D3-2洛必达法则,D3-3泰勒公式

1、1微分中值定理：微分中值定理：函数的性态函数的性态导数的性态导数的性态复习复习罗尔定理：罗尔定理：(1) ( ) , f xC a b (2) ( )( , )f xD a b (3) ( )( )f af b ( )0( , )fa b ，( ) , f xC a b ( )( , )f xD a b ( )( )( ),( , )f bf afa bb a 拉格朗日定理：拉格朗日定理：柯西定理：柯西定理： ( ),( ) , F xf xC a b ( ),( )( , )F xf xD a b ( )( )( ),( )( )( )ff bf aFF bF a ( , )a b ( )0

2、F x 且且2二、其他未定式二、其他未定式 一、一、 型未定式型未定式00 ，第二节洛必达法则 第三三章 ( ) 0lim()( ) 0f xg x 型型， 型型函数之商的极限函数之商的极限导数之商的极限导数之商的极限 转化转化( )lim( )fxg x 本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则3洛必达洛必达(1661 1704) 法国数学家法国数学家,出生于贵族，当过军官，因视力出生于贵族，当过军官，因视力不好退役了，他在不好退役了，他在15岁时就解决了帕斯卡提出的摆岁时就解决了帕斯卡提出的摆线难题线难题 ,以后又解出了伯努利提出的以后又解出了伯努利提出的“ 最速降线最速降线 ” 问题问题

3、,在他去世后的在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲年出版了他的关于圆锥曲线的书。他是莱布尼兹的忠实信徒，他著有线的书。他是莱布尼兹的忠实信徒，他著有无穷无穷小分析小分析 (1696),这是一本较系统的微积分书，并在这是一本较系统的微积分书，并在该书中提出了求未定式极限的方法该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为后人将其命名为“ 洛必达法则洛必达法则 ”。400 一一 、 与与型型 未未 定定 式式例如例如,0tanlimxxx0lnsinlimlnsinxaxbx )00()( 定义：定义： 如果当如果当ax（或（或 x） 时，时，或或)(xf两个函数两个函数)(xg与与都都趋

4、于零趋于零或或趋于无穷大趋于无穷大， 那么极限那么极限 ()( )lim( )xaxf xg x 或或可能存在，可能存在，通常通常把这种把这种极限极限称为称为也可能不存在，也可能不存在， 型型未定式未定式.00型型51) lim( )lim( )0 xaxaf xF x( )3) lim( )xafxFx 存在存在 (或为或为 )( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 2)( )( )( ),f xF xa 与与在在内内可可导导( )0Fx 且且定理定理 1.(洛必达法则洛必达法则) 定义：定义：这种在一定条件下通过这种在一定条件下通过分子分母分别求导分子分母分别求导

5、再再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.( )( )( )( )( )( )f xf afF xF aF xa ,.xaa 当当时时6( 在在 x , a 之间之间)证证: 无妨假设无妨假设( )( )0,f aF a在指出的邻域内任取在指出的邻域内任取,( ),( )xaf xF x 则则在以在以 x, a 为端点的区间上满足柯为端点的区间上满足柯故故( )( )( )( )( )( )f xf xf aF xF xF a ( )( )fF ( )lim( )xaf xF x( )lim( )afF ( )lim( )xafxFx 3)定理条

6、件定理条件: 西定理条件西定理条件,.xaa 当当时时1) lim( )lim( )0 xaxaf xF x( )3) lim( )xafxFx 存在存在 (或为或为 )2)( )( )( ),f xF xa 与与在在内内可可导导( )0Fx 且且 xa 71) lim( )lim( )0 xaxaf xF x( )3) lim( )xafxFx 存在存在 (或为或为 )( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 2)( )( )( ),f xF xa 与与在在内内可可导导( )0Fx 且且定理定理 1.(洛必达法则洛必达法则) 推论推论1. 定理定理 1 中中xa换为换

7、为,xa ,xa ,x x 之一之一,推论推论 2. 若若( )lim( )fxFx 0,( ),( )0fxFx仍仍属属型型 且且满满足足定定理理1 1的的条件条件,则则( )( )limlim( )( )f xfxF xFx ( )lim( )fxFx 条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改 , 定理定理 1 仍然成立仍然成立.,x 8332132lim.1xxxxxx求求解解: 原式原式1 limx 00型型16lim62xxx 32 注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则不是未定式不能用洛必达法则 !16lim62xxx 16lim16x 233x 2321xx例例1. 用罗比达法则

8、时用罗比达法则时必须必须检验是否为未定式检验是否为未定式P136例例29arctan2lim.1xxx 求求解解: 原式原式 lim x 00型型22lim1xxx 1 211x 21x 211lim1xx 思考思考: 如何求如何求 21arctanlimnnn ( n 为正整数为正整数) ? 型型lim( )()lim( )lim( )xnxf xAf nf x 或或例例2.P136例例4 10解解:30tanlimxxxx 原原式式220lim3xxx 220sec1lim3xxx .31 0(0型型 ) )220tanlim3xxx 例例3.tantanlim20 xxxxx 求求22s

9、ec1tanxx注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其但与其它求极限方法结合使用它求极限方法结合使用,效果更好效果更好.常用的有等价无穷小常用的有等价无穷小代换代换,重要极限重要极限,变量代换变量代换,极限的运算法则等极限的运算法则等.P138例例1011例例4. 求求0sin1lim.1cosxxxx 解解: xxxxcos1sin1lim00002sinlim12xxxxx 30sin2limxxxx 201cos2lim3xxx 0sin2lim6xxx .31 尽量使用尽量使用无穷小的代换无穷小的代换和和重要极限，重要极限，说明：说明：

10、可以可以简化简化计算计算.220122lim3xxx 1.3 0000121) lim( )lim( )xaxaf xF x ( )3) lim( )xafxFx ( )( )limlim( )( )xaxaf xfxF xFx 定理定理 2.若若(洛必达法则洛必达法则)2)( )( )( ),f xF xa 与与在在内内可可导导( )0Fx 且且说明说明: 定理中定理中xa换为换为之一之一,条件条件 2) 作相应的修改作相应的修改,定理仍然成立定理仍然成立.,xa ,xa ,x x ,x 存在存在 (或为或为 )注意：注意： 想用洛必达法则之前应先：想用洛必达法则之前应先：(1)检查极限的类

11、型是否为检查极限的类型是否为(2)为使极限计算简单为使极限计算简单,应应结合以前的方法结合以前的方法化简函数化简函数,如如等价无穷小代换、四则法则、变量代换等等价无穷小代换、四则法则、变量代换等.00 型型、 型型13lnlim(0).nxxnx 求求解解: 型型原式原式11limxnxnx 1limnxnx 0 例例5.例例6. 求求解解: 原式原式0 1limnxxnxe 22(1)limnxxn nxe !limnxxne lim( ,0).nxxxne 为为正正整整数数 型型例例5、例、例6说明：说明：但它们趋于无穷大的但它们趋于无穷大的“快慢快慢”程度不一程度不一样样.指数函数最快指

12、数函数最快,幂函数次之幂函数次之,对数函数最慢对数函数最慢.ln,xxx xe 当当时时, , , ,均均为为无无穷穷大大三者相比三者相比,P136例例5,614例例7.解解:2tanlim.tan3xxx 求求222seclim3sec 3xxx 原原式式2221cos 3lim3cosxxx 21 lim3x 2cos3limcosxxx 23sin3limsinxxx . 3 )( P139 T1(8)22cos3sin3limlimcossinxxxxxx21,tx 令令50limttt e 则则 原式原式=50limttte 0 2110001limxxex 解解:例例8. 求求非零

13、因子要及时分离出来非零因子要及时分离出来2sin6limsin2xxx 6cos3 sin3xx 2cossinxx 15练习：练习：下列各式正确运用洛必达法则求极限的是下列各式正确运用洛必达法则求极限的是( )2112ln(ln )2ln( )limlimlim2lim011nnnnnnnnnAnn 00sin1cos()limlimsin1cosxxxxxBxxx cos1sin()limlim1xxxxxCx 不不存存在在0001() limlimlim01lnxxxxDxxx B160,00 ,1 , 0 型型将其它类型的未定式化为洛必达法则可解决的将其它类型的未定式化为洛必达法则可解

14、决的关键关键:0,.0 类型类型 例例9. 求求0limln(0).nxxxn 0型型解解: 原式原式0lnlimnxxx 101limnxxn x 0 0lim()nxxn 1. 0型型步骤步骤: 0 0或或,1 .010 二、其他未定式二、其他未定式:P137例例717 00.0 0 2. 型型步骤步骤:即即通分通分1100 型型2lim(sectan ).xxx 解解: 原式原式21sinlim()coscosxxxx 21sinlimcosxxx 2coslimsinxxx 0 例例10. 求求例例11.解：解：21limln(1).xxxx求求0lim t20ln(1)limtttt

15、 21limln(1)xxxx 0lim2(1)tttt 0111lim2ttt 12 1tx 令令211ln(1) tttP138例例818步骤步骤:003. 0 ,1 , 型型 0010 0ln00 1ln ln0用对数用对数恒等式恒等式例例12. 求求0lim.xxx 00 型型解解: 0e 1 0limxxx ln0limxxxe 09.limln0(0).nxxxn 例例lnMMe 由由对对数数恒恒等等式式：知知：lnggfyfye 0limlnxxxe 0 xxxeln1lim lnlimxxxe . 11lim xxe xxx1lim例例13.1lim.xxx 求求解：解：lim

16、1nnn P138例例919解：解：例例14.2lim (arctan) .xxx 求求 1221limarctan1xxxx 221limlimarctan1xxxxx 2lim (arctan)xxx 2ln(arctan)limxxxe 2limln(arctan)xxxe 2limln(arctan )xxx 0 211limarctanxxx 2limlnlnarctan xxx 2lnlnarctanlim1xxx 002 2limln(arctan)2=xxxee 原原式式P183T10(3)211x 20注意：注意：1)条件充分但不必要条件充分但不必要.洛必达法则的使用是有条件

17、的洛必达法则的使用是有条件的.( )lim(),( )fxF x 若若不不存存在在时时( )( )limlim.( )( )f xfxF xF x 例如例如,sinlimxxxx 1 coslim1xx sinlim(1)xxx 1 ( )( )limlim(),( )( )f xfxg xg x 设设是是未未定定式式极极限限, ,如如果果不不存存在在 也也不不是是( )lim()( )f xg x 是是否否也也不不存存在在 也也不不是是？极限不存在也极限不存在也不是无穷大不是无穷大2)对有些极限失效对有些极限失效(1)对对数列数列极限极限失效失效.对数列极限的未定式对数列极限的未定式,若想用

18、洛必达法则若想用洛必达法则,应先用定理应先用定理:lim( )()lim( )lim( )xnxf xAf nf x 或或21( )(2)lim()( )fxg x 不存在不存在时时失效失效.(3)有时有时出现循环，出现循环，这时罗比达法则这时罗比达法则失效失效.如：如： xxxxxeeeelim事实上：事实上： xxxxxeeeelim xxxxxeeeelimxxxxxeeee lim. 111lim22 xxxee(4)有时会有时会越用越复杂越用越复杂,这时这时不必不必用罗比达法用罗比达法,则应先用则应先用其它方法其它方法.如：如： xxxx3sincos1seclim220 xxxx3

19、sincostanlim220220limcos(3 )xxxx 1.9 22000 ,1 , 型型 型型0 型型00型型 型型1gffg1111gfgffg 洛必达法则洛必达法则适用于：适用于：gyf 令令lngfye 内容小结内容小结温馨提示：温馨提示： 洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法洛必达法则是求未定式极限的一种有效方法,但与但与其它求极限方法结合使用其它求极限方法结合使用,效果更好效果更好. 常用的有等价无常用的有等价无穷小代换、重要极限、变量代换穷小代换、重要极限、变量代换,极限的运算法则等极限的运算法则等.23泰勒中值定理：泰勒中值定理：0( )( , )f xxa b如如

20、果果函函数数在在含含有有 的的某某个个开开区区间间200000( )00()( )()()()()2!() ()( )!nnnfxf xf xfxxxxxfxxxRxn 其中：其中：(1)10( )( )()(1)!nnnfRxxxn (1)第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)中值定理中值定理0 xx 这这里里 是是介介于于 与与 之之间间的的某某个个值值. .把把(1)式称为函数式称为函数0(.)f xxxn 在在处处阶阶泰泰勒勒公公式式的的(1, )xa bn 内内具具有有直直到到阶阶的的导导数数, ,则则，有有(2)把把(2)式称为式称为拉拉格格朗朗日日型型余余项项. .24注意注意:

21、( )0()2.!nfxn泰泰叫叫 勒勒系系数数，3.余项：余项：(1)10( )(1) ( )()(1)!nnnfR xxxn 0 xx 其其中中 介介于于 与与 之之间间. .叫叫Lagrange型余项型余项.0lim( )nxxR x由由于于0, 00lim()0,nxxxx 00( )lim0()nnxxR xx x 并并且且，( )000()( )() :!1.knknkfxP xxxk 0( )xxnfx 称称为为按按的的幂幂展展开开的的泰泰阶阶勒勒多多项项式式. .叫皮亚诺叫皮亚诺(Peano) 余项余项.0(2) ( )() nnR xo xx 且且系系数数是是唯唯一一的的.

22、.200000( )00()( )()()()()2!() ()( )!nnnfxf xf xfxxxxxfxxxRxn 0( )f xxxn 在在处处的的 阶阶泰泰勒勒公公式式：254.特例特例:(1)当当n=0时，时， 泰勒公式泰勒公式即为即为拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式.00( )()( )()f xf xfxx ，故泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广故泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.称为称为麦克劳林麦克劳林( Maclaurin )公式公式 .00 x ，则有则有(2)在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取0 xx 其其中中 介介于于 与与 之之间间. .( )(1)21(0)(0)( )( )(0)(0)2!(1)!nnnnffff xffxxxxnn 5.函数的函数的Taylor公式公式是函数无穷小的一种精细分析是函数无穷小的一种精细分析,也是在无穷小邻域将也是在无穷小