-A-采样与重建

1、数字信号系统数字信号系统 如果输入模拟信号，用数字方法处理完如果输入模拟信号，用数字方法处理完再转换成模拟信号，这种处理方法称为模再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。拟信号数字处理方法。其原理框图如图其原理框图如图1所示。所示。模拟信号数字处理框图模拟信号数字处理框图 预滤A/DC数字信号处理D/AC平滑滤波ya(t)xa(t)本节主要介绍采样定理和采样恢复。 防止频谱混叠防止频谱混叠滤除阶梯信号滤除阶梯信号的高频跳变的高频跳变 1 采样定理及采样定理及A/DC 对模拟信号进行采样可以看作将模拟信号通过一个对模拟信号进行采样可以看作将模拟信号通过一个电子开关电子开关S。设电

2、子开关每隔周期。设电子开关每隔周期T合上一次，合上的时合上一次，合上的时间为间为（T），在电子开关输出端得到采样信号），在电子开关输出端得到采样信号 。( )axt对模拟信号进行采样对模拟信号进行采样 0 离散时间傅里叶变换与模拟离散时间傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换之间的关系信号傅里叶变换之间的关系 模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式定义如下：()( )1( )()2j taaj taaXjx t edtx tXjedt 时域离散信号x(n) 的一对傅里叶变换式为： ()( )1( )()2jj nnjj nX ex n ex nX eedv 序列x(n)的DTFT-X(e j)与模拟信

3、号xa(t)的FT-Xa(j)之间的关系是什么？采样前后的频谱变化抽样函数序列： mTmTtt)()(理想抽样输出： mamamaTaamTtmTxmTttxmTttxttxtx)()()()()()()()()()()(txDTFTjXaa )()(tDTFTjTT )()()()(ttxDTFTtxDTFTjXTaaa 因为：时域相乘相当于频域卷积)()(21)( jXjjXaTa我们由上式结果来分析 与 的关系。)( jXa)( jXa dtetxtxDTFTjXjaaa)()()(利用傅立叶级数将T(t)展开，可得： ktjkkTseAt)(TdtetTdtemTtTdtetTATTs

4、TTsTTstjktjkmtjkTk1)(1)(1)(1222222 其其中中： ktjkktjkTsseTeTt11)(其中：s=2/T，s称为采样角频率；fs=1/T，fs为采样频率11)()( ktjkktjkTTsseDTFTTeTDTFTtDTFTj)(2stjkkeDTFTs kssksTTkkTtDTFTj)()(2)()(-2T -T 0 T 2T 1T(t)t-2s -s 0 s 2s sT(j )DTFT )()(21)( jjXjXTaa )()(221jXkTaks dkjXTksa)()(1 ksadkjXT)()(1 kaksaTjkjXTjkjXT)2(1)(1

5、kaaTjkjXTjX)2(1)( 比较 与 的频谱，发现：)( jXa)( jXa抽样后的频谱 是 以 的周期延拓)( jXa)( jXa 时域离散 频域周期理想抽样信号的频谱，其周期为s，频谱的幅度受1/T加权。采样信号的频谱采样信号的频谱 设设xa(t)是带限信号，最高截止频率为是带限信号，最高截止频率为c，其频谱其频谱Xa(j)如图如图(a)所示。所示。理想采样前后信号频谱的变化理想采样前后信号频谱的变化图图(b)为为 P(t)的频谱的频谱P(j)。如果满足如果满足fs 2fC（s 2C），基带谱），基带谱与其它周期延拓形成的谱不重迭，如图与其它周期延拓形成的谱不重迭，如图(c)，可以

6、用理想低通滤波器，可以用理想低通滤波器G(j)从采从采样信号中不失真地提取原模拟信号。样信号中不失真地提取原模拟信号。Xa(j)是原模拟信号的频谱以是原模拟信号的频谱以s为周期、为周期、进行周期性延拓而成，如图进行周期性延拓而成，如图(c)所示，图所示，图中相当于原模拟信号的频谱称为基带频中相当于原模拟信号的频谱称为基带频谱。谱。采样恢复采样恢复 一般称一般称fs/2为为折叠频率折叠频率，只有当信号最高只有当信号最高频率不超过该频率时，才不会产生频率混叠频率不超过该频率时，才不会产生频率混叠现象，现象，否则超过否则超过fs/2的频谱会折叠回来形成的频谱会折叠回来形成混混叠叠现象，因此现象，因此

7、频率混叠均产生在频率混叠均产生在fs /2附近附近。 (1)对连续信号进行等间隔采样形成采样对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，信号，采样信号的频谱采样信号的频谱是原连续信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。 (2)设连续信号设连续信号xa(t)为带限信号，最高截为带限信号，最高截止频率为止频率为c，如果，如果采样角频率采样角频率s2c，那么让采样信号那么让采样信号xa(t)通过一个增益为通过一个增益为T，截，截止频率为止频率为s/2的理想低通滤波器，可以唯的理想低通滤波器，可以唯一 地 恢 复 出 原 连 续 信 号一 地 恢 复 出 原 连 续 信 号xa( t ) 。 否 则。 否 则（