新教材高中数学第一章直线与圆2.4圆与圆的位置关系学案北师大版选择性必修第一册

1、word - 1 - / 10 2.4 圆与圆的位置关系必备知识自主学习导思1.如何通过两个圆的方程判断位置关系？2从几何图形如何判断位置关系？1，r2，圆心距为d，如此两圆有以下位置关系：位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆外离0 dr1+r2两圆内含d|r1-r2| 两圆相交2 |r1-r2|d r1+r2两圆内切1 d=|r1-r2| 两圆外切d=r1+r22.本质：利用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时公切线的条数分别是多少？提示： 公切线的条数分别是4，3，2，1，0. (2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？wor

2、d - 2 - / 10 提示： 当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线1辨析记忆 (对的打“，错的打“). (1)假如两圆有唯一的公共点，如此两圆外切( ) (2)假如两圆没有公切线，如此两圆内含( ) (3)假如两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，当 d|r1r2|时，两圆相交( ) 提示： (1) .两圆也可能内切(2) .只有两圆内含时，两圆才没有公切线(3).当 d|r1r2|时，两圆内含2圆 (x2)2y24 与圆 (x2)2(y1)29 的位置关系为 ( ) a内切b相交c外切d相离【解析】

3、选 b.两圆圆心分别为(2，0)，(2，1)，半径分别为2 和 3，圆心距 d421217 . 因为 32d32，所以两圆相交3(教材二次开发：例题改编)假如圆 c1：x2y24 与圆 c2：x2y26x 8y m 0 外切，如此实数m ( ) a 24 b 16 c24 d 16 【解析】1(0，0)，r12，c2(3，4)，r225 m ，由外切得 032 042225m ，解得 m 16. 关键能力合作学习类型一两圆位置关系的判定(数学运算、直观想象) 1圆 o1： x2y22x0 与圆 o2：x2 y24y 0 的位置关系是 ( ) word - 3 - / 10 a外离b相交c外切d

4、内切2圆 a：x2y21 与圆 b：x24xy250 的公共点个数为( ) a0 b3 c2 d1 3圆 c1：x2y22y 0，c2：x2 y223 x 60 的位置关系为( ) a外切b相交c内切d内含【解析】1：x2y22x 0 与圆 o2：x2y24y 0，故圆心坐标与半径分别为o1(1，0)，o2(0，2)， r1 1，r22，o1o25 ，r2r11，15 0) ，由题意可得22(a1)br1b33()1a33|a3b|r2， ，解得a4，b0，r 2或a0，b 43，r6，所以所求圆的方程为(x4)2y24 或 x2 (y43 )236. 【拓展延伸】word - 5 - / 1

5、0 圆 o1(xa)2(y b)2r21，圆 o2(xc)2(y d)2r22 . 两圆相切时，两圆方程作差得过切点的公切线方程【拓展训练】圆 c1： x2y2 9 与圆 c2： (x3)2(y4)2 r2(r0) 相外切假如圆 c2关于直线l：ax9by121 对称，求由点(a，b)向圆 c2所作的切线长的最小值【解析】 圆 c1的圆心 c1(0，0)，半径为3. 圆 c2的圆心 c2(3，4)，半径 r. |c1c232425. 因为两圆相外切，所以|c1c23r5，解得 r2. 因为圆 c2关于直线l：ax9by121 对称，所以3a94b121，化为 ab3.由点 (a， b)向圆 c

6、2所作的切线长 a32()b42222b28b 12 2b224 ，所以当b2 时，切线长取得最小值2. 类型三两圆相交问题(数学运算、直观想象) 角度 1 与公共弦相关的问题【典例】 两圆 x2y24x 6y 12 0 与 x2y22x 14y 150 公共弦所在直线的方程是( ) ax3y 10 b6x2y 10 c6x 8y 30 d3x y50 【思路导引】把两圆方程作差可得公共弦所在直线方程【解析】 选 c.两圆方程x2y24x 6y 120 与 x2y22x 14y 15 0 相减，可得公共弦所在直线方程为6x 8y 30. word - 6 - / 10 求【典例】 中两圆相交所

7、得公共弦的弦长【解析】 x2 y24x 6y 120 化成标准方程得，(x2)2 (y 3)21，所以弦长为22222| 12243|1)68(2181100195 . 角度 2 圆与圆位置关系的应用【典例】 假如圆 o：x2y25 与圆 o1：(xm)2 y220()m r相交于 a，b 两点，且两圆在点 a 处的切线互相垂直，如此线段ab 的长度为 _ 【思路导引】切线垂直转化为过切点的两个半径垂直【解析】 如下列图，在rt oo1a 中， oa 5 ，o1a25 ，所以 oo15，所以 ac52552，所以 ab4. 答案： 4 公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标

8、，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解1圆 x2y22x f0 和圆 x2y22x ey40 的公共弦所在的直线方程是x y10，如此 ( ) ae 4，f8 be4，f 8 word - 7 - / 10 ce 4，f 8 d e4，f8 【解析】 选 c.由圆 x2y22xf0 和圆 x2y22xey40 作差，得 4xeyf 40.所以 e 4，f 8. 2假如圆 x2y24 与圆 x2y22ay 60(a0) 的公共弦的长为23 ，如此 a( ) a2 b1 c 1 d 2 【解析】 选 b.

9、由圆 x2 y24 与圆 x2y2 2ay 6 0(a0) ，可得公共弦的方程为y1a，又 x2y2 4 的圆心坐标为 (0， 0)，半径为 r2，由圆的弦长公式可得l2r2d22214( )a23 ，解得 a1. 【补偿训练】假如圆2(xa)2(yb) b21 始终平分2(x1)2(y1)4 的周长，如此a，b应满足的关系式为( ) aa22a2b 30 b a22a2b 50 ca22b22a2b 10 d3a22b22a2b 1 0 【解析】选 b.因为圆2(xa)2(yb)b21 始终平分2(x1)2(y1)4 的周长所以两圆交点的直线过2(x1)2(y1)4 的圆心()1， 1，两圆

10、方程相减可得()22ax()22bya2 10，将()1， 1代入可得 22a 22b a210，即 52a2b a20，所以 b 选项是正确的备选类型圆系方程【典例】 圆心在直线xy40 上，且经过两圆x2y26x 40 和 x2y26y 280的交点的圆的方程为( ) word - 8 - / 10 ax2y2x7y32 0 b x2y2x7y16 0 cx2y24x4y 90 dx2y24x 4y 80 【思路导引】方法一，联立两圆方程，求出交点坐标，再求圆的方程；方法二，利用圆系方程求解【解析】 选 a.方法一： (几何法 ) 由x2y26x40，x2y26y 28 0，得 a(1，3

11、)，b(6， 2)，线段 ab 的垂直平分线方程为xy30. 由xy40，xy30得圆心坐标为12，72 . 半径2217(1)(3)22 1782 . 所求圆的方程为2217(x)(y)221784，即 x2y2 x7y 32 0. 方法二： (圆系方程 ) 根据题意，要求圆经过两圆x2y26x 40 和 x2y26y 280 的交点，设其方程为()x2y2 6x4()x2y2 6y280，变形可得()1x2()1y26x6 y428 0，其圆心为31，31，又由圆心在直线xy 40 上，如此有313140，解得 7；如此圆的方程为(6)x2(6)y26x42y 192 0，word - 9

12、 - / 10 即 x2y2 x7y 32 0，所以 a 选项是正确的求经过两圆交点的圆方程两圆 c1：x2y2d1xe1yf10 和 c2：x2y2d2xe2yf20 相交，如此方程x2y2d1xe1yf1 (x2y2d2x e2yf2)0. 当1 时，表示公共弦所在直线方程；当 1 时，表示过两圆交点的圆过两圆 x2 y2x y20 与 x2y24x 4y 8 0 的交点和点()3，1的圆的方程是_ 【解析】 根据题意，设所求圆的方程为()x2y2xy2()x2y24x 4y80() 1，要求圆经过点()3，1，如此有 410 0，解可得25，如此要求圆的方程为x2y2133xy20. 答

13、案： x2y2133xy20 课堂检测素养达标1圆 m 的圆心 m(2 ，0) ，圆 m 与圆 o：x2y21 外切，如此圆m 的方程为 ( ) a(x1)2y21 b (x2)2y21 cx2(y1)2 1 d x2(y2)21 【解析】 选 b.两圆圆心距2，圆 m 的半径为211，所以圆 m 的方程为 (x 2)2y21. 2两圆 x2y2 10 和 x2y24x 2y40 的位置关系是( ) a内切b外离c外切d相交word - 10 - / 10 【解析】2 y21 和()x22()y12()0，0和()2， 1；半径分别为r11 和 r23，如此圆心距：d()202() 1025 ，如此|r1 r25 |r1r2，所以两圆相交3 (教材二次开发： 练习改编 )直线 y x 被圆 m ： x2y2ey0()e0截得的弦长为22 ，且圆 n 的方程为 x2y22x 2y 10，如此圆m 与圆 n 的位置关系为 ( ) a相交b外切c相离d内切【解析】 选 a.圆 m ： x2y2ey0()e0的圆心为0，e2，半径为e2 . 所以e242 (|0e2|2)2，解得 e 4. 所以圆 m 的圆心为 (0，2)，半径为2. 圆 n 的圆心为 (1，1)，半径为 1. 因为 |mn| 012 2122 ，且 21|mn|21，所以两圆相交4圆