有关定积分问题的常见题型解析(全题型)

1、学习好资料欢迎下载题型一利用微积分基本定理求积分 例1、求下列定积分：（1） o 3x3 一 x 1 dx （ 2）Jx 1x dx解：（1）因为x3x2 x2= 3x2-X 1，所以1 3I i：3x - x 1 dx = I x1(2)因为.x V . x = x2 x，2-x<33,2x22所以<3壬192 丿4a l练习：（1）-a-a2 -x2-X2评注：利用微积分基本定理求定积分Kf f (x)dx的关键是找出F/(x) a二 f （x）的函数 F（x）。如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像, 其面积。题型二利用定积分求平面图形的面积图像为圆或者三角形则直接求

2、例2如图，求直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的图形面积。有关定积分问题的常见题型解析（3）；.4 x2利用微积分基本公分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，式代入求值。分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。 为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。、 y=2x+3解：由方程组丿2 ，可得x1 =-1,x2 =3。故所求图形面积为:.y =x3s= 2x 3dx -2dx =( x2 + 3x)-丄32评注：求平面图形的面积的一般步骤：画图，并将图形分割成若干曲边梯形

3、；对每个曲 边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；确定被积函数；求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。关键环节：认定曲边梯形，选定积分变量；确定被积函数和积分上下限。知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法：(1)由三条直线x=a、x=b (av b)、x轴，一条曲线y=f(x) ( f (x )>0)围成的曲边梯形 的面积：bS= a f (x dx，如图 1。(2)由三条直线x=a、x=b (av b)、x轴，一条曲线y=f(x) ( f (x0)围成的曲边梯形的面积：bbS= f(X dx = J f (x dx，如图 2。a°a平面图形的面积：bs=

4、f X 1-g x dx，如图 3。a(3)由两条直线x=a、x=b (av b)、两条曲线Ak图戈y= f x、y= g x ( fx_gx、围成的题型三解决综合性问题2 1例3、在曲线y = x (x>0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及 x轴所围的面积为-°12试求：(1)切点A的坐标；(2)过切点A的切线方程。分析：设出切点 A的坐标，利用导数的几何意义，写出切线方程，然后利用定积分求出所 围成平面图形的面积，从而确定切点A的坐标，使问题解决。设切点A ( xo,y°),由y ' = 2x，过A点的切线方程为yy0 = 2x0（x-xo）,即 y= 2x°x Xo令y= o,得x=空。即C(竺,o)o2 2设由曲线和过 A点的切线及x轴所围成图形的面积为 S, S= S曲边AOB S .abc。S曲边.AOB =x2dx =】x33X。'AB '=寸(x。号) x。2 =寸x。3，即：S= 1x03 x。3341312乂01