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1、阅读以下材料:引例:平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。 你能用向量方法证明: 平行四边形的对角线的 平方和 等于两条邻边平方和的两倍证明:不妨设AB a,ADb,M则 AC a b,DB a b,2 .2 . _ 2 | ”2-i-2图1aCACa ba2a b b(1)dB2 2 2L| 2DBa ba 2a b b2(2)(1)(2)两式相加得:AC阿2a2 lb2 2AB2 |ad|2结论:平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 思考1:如果将上面(1)( 2 )两式相减,能得到什么结论呢?2rr 2a b = - a b a b 极化恒等式4对于上述恒等式,用向量运算
2、显然容易证明。 那么基于上面的引例, 你觉得极化恒等式 的几何意义是什么?几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与1“差对角线”平方差的丄4阳""122即:a b AC DB (平行四边形模式)4思考:在图1的三角形ABD( M为BD的中点),此恒等式如何表示呢?因为AC 2AM,所以a b2AM丄|db|2 (三角形模式)4例1.(2012 年浙江文15)在 ABC中,uu uuurAB AC .解:因为M是BC的中点,由极化恒等式得:M是BC的中点,AM 3, BC10 ,则 2AB AC AMBC =9-100 = -16【小结】在
3、运用极化恒等式的三角形模式时,关键在于取第三边的中点,找到三角形的中线,再写出极化恒等式。目标检测(2012北京文13改编)已知正方形ABCD的边长为1, 点E是AB边上的动点,贝V DE DA的值为.例2.(自编)已知正三角形 ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点,解.取AB 则PA PB的取值范围是.的中点D,连结CD因为三角形 ABC为正三角形,所以 O为三角形ABC勺重心,O在CD上,且 OC 2OD 2,所以 CD 3, AB 2 3(也可用正弦定理求 AB又由极化恒等式得: 2PA PB PD4|ab2PD因为P在圆O上,所以当P在点C处时,| PD |max 3当P
4、在CO勺延长线与圆 O的交点处时,I PD Imin 1所以 PA PB 2,6【小结】涉及数量积的范围或最值时,可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量,再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。目标检测2 2 (2010福建文11)若点O和点F分别为椭圆24 号 1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP的最大值为()A2B.3C.6D.81例3. (2013浙江理7)在 ABC中,P0是边AB上一定点,满足RB - AB,且对于边AB4 ujur uuu uur uuir上任一点P,恒有PB PC F0B PC。则()A. ABC 90° B. BAC 90
5、176;C. AB AC D. AC BC目标检测(2008浙江理9)已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a c) (b c) 0,则c的最大值是() 、2A1B.2C.2 D.课后检测1. 在 ABC中, BAC 60°若AB 2 , BC . 3 , D在线段AC上运动,DB DA的最小值为2. 已知AB是圆O的直径,AB长为2, C是圆O上异于A, B的一点,P是圆O所在平面上uur uuu uuu任意一点,则PA PB PC的最小值为()A111A. - B. - C. D. 14323 在 ABC中,AB 3 , AC 4 , BAC 60°,若P是 ABC所在平面内一点,且uuu uuuAP 2,则PB PC的最大值为 2 X24.若点O和点F( 2,0)分别是双曲线 寸1(a 0)的中心和左焦点,点P为双曲线a3uuu右支上任意一点则 OPuuuFP的取值范围是5.在 Rt ABC , ACBC 2,已知点P是ABC内一点,贝V PC (PA PB)的最小值是6.已知A、B是单位圆上的两点,O为圆心,且AOB 120o,MN是圆O的一条直径,点C在圆内,且满足OC OA (1)OB(01),则CM CN的取值范围是()A.12,11,11,07.正ABC边长等于 3,点P在其
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