-传递函数lhk

1、自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型2.1 引言引言2.2 微分方程微分方程2.3 传递函数传递函数2.4 结构图及等效变换结构图及等效变换2.5 信号流图与梅逊公式信号流图与梅逊公式2.6 闭环系统的传递函数闭环系统的传递函数2.7 脉冲响应函数脉冲响应函数2.8 matlab中函数的表示中函数的表示第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式就称为数学模型就称为数学模型,可

2、以避开具体系统物理特性，在一般意义下研究控制可以避开具体系统物理特性，在一般意义下研究控制系统的普遍规律。系统的普遍规律。模型模型静态数学模型静态数学模型动态数学模型动态数学模型建模方法建模方法分析法：分析法：实验实验法：法：人为对系统施加测试激励，记录输出响应，人为对系统施加测试激励，记录输出响应，采用适当数学模型逼近。采用适当数学模型逼近。根据系统及元件各变量之间所遵循的物理规律根据系统及元件各变量之间所遵循的物理规律写相应的数学关系式，建模。写相应的数学关系式，建模。2.1 引 言引 言自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型2.2 微分方程微分方程2.2.1

3、 线性系统微分方程的建立线性系统微分方程的建立解析法建立微分方程的步骤解析法建立微分方程的步骤:1.根据元件原理和作用，确定系统和各元件的输入和输出量及中间量；根据元件原理和作用，确定系统和各元件的输入和输出量及中间量；2.从输入端开始，依据各变量所遵循的物理规律写出各元件的动态方从输入端开始，依据各变量所遵循的物理规律写出各元件的动态方 程；程；注意方程个数与变量个数相等。注意方程个数与变量个数相等。3. 消去中间变量，只留输入、输出的微分方程；消去中间变量，只留输入、输出的微分方程；4.标准化处理，输入写左边，输出写右边，两边降幂排列，系数规范化，标准化处理，输入写左边，输出写右边，两边降

4、幂排列，系数规范化，化为有物理意义的形式；化为有物理意义的形式；自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型例例2-1 写出图写出图2-1所示所示RLCRLC震荡电路的微分方程式震荡电路的微分方程式C+-Ur (t)Uc (t)+-RL自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型例例2-2：弹簧弹簧-质量质量-阻尼器机械位移系统。试列写质量阻尼器机械位移系统。试列写质量m在外力在外力F(t)作用下作用下位移位移x(t)的运动方程。的运动方程。自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型R-C滤波网络滤波网络12111222

5、1221221()11()1rciidti RuCi dti RiidtCCi dtuC212121122122cccrd uduR R C CRCR CRCuudtdt消去中间变量消去中间变量i1 、 i2 得得例例2-3. 试写出图试写出图2-2电路的微分方程电路的微分方程自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型例：例：2.4写出直流电机驱动控制微分方程。写出直流电机驱动控制微分方程。M Ra ua La ia Ea解：解：如右图所示，直流电机如右图所示，直流电机在电驱控制下，在电驱控制下，由输入的电由输入的电枢电压枢电压ua在电枢回路产生电在电枢回路产生电枢电

6、流枢电流ia ，再由电枢电流，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电与激磁磁通相互作用产生电磁转矩磁转矩MD ，从而使电枢旋，从而使电枢旋转，拖动负载运动。转，拖动负载运动。1.Ra控制回路总电阻，控制回路总电阻，La控制回路电感，控制回路电感，Ea感应电动势，感应电动势，ua控制输入，控制输入，输输出。出。2.忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if 时，激磁磁通时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系视为不变，则将变量关系看作线性关系;电动机轴上机械运动方程：电动机轴上机械运动方程：自动控制原理自动控制原理第二章控制系

7、统数学模型第二章控制系统数学模型 J 负载折合到电动机轴上的转动惯量负载折合到电动机轴上的转动惯量; MD 电枢电流产生的电磁转矩电枢电流产生的电磁转矩; ML 合到电动机轴上的总负载转矩。合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程）列写辅助方程 Ea = ke ke 电势系数，由电动机结构参数确定。电势系数，由电动机结构参数确定。 MD = km ia km 转矩系数，由电动机结构参数确定。转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得）消去中间变量，得dtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma 122 令机电时间常数令机电时间常数T Tm m :meamkk

8、JRT 令电磁时间常数令电磁时间常数Ta : :aaaRLT 自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型小结：小结：物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究。开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究。从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。验模

9、拟的基础。通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元件（惯性质量、弹性要素、电感、电容等）的个包含的独立储能元件（惯性质量、弹性要素、电感、电容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。的交换。自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化实际的系统中几乎不同程度都存在非线性关系，实际系统中输入、实际的系统中几乎不同程度都存在非线性关系，实际系统中

10、输入、输出微分方程都是非线性微分方程，但是非线性微分方程求解很困难。输出微分方程都是非线性微分方程，但是非线性微分方程求解很困难。对于部分的非线性系统来说，是在一定的条件下可近似地视作线性系对于部分的非线性系统来说，是在一定的条件下可近似地视作线性系统，这种有条件地把非线性系统数学模型化为线性数学模型来处理的统，这种有条件地把非线性系统数学模型化为线性数学模型来处理的方法，称为非线性数学模型的线性化。方法，称为非线性数学模型的线性化。这样做会使问题简化，给控制系统的研究工作带来很大的方便，这样做会使问题简化，给控制系统的研究工作带来很大的方便，是工程中一种常见的、比较有效的方法。常见有是工程中

11、一种常见的、比较有效的方法。常见有“小偏量法小偏量法”或或“小信小信号法号法”。非线性数学模型线性化的假设非线性数学模型线性化的假设变量对于平衡工作点的偏离较小变量对于平衡工作点的偏离较小非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型线性化原理线性化原理：设非线性方程为设非线性方程为 y=f(x), 静态工作点为静态工作点为y0=f(x0) , 其各阶导其各阶导数均存在，则可在工作点附近展开成泰勒级数数均存在，则可在工作点附近展开成泰勒级数 2022000021)(!)()(xxdxydxxd

12、xdyxfyxxx=x-x0 很小时忽略很小时忽略x-x0二次及以上的项，简化二次及以上的项，简化 )()(000 xxdxdyxfyx kdxdyx 0f(x)在静态工作点斜率。在静态工作点斜率。其中：其中：K1是是f(x)在静态工作点在静态工作点(x10，x20)对对x1一阶偏导，一阶偏导，K2是是f(x)在静态工作点在静态工作点(x10，x20)对对x2一阶偏导。一阶偏导。多输入变量系统多输入变量系统自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型习题习题2-7：已知晶闸管装置的输入输出特性如下，求小偏量线性：已知晶闸管装置的输入输出特性如下，求小偏量线性化方程。化方

13、程。0cosdduU解解. . 在工作点在工作点( (0 0, u, ud0d0) )处展开泰勒级数处展开泰勒级数2000001() ()() ()()2!dddduuuu只取一阶导数，高次忽略，只取一阶导数，高次忽略，0()ddduuu00sindU 自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型将非线性系统线性化时，要注意以下几点：将非线性系统线性化时，要注意以下几点：1.1.对本质非线性（非连续，不能泰勒展开）对本质非线性（非连续，不能泰勒展开）, ,不能采用小偏差法线性化不能采用小偏差法线性化, , 只能采用教材第只能采用教材第7 7章的非线性理论来讨论。章的非线

14、性理论来讨论。2.2.工作点不同工作点不同, ,其线性化方程也是不同的。因此对非线性微分方程线性其线性化方程也是不同的。因此对非线性微分方程线性 化，一定要先确定其工作点，这样的线性化才是正确的。化，一定要先确定其工作点，这样的线性化才是正确的。3.3.非线性系统的工作点邻域的线性化方程，应满足其函数关系的变化是非线性系统的工作点邻域的线性化方程，应满足其函数关系的变化是 在小范围内的。否则误差将会很大。因为线性化方程是增量方程，用在小范围内的。否则误差将会很大。因为线性化方程是增量方程，用 增量来表示。所以当增量范围过大，不满足线性化条件。增量来表示。所以当增量范围过大，不满足线性化条件。自

15、动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型数学工具数学工具-拉普拉斯变换和反变换拉普拉斯变换和反变换 拉氏变换定义拉氏变换定义 设函数设函数f(t)满足满足 t0时，时，f(t)分段连续分段连续 则则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作的拉氏变换存在，其表达式记作 L为拉氏变换运算符。通常称为拉氏变换运算符。通常称f(t)为原函数、为原函数、 F(s)为拉氏为拉氏变换变换函数函数或或原函数原函数的象函数的象函数。dtetftfLsFst0)()()(自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型 (1)线性性质线性性质(2)微分性质微分性质 若若

16、则有则有f(0)为原函数为原函数f(t) 在在t=0时的初始值。时的初始值。)()(sFtfL)0()()(fssFtfL(3)积分性质积分性质 若若 )()(sFtfLsfssFdttfL)0()()(1自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型f(t)F(s)f(t)F(s)(t)1sinwt1(t)1/scoswt t1/s21/(s+a)(22wsw)(22wsswteatsinwteatcos22()sasawate求解微分方程求解微分方程过程：过程：考虑初始条件，微分方程变到频域，在考虑初始条件，微分方程变到频域，在S域求解方程，然后域求解方程，然后把把S

17、域的解反变换到时域。域的解反变换到时域。22(s a)ww自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型例：设网络如图所示，在开关例：设网络如图所示，在开关 闭合之前，电容闭合之前，电容 上有初始电上有初始电压压uc(0)。试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压。试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压 （网络输（网络输出）。出）。解：解：开关开关 瞬时闭合，相当于网络瞬时闭合，相当于网络有阶跃电压有阶跃电压 ur(t)=u0*1(t)输入。输入。故网络微分方程故网络微分方程idtCuuRiuccr1)(tuudtduRCrcc0( )(0)( )cccuRCsUsRCuUss拉氏

18、变换后方程为：拉氏变换后方程为：自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型0( )(0)(1)(1)ccuRCUsus RCsRCs001( )(0)11ccRCRCUsuuusRCsRCs1100( )1(t)(0)ttRCRCccu tuu eue拉氏反变换拉氏反变换自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型2.3 传递函数传递函数微分方程在时域分析系统，在外作用下和初始条件下，解微微分方程在时域分析系统，在外作用下和初始条件下，解微分方程，得到系统输出响应。当系统结构或参数变化时，要分方程，得到系统输出响应。当系统结构或参数变化时，要重

19、新写微分方程、解方程，很难得到统一规律。提出传递函重新写微分方程、解方程，很难得到统一规律。提出传递函数，它不但反映系统输入、输出特性，而且能间接反映结构、数，它不但反映系统输入、输出特性，而且能间接反映结构、参数改变时对输出的影响。参数改变时对输出的影响。线性定常系统，线性定常系统，初始条件为零，初始条件为零，输出输出拉氏变换和拉氏变换和输入输入拉氏变拉氏变换之比定义为该系统传递函数。换之比定义为该系统传递函数。(s)(s)(s)CGR自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型R-C电路电路自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型 101

20、1011111; nnmnnnnmmmmmd c tdc tdc td r taaaa c tbdtdtdtdtdr tdr tbbb c t n mdtdr ttc t，系统的输入系统的输出量式中量设系统的微分方程设系统的微分方程 1101101110111011 G 0 2-3nnmmnnmmmmmmnnnna sa sasaC sb sbsbsbR sC sb sbsbsbsR sa sa sasa（）即初始条件为零，拉氏变换为：初始条件为零，拉氏变换为：自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型对于多输入对于多输入多输出的系统，要用传递函数关系阵去描述它们间多

21、输出的系统，要用传递函数关系阵去描述它们间的关系，例如图所示的系统的关系，例如图所示的系统 11111222211222111121221222 Y sGs UsGs UsYsGs UsGs UsY sGsGsUsYsGsGsUs或 阵就是该系统的传递函数sG自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型（1）传递函数同微分方程一样能表征系统的固有特性，）传递函数同微分方程一样能表征系统的固有特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。（2）传递函数表示系统本身动态性能，与输入、输出量）传递函数表示系统本身动态性能，与输入、输出量

22、大小性质无关。大小性质无关。（3）传递函数可以无量纲，也可以有量纲。）传递函数可以无量纲，也可以有量纲。（4）传递函数式）传递函数式S有理真分式，有理真分式，nm。自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型初始条件为零含义：初始条件为零含义： t=0 ，输入及各阶导数为零。输入及各阶导数为零。 t=0， 输出及各阶导数为零。输出及各阶导数为零。复阻抗法求传递函数复阻抗法求传递函数例用复阻抗求右图传递函数例用复阻抗求右图传递函数(s)RGR1(s)CsCGLG (s)=Ls自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型自动控制原理自动控制原理第二章

23、控制系统数学模型第二章控制系统数学模型mnbKa自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积无论什么样的系统，它的传递函数都是一些基本因子相乘积而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把而得到的。这些基本因子就是典型环节对应的传递函数。把复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框复杂的物理系统划分为若干个典型环节，利用传递函数和框图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。图来进行研究，这是研究系统的一种重要方法。（1）比例环节比例环节（放大环节（放大环节/无惯性环节）无惯性环节） 特点：输入量与输出

24、量的关系为一种固定的比例关系。特点：输入量与输出量的关系为一种固定的比例关系。不延迟，不失真，不延迟，不失真，自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型(1) (1) 比例环节（又叫放大环节）比例环节（又叫放大环节）微分方程微分方程: : c(t)=kr(t) K K放大系数，放大系数，( )( )( )C sG skR s自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型0tr(t)/c(t)c(t)r(t)Z1=

25、R，Z2=1/CsG(s)=V2/V1=Z2/Z1+Z2=1/(RCs+1) 思考，如果输出为电阻电压，还是惯性环节吗？思考，如果输出为电阻电压，还是惯性环节吗？传递函数与系统的输入输出的位置有关；传递函数与系统的输入输出的位置有关；自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型特点：输出量的变化速度和输入量成正比。特点：输出量的变化速度和输入量成正比。自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型CsZRZ1211 sKTsCsRZZsRsCsG11)(112电动机角度与角速度间的传递函数、电容器充电。电动机角度与角速度间的传递函数、电容器充电。t

26、0y(t)/r(t)r(t)y(t)自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型(4) 微分环节微分环节( )( )ddr tc tTdt运动方程运动方程t t0 0( )( )( )dC sG sT sR s 理想微分环节理想微分环节自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型 一阶微分环节一阶微分环节运动方程：运动方程：( )( )( )ddr tc tTr tdt传递函数传递函数( )( )1( )dC sG sT sR sI(s)s1/RU(s)C自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型(5) 振荡环节振荡环节

27、222( )( )2( )( )d c tdc tTTc tr tdtdt221( )21G sT sT s特特 点点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型221( )21G sT sTsrcccuudtduRCdtudLC 22自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型（6 6）延迟环节（滞后环节）延迟环节（滞后环节）( )()c tr t( )sG setr(t)y(t)y(t)/r(t)0温度、皮带传输等系统温度、皮带传输等系统自动控制原理自动控制原理第二章控制系统数学模型第二章控制系统数学模型比例环节比例环节积分环节积分环节惯性环节惯性环节理想微分理想微分环节环节一阶微分一阶微分环节环节振荡环节振荡环节延时环节延时环节=G(s)s ( )()c tr t*c(t)Kr(t) c(t)= K r(t)dt dc(t)T+ c