对转动了扭转角d化纵线ab倾斜小角度了成为ab'而在半径P(od)处的纵线cd根据平面假设，转过6后成为cd'(其相应倾角为 二见图11-9c)由于是小变形，从图11-9c可知：dd'=jdxd'对于半径为于是dxR的圆轴表面（见图d©二Rddx11-9b),则为(b)(a)与受扭薄壁圆筒相同，在半径为处截出厚为d的薄圆筒（图11-9b），用一对相距dy而相交于轴线的径向面取出小方块（正微六面 体）如图11-9c此为受纯剪切单元体由剪切胡克定理和式（a）得d ©.

4、G 二 G ： dx这表明横截面上任意点的剪应力与该点到圆心的距离'成正比，即（C）当0,.厂0 ；当R，取最大值。由剪应力互等定理，则在径向截面和横截面上，沿半径剪应力的分布如图4 静力平衡关系象的横截面内，有dA = 2卞d，扭矩11-10。在图11-11所示平衡对11-11 無去爷誥忌捡T =.二：dA，由力偶矩平衡条件m。= 0，得ATWSA十2磴dAY轨令 Ip 二 A ®dA(11-9)此处d /dx为单位长度上的相对扭角，对同一横截面，它应为不变量。m4T.GIdx pdxGl p(11-10)(11-10)式代回(c)式，得TPTP =Ip(11-11)则在圆

5、截面边缘上,r为最大值R时，得最大剪应力为TR TmaxI p Wt(11-12)此处WtIp(11-13)Ip为几何性质量，只与圆截面的尺寸有关，称为极惯性矩；单位为或 cm4。W称为抗扭截面系数，单位为 m3或cm3。二、圆轴扭转时横截面上的剪应力5. Ip、Wt计算对实心圆轴IpWtI对空心圆轴-ISTBD -/J f11-12li2D 2A ' dA = o 2J2Ip 二 D3D2 162 二 3 二32(11-15)二"dA 二：2 专2讣=D " D < A j2 W 二 IpD/216DIp3232( 4)二 D4-d4 二D3(11-16)例

6、11-2 AB轴传递的功率为 N =7.5kW，转速n = 360 r/ min。如图11-12所示，轴AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知D =3cm，d =2cm。试计算AC以及CB段的最大与最小剪应力。解：(1)计算扭矩 轴所受的外力偶矩为m = 9550 N = 9550 兀5 = 199 N mn360由截面法(2)计算极惯性矩 AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为Ip1 =二D47.95 cm432-：444lP2 D-d4 = 6.38cm4 32（3）计算应力 AC段轴在横截面边缘处的剪应力为.外C =丄 D =37.5 106 Pa = 37.5MPa IP1 2C

7、B段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为CB CB -min =-内T d631.2 106 Pa =31.2MPaI P2 2CB CB -max二-夕卜T D =46.8 106 Pa =46.8 MPaI P2 2§ 11-4圆轴扭转时的变形扭转角是指受扭构件上两个横截面绕轴线的相对转角。对于圆轴，由式（11-10）d Jx GI p所以(11-17)式中GI p称为圆轴的抗扭刚度，它为剪切模量与极惯性矩乘积。GI p越大，则扭转角 '越小。让一 d dx，为单位长度相对扭角，则有爲p（ rad/m）扭转的刚度条件：*ax=G；e（rad/m）(11-18)'ma

8、xT 180 ,1(Gl P 二例11-3如图11-14所示等直圆杆,已知m0 =10KN m,试绘扭矩图。解：设两端约束扭转力偶为mA，m(1)由静力平衡方程'm'XmA _m。m° _mB =0mA 二 mB(a)此题属于一次超静定。(2 )由变形协调方程(可解除端约束)，用变形叠加法有(3)物理方程© =_m° aB1Glp 'B2由式(c)，(b)得m0a m0 2a_mB 3a“Glp GlpGl p-m0 2m0 -3mB =0并考虑到(a)，结果mmB =m°(b)o/m)(11-19)Bmo 2a'3BGl pGIp ' - mB 3aD %LrC% E1* - JifL d.11-14假设的力偶转向正确，绘制扭矩图如图11-14c所