空间曲线及其方程25312

1、第四节第四节 空间曲线及其方程空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxgzyxf空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足方程，曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时不在曲线上的点不能同时 满足两个方程满足两个方程. .xozy1s2sc空间曲线空间曲线c c可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线. .特点：特点：一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程xyzo例例1 1 方程

2、组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圆柱面，表示圆柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交线为椭圆交线为椭圆: :例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线表示怎样的曲线？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 表示上半球面表示上半球面, ,4)2(222ayax 是圆柱面是圆柱面, ,交线如图交线如图. .( )( )xx tyy t 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程)( 为参数为参数t1tt 111(,),xy z当给定当给定时时, ,就得到曲线

3、上的一个点就得到曲线上的一个点随着参数的变化可得到曲线上的全部点随着参数的变化可得到曲线上的全部点. .( )zz t 经过经过t 时间，运动到时间，运动到m点点. a mm tax cos tay sin vtz t 螺旋线的螺旋线的参数方程参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解xyzo222ayx 例例3 如果空间一点如果空间一点mm在圆柱面在圆柱面上以角速度上以角速度 绕绕z轴旋转，同时又以线速度轴旋转，同时又以线速度v 沿平行于沿平行于z轴上升，那么点轴上升，那么点m构成的图形叫做构成的图形叫做螺旋线螺旋线. 试建立其参数方程试建立其参数方程.动点从动点从a点出发点出发,a螺旋线的

4、参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),( vbt 螺旋线的重要性质螺旋线的重要性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比则上升的高度则上升的高度: : bh2称为称为螺距螺距. .2 , 令令即即tax cos tay sin vtz xyzohz 0),(0),(zyxgzyxf消去变量消去变量z后得：后得：0),( yxh称为曲线称为曲线c关于关于xoy的的投影柱面投影柱面.设空间曲线设空间曲线c的一般方程：的一般方程：三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影zyxcc ( , )0:0h

5、 x ycz 称为曲线称为曲线c在在xoy面上的面上的投影曲线投影曲线.投影柱面与投影柱面与xoy面的交线：面的交线：如图如图: :投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程. .空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面类似地：类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影可定义空间曲线在其他坐标面上的投影. . 00),(xzyr 00),(yzxt面上的面上的投影曲线投影曲线: :yoz面上的面上的投影曲线投影曲线: :xoz 00),(zyxh空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线xoy例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影. . 211222zzyx解解

6、（1）消去变量）消去变量z后得后得,4322 yx在在xoy面上的投影为面上的投影为,04322 zyxxyzo所以在所以在xoz面上的投影为线段面上的投影为线段.;23|,021 xyz（3）同理在）同理在yoz面上的投影面上的投影也为线段也为线段.23|,021 yxz（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，21 z 211222zzyxxyzo截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图, ,xyz,0042522 yxxzzx.00222 xzyzy,004522 zxxyyx 0222zyxxzyzxyo1c求上半球面求上半球面和锥面和锥面224zxy223()zxy

7、2210 xyz 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线22224:3()zxyczxy 二曲面交线二曲面交线221,0.xyz所围区域为圆域所围区域为圆域:所求投影是二曲线交线在所求投影是二曲线交线在xoy 面上的投影面上的投影曲线所围之域曲线所围之域 .例例6 6 所围的立体在所围的立体在 xoy 面上的投影面上的投影.解解补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空间立体空间立体曲面曲面空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程小结小结空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影 0),(0),(zyxgzyxf )()()(tzztyytxx 00),(zyxh 00),(xzyr 00),(yzxt思考题思考题开口向上开口向上母线平行于母线平