磁聚焦和磁发散

1、磁聚焦和磁发散一、带电粒子的汇聚特点：磁场是圆形磁场磁场圆的半径和轨迹圆的半径相等大量带正电的粒子平行入射。结论：这些粒子会汇聚一点射出磁场。几何关系：磁场圆的两条半径，轨迹圆的两条半径组成的四边形是菱形。因为00 是角平分线，所以/ 仁/ 2，因为0B=0B所以/ 2=7 3, 所以/仁/3，四边形A0B0是菱形。如图所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等即R= r,则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点 B点射出.平行四边形 0A0 B为菱形，可得 B0为轨迹圆的半径，可知从 A点 发出的带电粒子必然经过 B点.1、如图所示，x轴正方

2、向水平向右，y轴正方向竖直向上.在 xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为 R的圆内还有与x0y平面垂直的匀强磁场.在圆的左边放置一带电微粒发射装置,它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m 电荷量q(q>0)和初速度v的带电微粒发射时，这1#带电微粒进入磁场后，将做圆周运动，且r=R，如图甲所示，设磁感应强度大小为B。由，得，方向垂直于纸面向外束带电微粒分布在 0<y<2R的区间内.已知重力加速度大小为g.(1)从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点 0沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向.(2)请指出这束带电微粒与 x轴相交的

3、区域，并说明理由.(1) 带电粒子平行于 x轴从C点进入磁场，说明带电微粒所受 重力和电场力平衡。设电场强度大小为E,由(2) 这束带电微粒都通过坐标原点方法一：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动，其圆心位于其正下方的Q点，如图乙所示，这束带电微粒进入磁场后的圆心轨迹是如图乙的虚线半圆，此圆的 圆心是坐标原点方法二：从任一点P水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动。如图乙所示，高P点与0'点的连线与y轴的夹 角为0，其圆心Q的坐标为(-Rsin 0 , Rcos 0 )，圆周运动轨迹 方程为(:r+Rsincos乙0为圆心，一个电子以一定速

4、度v沿A0方向(水平)射入磁场，经过时间t从0点正下方的C点射出磁场，另有一电得 x=0, y=0 或 x=-Rsin 0 , y=R(1+cos 0 ) 2、如图所示，在一个半径为 R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场,3子以相同速度从磁场边界上的B点水平射入磁场，两速度方向与圆周在一平面内，且A、B两点n间圆弧长度为；4农 则第二个电子在磁场中运动的时间为(A )3A、 第二个电子在磁场中运动的时间为-t23B、 第二个电子在磁场中运动的时间为t8C第二个电子从 C点的左侧圆弧 AC上某点射出1D第二个电子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角为0 = 二43、如图所示，半径为 R的半圆形区域

5、内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B,半圆的左边垂直 X轴放置一粒子发射装置，在 -RC y < R的区间内各处均沿 x轴正方向同 时发射出一束带正电粒子，粒子质量均为m电荷量均为 q、初速度均为 v,重力及粒子间的相互作用均忽略不计，所有粒子都能到达y轴，其中最后到达 y轴的粒子比最先到达 y轴的粒子晚 t时间，则（ABD ）A.有些粒子可能到达y轴上相同的位置mvB.磁场区域半径 R应满足R -qB兀m R tBq vD.：t-其中角度9的弧度值满足sin v -qB vmvA、粒子射入磁场后做匀速圆周运动，其运动轨迹如图所示,y=± R的粒子直接沿直线运动到达

6、y轴，其他粒子在磁场中发生偏转。由图可知，发生偏转的粒子也有可能直接打在y=R的位置上，所以粒子可能会到达y轴的同一位置，故 A正确;5#B、以沿x轴射入的粒子为例，若mv rR，则粒子不能到达 y轴就偏向上离开磁场区域，所qB以要求，所有粒子才能穿越磁场到达y轴，故B正确；qBD从x轴入射的粒子在磁场中对应的弧长最长，所以该粒子最后到达y轴，丄 L -R 二 2 5 L -R 如,、一,t1,（其中9为从x轴入射粒子运动的圆心角，根据几何关v 2兀 qB v qBR qBR系有a =9，则sinv -sin）;而y= 土 R的粒子沿直线匀速运动到y轴，时间最短,r mvL咖 R ,“t2，所

7、以： t=t i-t 2=，故 D 正确。vqB vm RC由于，所以“t, C错误。2qB v故选ABD4、如图所示，半径为 R= 2cm的圆形区域中有垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度B= 2T, 个比荷为2x 106C/kg的带正电的粒子从圆形磁场边界上的A点以vo= 8x 104m/s的速度垂直直径 MN射入磁场，恰好从 N点射出，且/ AON= 120° .下列 选项正确的是（BCD ）A. 带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为1cmB. 带电粒子在磁场中运动轨迹的圆心一定在圆形磁场的边界上C. 若带电粒子改为从圆形磁场边界上的C点以相同的速度入射，一定从N点射出

8、D. 若要实现带电粒子从 A点入射，从N点出射，则该圆形磁场的最小面积为3n X 104卅根据洛伦兹力提供向心力：2qvB = m，可得：r =，代入数据解得：r=2cm,故A错误;rqB粒子运动轨迹如图所示：由上可知四边形AONP为菱形，又因为/ AON120O,根据几何知识可得圆心 P一定在圆周上，故B正确; 从圆形磁场边界上的 C点以相同的速度入射，轨迹如图所示，易 知四边形SCO!为菱形，根据几何知识可知粒子一定N点射出，故C正确；当带电粒子从 A点入射，从N点出射，以AN为直径的圆的磁场， 此时有最小面积即/AN-2S =兀 1：=兀（Rcos30）2 =3兀 ><14m

9、2，故 D正确。I 2 丿'5、如图所示，真空有一个半径 r=0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强度大小 B=2 x 10-3T,方向垂直于纸面向里，在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度为L1=0.5m的匀强电场区域，电场强度E=1.5 X 103N/C.在x=2m处有一垂直x方向的足够长的荧光屏，从0点处向£不同方向发射出速率相同的荷质比 : =1 X 109C/kg带正电的粒子，粒子的运动轨迹在纸面内， 个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子，恰能从磁场与电场的相切处进入电场。不计重力及阻 力的作用。求：(1) 粒子进入电场时的速度和粒子在磁场中的运动

10、的时间？(2) 速度方向与y轴正方向成30°(如图中所示)射入磁场的粒子，最后打到荧光屏上，该发 光点的位置坐标。(1)由题意可知：粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径R=r=0.5m,有 Bqv=MiV1疋,可得粒子进入电场时的速度=lxltf* x 2xl<T3 X 05=lx IQ-wt/jv=(3分)在 磁t1=场 中 运 动 的 时 间12朋5說4 Bq?.P2 1x10"k2x103=7 85X1£> J（2 分）(2)粒子在磁场中转过 120°角后从P点垂直电场线进入电场，如图所示,Eq=1 5xlO?3<lxlOs在电场

11、中的加速度大小 a=（2 分）ax = UxlO11 X 0-5 6 = 075X1MJwZs粒子穿出电场时 Vy=at2=-（2 分）t中导论(1分)在磁场中 y1=1.5r=1.5 X 0.5=0.75m （1 分 ）J = 1在电场中侧移y2=-(需严“一（1 分）9#飞出电场后粒子做匀速直线运动y3=L2tan a =（2-0.5-0.5） X 0.75=0.75m （1分）故 y=y1+y2+y3=0.75m+0.1875m+0.75m=1.6875m（1 分）#（1 分）则该发光点的坐标(2 , 1.6875)#技巧点拨 求解带电粒子在匀强磁场中的运动的问题的关键是定圆心、求半径、

12、画轨迹。对带电粒子在电场中的偏转问题，一般采用类似于平抛运动的分析处理方法，应用运动的合成和分解的进行计算.带电粒子的发散如图所示，有界圆形磁场磁感应强度为B,圆心O从P点有大量质量为m电量为q正离子，以大小相等的速度 v沿不同方向射入 有界磁场，不计粒子的重力，如果正离子轨迹圆半径与有界圆形磁 场半径相等，则所有的运动轨迹的圆心与有界圆圆心O入射点、出射点的连线为菱形，即出射速度方向相同.6、如图所示，在半径为/罰勺圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B圆形区域右侧有一竖直感光板， 圆弧顶点P有一速度为V。的带正电粒子平行于纸面进入磁场， 已知粒 子的质量为 m电荷量为q,粒子重

13、力不计.(1) 若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；(2) 若粒子对准圆心射入，且速率为 I V0,求它打到感光板上时速度与 竖直感光板的夹角；(3) 若粒子以速度Vo从P点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直 打在感光板上.设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，由牛顿第二定律得:#Bqvo=mRrtin轨迹对应的圆心角为则1t=卄=(2)由(1)知，当v=丨Vo时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为I R,11.V其运动轨迹如图所示.由几何关系可知/ PQO=/ OOA=30°, 所以带电粒子离开磁场时偏转角为60 °,粒子打到感光板上时速度与竖直感光

14、板的夹角为60°(3) 由(1)知，当带电粒子以 V0射入时，粒子在磁场中的运动轨迹半径为R,设粒子射入方向与 P0方向之间的夹角为0，带电粒子从区域边界 S射出,带电粒子的运动轨迹如图所示.因 PO=OS=PO=SO=R所以四边形POSO为菱形，由几何关系可知：PO/ C3S在S点的速度方向与 QS垂直，即粒子打到感光板上时速度与竖直感光板的夹角为90°7、如图所示，在坐标系 xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为垂直纸面向里的匀强磁场。在直线y=a的上方和直线 x=2a的左侧区域内，有一沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E。一质量为 mO ( a， 0)，圆内分布有

15、电荷量为+q (q>0)的粒子以速度 v从O点垂直于磁场方向且速度方向沿x轴正方向射入第一象限，粒子恰好从0点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力。(1) 求磁感应强度B的大小；(2) 求粒子从0点进入磁场到最终离开磁场所通过的路程。(3) 若粒子以速度v从0点垂直于磁场方向且与 x轴正方向的夹角0 =30°射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间t。(1)设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为R粒子自A点射出，由几何知识解得#(1) 经分析粒子在磁场运动的路程Si=粒子在电场中的路程 S2E q=maS=S+S2=(3)粒子运动轨迹如图所示粒子在磁场中做圆运动的周期粒子从

16、磁场中的 P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，00P0构成菱形，故粒子从 P点的出射方向与y轴平行，粒子由 0到P所对应的圆心角为=60°由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离S=acos粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间粒子由P点第2次进入磁场，由 Q点射出，P OQ 03构成菱形，由几何知识可知Q点在x轴上，粒子由P到Q的偏向角为=1200,贝U13粒子先后在磁场中运动的总时间 粒子在场区之间做匀速运动的时间解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间8如图所示，在直角坐标系 xOy平面的第n象限内有半径为R的圆O分别与x轴、y轴相切于P(-r, 0)、Q( 0, r

17、)两点，圆O内存在垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B.与y轴负方向平行的匀强电场左边界与y轴重合，右边界交 x轴于M点,带正电的粒子 A (重力不计)电荷量为q、质量为m以某一速率垂直于 x 轴从C点射入磁场，经磁场偏转恰好从D点进入电场，最后从G点以与x轴正向夹角为45°的方向射 出电场.求：(1) OM之间的距离；(2) 该匀强电场的电场强度 E;(3) 若另有一个与 A的质量和电荷量相同、速率也 相同的粒子 A',从C点沿与x轴负方向成30°角 的方向射入磁场，贝炮子A'再次回到x轴上某点时， 该点的坐标值为多少？(1)设粒子A射入磁场时的

18、速率为 V。，其在磁场中做圆周运动的圆心必在x轴上，设其圆心为CA,连接OC CAD,则QC= CAD= r，所以Q与O点重合，故 A粒子在磁场区域的偏转半径也是 r.(2 分)A粒子运动至D点时速度与y轴垂直，粒子 A从D至G作类平抛运动，设其加速度为a，在电场中运行的时间为t，由平抛运动的规律可得：OG =如由运动学知识可得:(1分)(1 分)由牛顿运动定律和电场力公式可得:（ 2 分）联立解得：一工 J1分）（2）粒子A的轨迹圆半径为r，由洛仑兹力和向心力公式可得:（2 分）联立解得：二：炉（2分）（3）设粒子A'在磁场中圆周运动的圆心为 O ,因为/ O' CA =90

19、 °, O' C=r,以 O 为圆心、r为半径做A'的轨迹圆交圆形磁场 O于H点，则四边形 CO H O为菱形，故 O' H/ y 轴，粒子A' 从磁场中出来交y轴于I点，HI丄O' H,所以粒子A'也是垂直于y轴进入电场。（2分）设粒子A'从J点射出电场，交 x轴于K点，因与粒子 A在电场中的运动类似，由（1）式可得：OI - JG=r2 分）JG=rcos30又 Ol=r+rcos30 °（1 分）由式解得:根据图中几何知识可得：/ JKG=45°, GK=GJ所以粒子A'再次回到x轴上的坐标为（

20、1 分）三、磁发散问题中和数学相关的最值问题9、在如图的xOy坐标系中.A （- L, 0）、C是x轴上的两点，P点的坐标为（0, L）.在第二象限内以D （- L, L）为圆心、L为半径的寸圆形区域内，分布着方向垂直xOy平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场；在第一象限三角形 OP（之外的区域，分布着沿y轴负方向的匀强电场.现 有大量质量为 m电荷量为+q的相同粒子，从 A点平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁场区域，其中沿AD方向射入的粒子恰好从 不考虑粒子间的相互作用及其重力，求：（1）电场强度的大小；（2）x正半轴上有粒子穿越的区间.P点进入电场，经电场后恰好通过 C点.已知a

21、=30JDPi4« i:B:t*«j1 *V/yh' J*7 J d fl怯rFF厂oCJI解：(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r，粒子初速度为vo,由几何关系得：r=L ,沿AD方向的粒子由P点进入电场时，速度方向与 设在电场中运动的时间为 t o,电场强度为E,则 qE=may轴垂直,L _ 叱 ranfl1L=2q&2LI解得：E=(2)若粒子的速度方向与 X轴正方向的夹角为ADFO为菱形，O F 平行 AD, Vf 丄 O F,带电粒子离开磁场时，速度方向沿X轴正方向，则有:yF=L (1-cos 0 ),粒子从F '通过PC,

22、则0，粒子从F点射出磁场，由于 r=L ,故四边形-匸YF x F'tana粒子在电场中运动的时间为t，从C通过X轴离开电场，沿 X轴方向的位移为X,X=Vot ,粒子到达X轴的坐标为 Xc , Xc =Xf +XC = J3£-(cos0+ l-gj.010)(0v 0 <90°)当0 =90°时，xc的最小值时，Xc，的最大值UKLXCOS0 -17所以x正半袖上有粒子穿越的区间为#答：（1）电场强度的大小为3册；（2）x正半袖上有粒子穿越的区间为变式1、在直角坐标系xoy中，A （-0.3 , 0）、C是x轴上两点，P点的坐标为（0, 0.3

23、）。在第 二象限内以D（-0.3,0.3 ）为圆心、0.3m为半径的1/4圆形区域内，分布着方向垂直 xoy平面向 外、磁感应强度大小为 B=0.1T的匀强磁场；在第一象限三角形 OPC之外的区域，分布着沿 y轴 负方向的匀强电场（如图所示）。现有大量质量为m=3 10kg、电荷量为q =1 104C的相同粒子，从A点平行xoy平面以相同速率v=103m/s沿不同方向射向磁场区域，其中沿AD方向射入的粒子恰好从 P点垂直y轴进入电场，恰好通过C点。已知a = 37。，不考虑粒子间的相互作用及其重力，求:（2）粒子穿越x正半轴的最大值。#,、 mv(1) r(2) 0.5mqB【解析】（1）带电

24、粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r,粒子的初速度为 vmvqB2_ mv qvBr#根据题意和几何知识，可得:3r=DP=0.3mv=1 x 10 m/s#沿AD方向的粒子由P点进入电场时，速度方向与y轴垂直。所以，该粒子在电场中做类平抛运动，运动时间为tOC=vt1 20P= at2OP=OCtan aqE=maE=112.5V/m（2）若速度方向与x轴正方向的夹角为 B的入射粒子，从x正半轴穿过时距离 0点最远。 粒子从F点离开磁场，其中 0 是粒子运动的圆心。由于粒子的运动半径等于磁场的半径，所以 四边形ADFO 为菱形，OFjAD , vF _ O F，而AD又是竖直方向，所以 v

25、f垂直于y轴从F 点进入电场，仍做类平抛运动。1运动时间为tx=vyFat '22粒子到达x轴的坐标为xC x = x xFr - yFxF- yF 1 -costta na联合接的 xC =0.4 1-cosr 0.4cosr设-,1 -COST - k，所以 Xc：=0.4k - 0.4 1 -k2 当 k=0.5 时 Xc 有最大值且为 0.5m10、如图所示，在xOy平面内，紧挨着的三个“柳叶”形有界区域内（含边界上）有磁感应强度为 B的匀强磁场，它们的边界都1 1是半径为a的；圆，每个；圆的端点处的切线要么与x轴平行、要么与y轴平行区域的下端恰在O点，区域在 A点平滑连接、区

26、域在C点平滑连接.大量质量均为m电荷量均为q的带正电的粒子依次从坐标原点 O以相同的速率、各种不同的方向射入第 一象限内（含沿x轴、y轴方向），它们只要在磁场中运动，轨道半径就都为a.在yw a的区域，存在场强为E的沿一x方向的匀强电场整个装置在真空中，不计粒子重力、不计粒子之间的相 互作用.求：(1) 粒子从0点射出时的速率V0; 这群粒子中，从 O点射出至运动到 x轴上的最长时间;(2) 这群粒子到达y轴上的区域范围.四、磁场的最小区域问题11、电子质量为 m电荷量为e,从坐标原点 O处沿xOy平面射入第一象限，射入时速度方向不 同，速度大小均为 vo，如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B,若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏MN上，荧光屏与y轴平行，求:(1) 荧光屏上光斑的长度；(2) 所加磁场范围的最小面积。解：(1 )如图所示，求光斑长度，关键是找到两个边界点，初速度方向沿x轴正方向的电子，沿弧OB运动到P;初速度方向沿y轴正方向的电子, 沿弧OC运动到Q由图可知电子在磁场中的半径(2)沿任一方向射入第一象限的电子经电场偏转后都能垂直打到荧光屏MN上，所加最小面积的磁场的边界是以 O'(0 , R)为圆心，R为半径的圆的一部分，如图中实线所示，所以磁场范围的最 小面积为J戒