第10章压杆稳定

1、第第1010章章 压杆稳定问题压杆稳定问题10-110-1压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷10-210-2临界应力与临界应力总图临界应力与临界应力总图10-310-3压杆稳定性核校压杆稳定性核校10-1 10-1 压压杆稳定与临界载荷杆稳定与临界载荷一、压杆稳定的概念一、压杆稳定的概念pp稳定性：主要针对细长压杆稳定性：主要针对细长压杆稳定性：稳定性：构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力，构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力，是杆件承载能力的一个方面。是杆件承载能力的一个方面。如何判断杆件的稳定与不稳定？如何判断杆件的稳定与不稳定？10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临

2、界载荷f fp p f fcr cr : :在扰动作用下在扰动作用下，直线平衡构，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，扰动除去后，不能不能恢复到直线平衡构形，则称原来恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是的直线平衡构形是不稳定的不稳定的。 在扰动作用下，直线平衡状态转变在扰动作用下，直线平衡状态转变为弯曲平衡状态，扰动除去后，不能恢为弯曲平衡状态，扰动除去后，不能恢复到直线平衡状态的现象，称为复到直线平衡状态的现象，称为失稳或失稳或屈曲屈曲。二、临界载荷的概念二、临界载荷的概念临界载荷临界载荷 ：crf压杆的压力逐渐上升压杆的压力逐渐上升, ,使压杆的平衡由

3、稳定的平衡状态使压杆的平衡由稳定的平衡状态向不稳定的状态的质变的转折点向不稳定的状态的质变的转折点, ,称为称为临界载荷临界载荷, ,以以表示表示. .crf压杆保持直线状态平衡的最大力。压杆保持直线状态平衡的最大力。使压杆失稳（不能保持直线形式的稳使压杆失稳（不能保持直线形式的稳稳定平衡）的最小力。稳定平衡）的最小力。10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷三、细长压杆的临界力三、细长压杆的临界力1 1、两端铰支的细长压杆的临界力、两端铰支的细长压杆的临界力2 2、其他杆端约束细长压杆的临界力、其他杆端约束细长压杆的临界力1 1、两端铰支的细长压杆的临界力、两端铰支的细长压杆

4、的临界力考察微弯状态下局部压杆的平衡考察微弯状态下局部压杆的平衡10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷pbxffy)(22xmdxydei,p若则压杆的弯曲变形为则压杆的弯曲变形为yfpeiyfdxydp22,2eifkp设则则0222ykdxyd( (二阶线性常数二阶线性常数齐次微分方程齐次微分方程) )通解为通解为kxbkxaycossin式中式中a、b、k为待定常数。为待定常数。10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷y10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷边界条件为：边界条件为：1）x=0，y=0b=02）x=l，y=00sin kl

5、a若若a=0a=0，则，则 0y（与假设不符）（与假设不符）0sinkl因此因此解得：解得：),2, 1 ,0( ,nlnkkxaysin临界载荷临界载荷l22eif cr =欧拉公式欧拉公式 载荷载荷屈曲位移函数屈曲位移函数 y(x)=a sinnxll2n22eif p =由此得到两个重要结果由此得到两个重要结果),2,1 ,0(,nlneifkp10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷 上式习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个方向的支承情况相同上式习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个方向的支承情况相同时（如两端为球铰），压杆总是在它的抗弯能力最小的纵向平面内失稳，

6、所时（如两端为球铰），压杆总是在它的抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以式中的以式中的eiei是压杆的最小抗弯刚度，即是压杆的最小抗弯刚度，即i i应取截面的最小形心主惯性矩应取截面的最小形心主惯性矩i iminmin。 1 1）、）、i i 如何确定如何确定 ？ 分析分析压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲压杆总是在抗弯能力最小的纵向平面内弯曲minii xyzhb例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？（绕哪个轴转动）（绕哪个轴转动）ff10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷000zyi00,zy为截面的主惯性轴（为截面的主惯性

7、轴（主轴主轴）。）。0yi为截面对主轴为截面对主轴 的惯矩，称为的惯矩，称为主惯矩主惯矩。0y0z为截面对主轴为截面对主轴 的主惯矩。的主惯矩。0zi而而,max0iizmin0iiy对于矩形截面对于矩形截面,1213bhiz3121hbiybhyzii zybh10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷所以矩形截面压杆首先在所以矩形截面压杆首先在xzxz平面内失稳弯曲，（即平面内失稳弯曲，（即绕绕 y 轴转动）轴转动）2 2）屈曲位移函数屈曲位移函数 弹性曲线为一半波正弦曲线。弹性曲线为一半波正弦曲线。,2时lx aylymax)2(a为压杆中点挠度。为压杆中点挠度。10-1

8、10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷2 2、其他杆端约束细长压杆的临界力、其他杆端约束细长压杆的临界力1 1） 一端固定，一端自由一端固定，一端自由2l2 2） 一端固定，一端铰支一端固定，一端铰支cybcbc段段, ,曲线上凸曲线上凸, ,; 0101caca段段, ,曲线下凸曲线下凸, ,0)1(c0cm即0.7l10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷3 3） 两端固定两端固定0.5lcd同理同理0, 0dcmm0.7l10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷一端自由，一端固定一端自由，一端

9、固定 2.02.0一端铰支，一端固定一端铰支，一端固定 0.70.7两端固定两端固定 0.50.5两端铰支两端铰支 1.01.0 相当系数（长度系数），相当系数（长度系数）， l l相当长度相当长度10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷 欧拉公式是以压杆的挠曲线的近似微分方程式为依据导欧拉公式是以压杆的挠曲线的近似微分方程式为依据导出的，这个微分方程只是在材料服从虎克定律的条件下才成出的，这个微分方程只是在材料服从虎克定律的条件下才成立。因此，只有在压杆内的应力超过材料的比例极限立。因此，只有在压杆内的应力超过材料的比例极限 时，时，才能用欧拉公式来计算临界力。才能用欧拉公式

10、来计算临界力。 p 例例10-110-1：五根直径都为五根直径都为 d d的细长圆杆铰接构成平面正的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系方形杆系abcdabcd，如各杆材料相同，弹性模量为，如各杆材料相同，弹性模量为e e。求。求图图 (a)(a)、(b)(b)所示两种载荷作用下杆系所能承受的最所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。大载荷。cl13tu1510-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷解：( )a杆受 压 ， 其 余 杆 受 拉bdbd 杆 的 临 界 压 力 :pe iacr222222e ia故 杆 系 所 能 承 受 的 最 大 载 荷ppcrmax222e ia

11、342128eda10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷( )b杆受 拉 ， 其 余 杆 受 压bd四 根 受 压 杆 的 临 界 压 力 ：pe iacr22故 杆 系 所 能 承 受 的 最 大 载 荷 ：ppcrmax2264342eda10-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷例例10-210-2：图示结构，图示结构，、两杆截面和材料相同，为两杆截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷细长压杆。确定使载荷 p p 为最大值时的为最大值时的角（设角（设0/20/2）。）。9010-110-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷解：由静力平衡条件可解得两杆的

12、压力分别为：npnp12cossin，两杆的临界压力分别为：pe ilpe ilcrcr12122222，要使最大，只有、都达到临界压力，即pnn12pe ilpe ilcossin21222212（ ）（）9010-110-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷将 式除 以 式便 得()( ),21122tgll ctg2由此得 arctg(ctg2)9010-1 10-1 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷10-2 10-2 临界应力与临界应力总图临界应力与临界应力总图 能不能应用欧拉公式计算能不能应用欧拉公式计算四根压杆的临界载荷？四根压杆的临界载荷？四根压四根压杆是不是都会发生弹性

13、屈曲？杆是不是都会发生弹性屈曲？1 1、问题的提出、问题的提出细长杆细长杆发生弹性屈曲发生弹性屈曲中长杆中长杆发生弹塑性屈曲发生弹塑性屈曲粗短粗短杆杆不发生屈曲，而发生屈服不发生屈曲，而发生屈服2 2、三类不同的压杆、三类不同的压杆 在临界力作用下，压杆横截面上的平均压应力称作临界在临界力作用下，压杆横截面上的平均压应力称作临界应力，以应力，以 表示，由欧拉公式表示，由欧拉公式(13-5)可得：可得： cr 22crcrpeiala 引入惯性半径引入惯性半径 ，则有，则有 iia alaeicr222)(22)(ile定义定义il柔度柔度或或长细比长细比10-2 10-2 临界应力与临界应力总

14、图临界应力与临界应力总图3 3、临界应力与柔度、临界应力与柔度22ecr欧拉公式欧拉公式10-210-2 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷p22crep比例极限比例极限4 4、欧拉公式的适用范围、欧拉公式的适用范围pe或或即即.,欧拉公式成立时pa3钢：钢：,200,200mpagpaep100p 细长杆（大柔度杆）细长杆（大柔度杆）发生弹性屈曲 ( (p p) )(p5 5、临界应力总图、临界应力总图 当当 p时，这类压杆属于临界应力超出比例极限的压时，这类压杆属于临界应力超出比例极限的压杆稳定问题。其临界应力一般运用由实验所得的经验公式杆稳定问题。其临界应力一般运用由实验所得的经验公式

15、来计算。常用的经验公式有二种，一种是直线型经验公式，来计算。常用的经验公式有二种，一种是直线型经验公式，另一种是抛物线型经验公式。另一种是抛物线型经验公式。 10-2 10-2 临界应力与临界应力总图临界应力与临界应力总图bass babb (塑性材料塑性材料)(脆性材料脆性材料)bacra、b是与材料有关的常数。是与材料有关的常数。1）直线公式直线公式 对于柔度对于柔度 的中柔度杆（中长的中柔度杆（中长压杆），临界应力与压杆），临界应力与的关系采用直线公式：的关系采用直线公式： 临界应力总图临界应力总图临界应力随柔度变化的曲线临界应力随柔度变化的曲线0临界应力总图临界应力总图10-210-2

16、 临界应力与临界应力总图临界应力与临界应力总图2 2） 抛物线公式抛物线公式2crba 是与材料有关的常数。是与材料有关的常数。ba ,se57. 02c对于柔度对于柔度(c)的杆件，临界应力与的杆件，临界应力与的关系采用抛物线公式：的关系采用抛物线公式： 10-210-2 临界应力与临界应力总图临界应力与临界应力总图抛物线与欧拉公式的交点抛物线与欧拉公式的交点c，相应的柔度，相应的柔度c为为 2 图图10-310-3和和图图10-410-4表示了压杆的临界应力与压杆的柔度表示了压杆的临界应力与压杆的柔度间的关系，称为塑性材料压杆的临界应力总图。它表示间的关系，称为塑性材料压杆的临界应力总图。

17、它表示了临界应力随柔度了临界应力随柔度变化的规律。从图中可看出，临界应变化的规律。从图中可看出，临界应力随柔度的增大而减小。力随柔度的增大而减小。 6 6、临界应力总图及临界应力的计算、临界应力总图及临界应力的计算 图图10-3图图10-4210-210-2 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷a a对于柔度较小的短粗杆，可取作为临界应力，即以强度计对于柔度较小的短粗杆，可取作为临界应力，即以强度计 算为主。算为主。 b b对于对于较大的细长杆，稳定问题是主要矛盾，应用欧拉较大的细长杆，稳定问题是主要矛盾，应用欧拉 公式计算临界应力。公式计算临界应力。 c c对于对于s s y（绕（绕z失稳）

18、失稳） max466121,1010110810zppe maxp，可由欧拉公式计算临界力，可由欧拉公式计算临界力 2222161zcrcrcrzzeieappaknl 或或该柱将可能在该柱将可能在xoy平面失稳（绕平面失稳（绕z轴）。轴）。 10-210-2 压杆稳定与临界载荷压杆稳定与临界载荷10-3 10-3 压杆稳定性核校压杆稳定性核校一、压杆的稳定计算一、压杆的稳定计算 稳定安全系数法稳定安全系数法 压杆的稳定条件压杆的稳定条件crstnff stfstn稳定安全因数稳定安全因数stf稳定许用压力稳定许用压力crstnstst稳定许用应力稳定许用应力f工作压力工作压力af 工作应力工

19、作应力 压杆的稳定条件压杆的稳定条件crcrstffn 工作工作安全因数安全因数afstn工作稳工作稳定安全因数定安全因数10-310-3 压杆稳定性核校压杆稳定性核校例例10-510-5 已知已知：b=40mm, h=60mm, l=2300mm,q235钢钢, , e200gpa,fp150kn,nst=1.8， 校核校核: :稳定性是否安全。稳定性是否安全。 mpampaps200,235xyzx10-310-3 压杆稳定性核校压杆稳定性核校解解: :zzzil35.99aiizzbhbh12/3ppe2xyzx考虑考虑xy平面失稳平面失稳(绕绕z轴转动轴转动)12h12/3 . 21h

20、8 .132aiiyybhhb 12/3考虑考虑xz平面失稳平面失稳(绕绕y轴转动轴转动)12byyyil12/3 .25 .0b6 .99pyz所以压杆可能在所以压杆可能在xyxy平面内首先失稳平面内首先失稳( (绕绕z z轴转动轴转动).).10-310-3 压杆稳定性核校压杆稳定性核校其临界压力为其临界压力为afcrcrbhez22kn269工作工作安全因数为安全因数为pcrffn150269793. 18 . 1stn所以压杆的稳定性是不安全的所以压杆的稳定性是不安全的. .10-310-3 压杆稳定性核校压杆稳定性核校例例10-5 简易起重架由两圆钢杆组成，杆简易起重架由两圆钢杆组成

21、，杆ab： ，杆，杆ac： ，两杆材料均为，两杆材料均为q235钢钢, ,规定的强度安全系数规定的强度安全系数 ，稳定安全系数，稳定安全系数 ，试确定起重机架的最大起重量。，试确定起重机架的最大起重量。mmd301mmd202mpagpaes240,20060,1000p2sn3stnmaxff45a21cb0.6m10-310-3 压杆稳定性核校压杆稳定性核校解解: :、受力分析、受力分析af1nf2nf)()(221压，拉ffffnn2、由杆、由杆ac的强度条件确定的强度条件确定 。maxf111afnssnssnaf21kn7 .263、由杆、由杆ab的稳定条件确定的稳定条件确定 。ma

22、xfstncrnffn210-310-3 压杆稳定性核校压杆稳定性核校22il柔度柔度:4/6 . 012d80因此因此2crcraf2)(abakn47.151226410)8012. 1304(d10-310-3 压杆稳定性核校压杆稳定性核校stcrnnfff2347.151kn5 .50knf7 .26max例例10-610-6 图示托架结构，梁图示托架结构，梁abab与圆杆与圆杆bc bc 材料相同。梁材料相同。梁abab为为1616号工号工字钢，立柱为圆钢管，其外径字钢，立柱为圆钢管，其外径d=80 mmd=80 mm，内径，内径d=76mmd=76mm，l l=6m=6m，a=3 ma=3 m，受均布载荷受