2014届高考数学一轮检测“考黄金”精讲精析(人教版)：第5讲函数与方程函数模型及其应用

1、【考点 5】函数与方程、函数模型及其应用2013 年考题1.2013 福建高考函数2( )(0)f xaxbxc a的图象关于直线2bxa对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于 x.0 的方程2( )( )0m f xnf xp的解集不可能是a. 1,2b 1,4c 1,2,3,4d 1,4,16,64【解析】选d.此题用特例法解决简洁快速，对方程2( )( )0m f xnf xp中, ,m n p分别赋值求出( )f x检验即得 . 2. 2013 福建高考 假设函数fx的零点与422xg xx的零点之差的绝对值不超过 0.25， 则fx可以是a. 41fxxb.

2、2(1)fxxc. 1xfxed. 12fxinx【解析】选 a.41fxx的零点为 x=41,2(1)fxx的零点为 x=1, 1xfxe的零点为x=0, 12fxinx的零点为x=23.现在我们来估算422xg xx的零点 ， 因 为g(0)= -1,g(21)=1, 所 以g(x) 的 零 点x (0, 21), 又 函 数fx的 零 点 与422xg xx的零点之差的绝对值不超过0.25，只有41fxx的零点适合。3. 2013 海南宁夏高考用mina,b,c 表示 a,b,c 三个数中的最小值,设fx=min2x, x+2,10-x (x 0),则 fx的最大值为a. 4 b. 5

3、c. 6 d. 7 【解析】选c.画出 y2x，yx2，y10 x 的图象，如右图，观察图象可知，当 0 x2 时， fx 2x，当 2x3 时， fx x2，当 x4 时，fx 10 x，fx的最大值在x4 时取得为 6，故选 c。4. 2013 湖南高考设函数( )yfx在(,)内有定义，对于给定的正数 k，定义函数( ),( ),( ),( ).kf xf xkfxkf xk取函数( )2xf x。当 =12时，函数( )kfx的单调递增区间为a (,0)b(0,)c (, 1)d (1,)【解析】 选 c.函数1( )2( )2xxf x，作图易知1( )2f xk(, 11,)x，故

4、在(, 1)上是单调递增的. 5. 2013 江 西 高 考 设 函 数2( )(0)f xaxbxc a的 定 义 域 为 ， 假 设 所 有 点( ,( )( ,)s f ts td构成一个正方形区域，则的值为a2b4c8d不能确定【解析】选b.设12,x x为( )f x和轴的交点，则在d内由题意得12max|( )xxfx，222444bacacbaa，| 2aa，4a。6、 2013 重庆高考 已知以4t为周期的函数21,( 1,1( )12 ,(1,3mxxf xxx， 其中0m。假设方程3 ( )f xx恰有 5 个实数解，则的取值范围为a15 8(,)33b15(,7)3c4

5、8(,)3 3d4(,7)3【解析】选b.因为当( 1,1x时，将函数化为方程2221(0)yxym，实质上为一个半椭圆， 其图像如下列图，同时在坐标系中作出当(1,3x得图像， 再根据周期性作出函数其它 部 分 的 图 像 ， 由 图 易 知 直 线3xy与 第 二 个 椭 圆222(4)1(0)yxym相交，而与第三个半椭圆222(8)1(0)yxym无公共点时，方程恰有5 个实数解，将3xy代入222(4)1(0)yxym得2222(91)721350,mxm xm令229(0)(1)8150tm ttxtxt则由2215(8 )4 15 (1)0,15,915,03tt ttmmm得由

6、且得同 样 因 为3xy与 第 三 个 椭 圆222(8)1(0)yxym无 公 共 点 ， 由0可 计 算 得7m综上知15(,7)3m7.2013 山东高考假设函数f(x)=ax-x-a(a0 且 a1)有两个零点，则实数a 的取值范围是. 【 解 析 】 设 函 数1(0,xyaa且1a和 函 数2yxa (01)aa且, 则 函 数f(x)=ax-x-a(a0 且 a1)有两个零点 , 就是函数1(0,xyaa且1a与函数2yxa有两个交点 ,由图象可知当10a时两函数只有一个交点,不符合,当1a时 ,因为函数(1)xyaa的图象过点(0,1),而直线yxa所过的点一定在点(0,1)的

7、上方 ,所以一定有两个交点 .所以实数a的取值范围是|1a a答案：|1a a8. 2013 山东高考已知定义在r 上的奇函数)(xf， 满足(4)( )f xf x,且在区间 0,2上 是 增 函 数 ,假 设 方 程f(x)=m(m0) 在 区 间8 , 8上 有 四 个 不 同 的 根1234,x xxx, 则1234_.xxxx【 解 析 】 因 为( )f x是 定 义 在r上 的 奇 函 数 ， 且 满 足(4)( )fxf x, 所 以(4)()f xfx。所以函数图象关于直线2x对称且(0)0f,由(4)( )f xf x知(8)( )f xf x,所以函数是以8 为周期的周期

8、函数,又因为)(xf在区间 0,2上是增函数 ,所以)(xf在区间-2,0上也是增函数.如下列图, 那 么 方 程f(x)=m(m0)在 区 间8 , 8上 有 四 个 不 同 的 根1234,x xx x, 不 妨 设1234xxxx由对称性知1212xx，344xx所以12341248xxxx答案： -8 9. 2013 上海高考 已知对于任意实数， 函数)(xf满足)()(xfxf. 假设方程0)(xf有2013 个实数解，则这2013 个实数解之和为. 【解析】由奇函数的性质得f(0)=0, 其余 2012 个实数解互为相反数，则这2013 个实数解之和为 0。答案： 0. 10. 2

9、013 山东高考 两县城 a 和 b 相距 20km， 现计划在两县城外以ab 为直径的半圆弧上选择一点c 建造垃圾处理厂， 其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 a和城 b 的总影响度为城a 与城 b 的影响度之和，记c 点到城 a 的距离为x km，建在 c 处的垃圾处理厂对城a 和城 b 的总影响度为y,统计调查说明：垃圾处理厂对城a 的影响度与所选地点到城a 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城b 的影响度与所选地点到城b的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时， 对城 a 和城 b 的总影响度为 0.065. 1将 y 表示成 x 的函数；11讨论

10、 1中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 a 和城 b 的总影响度最小？假设存在，求出该点到城a 的距离 ;假设不存在， 说明理由。【解析】方法一 1如图 ,由题意知ac bc,22400bcx,224(020)400kyxxx其中当10 2x时， y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为2249(020)400yxxx 2 2249400yxx,42 232232289( 2 )188(400)(400)(400)xxxyxxxx, 令0y得a c x 422188(400)xx,所以2160 x,即4 10 x,当04 10 x时, 422

11、188(400)xx, 即0y所 以 函 数 为 单 调 减 函 数 , 当4 620 x时 , 422188(400)xx,即0y所以函数为单调增函数.所以当4 10 x时, 即当c 点到城a 的距离为4 10时, 函数2249(020)400yxxx有最小值 . 方法二 1同上 . 2设22,400mxnx,则400mn,49ymn,所以494914911()13()(1312)40040040016mnnmymnmnmn当且仅当49nmmn即240160nm时取 ”=”.下面证明函数49400ymm在(0,160)上为减函数 , 在 (160,400)上为增函数 . 设 0m1m2160

12、, 则1211224949()400400yymmmm12124499()()400400mmmm211212124()9()(400)(400)mmmmm mmm21121249()(400)(400)mmm mmm12122112124(400)(400)9()(400)(400)mmmmmmm mmm, 因为 0m1m24 240 240 9 m1m29 160 160,所以121212124(400)(400)90(400)(400)mmm mmmmm, 所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)mmmmmmm mmm即12yy所以函数49400ymm在

13、(0,160)上为减函数 . 同 理 , 证 明 函 数49400ymm在 (160,400) 上 为 增 函 数 , 设160m1m2400, 则1211224949()400400yymmmm12122112124(400)(400)9()(400)(400)mmmmmmm mmm因为 1600m1m2400, 所以 412(400)(400)mm9160 160 所 以121212124(400)(400)90(400)(400)mmm mmmmm, 所 以12122112124(400)(400) 9()0(400)(400)mmmmmmmmmm即12yy所以函数49400ymm在(1

14、60,400)上为增函数 . 所以当 m=160 即4 10 x时取 ”=”,函数 y 有最小值 ,所以弧上存在一点， 当4 10 x时使建在此处的垃圾处理厂对城a 和城 b 的总影响度最小. 11. 2013 上海高考有时可用函数0.1 15ln,(6)( )4.4,(6)4axaxf xxxx描述学习某学科知识的掌握程度，其中x 表示某学科知识的学习次数*xn，( )f x表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关。证明：当7x时，掌握程度的增加量(1)( )f xf x总是下降；根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121,(121,127,(121,13

15、3。当学习某学科知识6 次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科。【解析】 1当0.47(1)( )(3)(4)xf xf xxx时，而当7x时，函数(3)(4)yxx单调递增，且(3)(4)xx0 .3分故(1)( )f xf x单调递减当7x时，掌握程度的增长量(1)( )f xf x总是下降 .6 分2由题意可知0.1+15ln6aa=0.85 .9 分整理得0.056aea解得0.050.05620.50 6123.0,123.0 (121,1271eae .13分由此可知，该学科是乙学科 .14 分 w.w.w. b c d a o p 2012 年考题1.2012 广东高考某单位用

16、2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000 平方米的楼房 .经测算，如果将楼房建为x(x 10) 层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x单位：元.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用购地总费用建筑总面积【解析】设楼房每平方米的平均综合费为fx元，则2160 100001080056048560482000fxxxxx10,xxz21080048fxx, 令0fx得15x当15x时，0fx；当015x时，0fx因此当15x时， fx取最小值152000f；答：为了楼房每平方米的平均

17、综合费最少，该楼房应建为15 层。2.2012 江苏高考如图，某地有三家工厂，分别位于矩形abcd 的两个顶点a，b 及 cd的中点 p 处 ab 20km，bc10km为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上含边界且与a， b 等距的一点o 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道ao ，bo，po记铺设管道的总长度为ykm1按以下要求建立函数关系式：i设baorad，将表示成的函数；ii 设opxkm，将表示成的函数；2请你选用1中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。【解析】 1 i由条件知做pq 垂直平分ab ，交 ab 于点 q，假设 bao=(ra

18、d) ，则10coscosaqoa, 故10cosob，又 op10 10tan，所以10101010tancoscosyoaobop，所求函数关系式为2010sin10cosy04o 0.11y毫克t小时ii 假设 op= (km) ，则 oq10，所以 oa =ob=222101020200 xxx所求函数关系式为2220200 010yxxxx2选择函数模型i，2210coscos20 10sin10 2sin1coscossiny令y0 得 sin 12，因为04，所以=6，当0,6时，0y，是的减函数；当,64时，0y，是的增函数，所以当=6时，min1010 3y。这时点 p 位于

19、线段ab 的中垂线上，在矩形区域内且距离 ab 边10 33km 处。2011 年考题1.2011 湖南高考函数2441( )431xxf xxxx，的图象和函数2( )logg xx的图象的交点个数是a4 b3 c2 d1 【解析】选b.由图像易知交点共有3 个。2.2011 安徽高考 定义在 r 上的函数f (x) 既是奇函数 ,又是周期函数 ,t 是它的一个正周期.假设将方程f (x)=0 在闭区间-t,t 上的根的个数记为n,则 n 可能为a. 0 b. 1 c. 3 d. 5 【解析】选d 定义在 r 上的函数)(xf是奇函数，(0)0f，又是周期函数，是它的一个正周期，( )()0

20、f tft，()()()()2222ttttffftf，()()022ttff，则可能为5。3.2011 湖北高考为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量毫克与时间小时成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为116tay为常数，如下列图据图中提供的信息，答复以下问题：i从药物释放开始，每立方米空气中的含药量毫克与时间小时之间的函数关系式为；ii 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室【解析】 i由题意和图示可知，当00.1t时，可设yktk为待定系数，

21、由于点01,1.在直线上，10k；同理，当0.1t时，可得0.11110.101610aaaii 由题意可得10.254y，即得110400.1tt或110111640.1tt1040t或0.6t，由题意知至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室答案： i1101000.110.116tttytii0.64. 2011 上海高考 某工程由abcd， ，四道工序组成， 完成它们需用时间依次为2 54x，天四道工序的先后顺序及相互关系是：ab，可以同时开工； 完成后，c可以开工；bc，完成后，可以开工假设该工程总时数为9 天，则完成工序c需要的天数最大是【解析】因为完成后，c才可以开工， c 完成后，才可以开工，完成a、c、d 需用时间依次为24x， ，天，且ab，可以同时开工，该工程总时数为9天，maxmax2493xx。答案： 3 5.2011 上海高考方程96 370 xx的解是_【解析】2(3 )6 3703731xxxx或舍去，3log 7x。答案：3log 7x6.2011 上海高考方程9131x的解是【解析】1