二次函数知识点大全

1、二次函数知识点归纳及提高训练二次函数知识点归纳及提高训练1.1.定义：定义：一般地，如果yaxbxc(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数.22.2.二次函数二次函数y ax的性质的性质(1)抛物线y ax（a 0）的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y ax的图像与a的符号关系 .当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点3.3.二次函数二次函数y ax bx c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.222b4 ac b2.y a x h ky ax bx ch ， k 4.二次函数二次函数用配方法可化成：的形式，其中2222a

2、4 a5.二次函数二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：y ax；y ax k；y ax h；y ax h k；y ax bx c.222226.抛物线抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴(或重合)的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.7.顶点决定抛物顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线求抛物线的顶点、对称轴的方法b 4acb2bb 4acb2（，）(1)公式法公式法

3、：y ax bxc ax，顶点是，对称轴是直线.x2a4a2a4a2a2(2)配方法配方法 ：运用配方法将抛物线的解析式化为yaxhk的形式，得到顶点为 (h,k)，对称轴是x h.22(3)运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形， 所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线抛物线y ax bx c中，a,b,c的作用2(1)a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.22(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax bxc的对称轴是直线x b,故

4、：b 0时，对称轴为y轴；b 0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；b 0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.aa2a(3)c的大小决定抛物线y ax bx c与y轴交点的位置.2当x 0时，y c，抛物线y ax bx c与y轴有且只有一个交点(0，c)：2c 0，抛物线经过原点; c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b 0.a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向当a 0时开口向上当a 0时开口向下对称轴顶点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,

5、k)y ax2y ax2 ky ax h2x 0(y轴)x 0(y轴)x hx hy ax h k2y ax bx c2bx 2ab4ac b2，()2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：y ax bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.2(2)顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.2(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1x x2.12.直线与抛物线的交点直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线y ax bx c得交点为(0 , c)2(2)与y轴平行的直线x

6、h与抛物线y ax bx c有且只有一个交点(h,ah2bh c).2(3)抛物线与x轴的交点二次函数y ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程2ax2bx c 0的两个实数根 .抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0抛物线与x轴相交；有一个交点(顶点在x轴上) 0抛物线与x轴相切；没有交点 0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bx c k的两个实数根.(5)一次函数y kx

7、nk 0的图像l与二次函数y ax bx ca 0的图像g的交点，由方程组20，bx2，0，由于(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax bx c与x轴两交点为ax1，2y kx n的解的数目来确定：2y ax bx c方程组有两组不同的解时l与g有两个交点;方程组只有一组解时l与g只有一个交点；方程组无解时l与g没有交点.bcx x ,x x x1、x2是方程ax bx c 0的两个根，故1212aa2ab x1 x2x1 x222x1 x22b24acb4c4x1x2 aaaa2213二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程y ax bx c

8、就是二次函数y ax bx c当函数 y 的值为 0 时的情况(2)二次函数y ax bx c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；2当二次函数y ax bx c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y 0时自变量x的值，2即一元二次方程ax bxc 0的根2(3)当二次函数y ax bx c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程y ax bx c有两个不222相等的实数根；当二次函数y ax bx c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2bxc 0有两个相等的实数根；当二次函数y ax2bx c的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax bxc 0没有实

9、数根14.二次函数的应用：二次函数的应用：(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值215.解决实际问题时的基本思路：解决实际问题时的基本思路：(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量；(3)用函数表达式表示出它们之间的关系；(4)利用二次函数的有关性质进行求解；(5)检验结果的合理性，对问题加以拓展等提高训练提高训练一、填空题:1.已知函数 y=(m+2)xm(m+1)是二次函数,则 m=_.2.二次函数 y=-x2-2x

10、 的对称轴是 x=_3.函数 s=2t-t2,当 t=_时有最大值,最大值是_.4.已知抛物线 y=ax2+x+c 与 x 轴交点的横坐标为-1,则 a+c=_.5.抛物线 y=5x-5x2+m 的顶点在 x 轴上,则 m=_.6.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点,那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况是_.7.已知二次函数 y=x2-2x-3 的图象与 x 轴交于 a,b 两点,在 x 轴上方的抛物线上有一点 c,且abc 的面积等于 10,则点 c 的坐标为_.8.把抛物线 y=2(x+1)2向下平移_单位后,所得抛物线在 x 轴上截得的线段长为 5

11、.9.如果二次函数 y=x2-3x-2k,不论 x 取任何实数,都有 y0,则 k 的取值围是_10.函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数)问当 a,b,c 满足什么条件时：(l）它是二次函数；(2）它是一次函数；(3）它是正比例函数；二.选择题:13.抛物线 y=(x-1)2+1 的顶点坐标是()(a)(1,1)(b)(-1,1)(c)(1,-1)(d)(-1,-1)14.抛物线 y=-x2+x+7 与坐标轴的交点个数为()(a)3 个(b)2 个(c)1 个(d)0 个15.把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位,所得图象的解析式是 y=

12、x2-3x+5,则有()(a) b=3,c=7(b) b=-9,c=-15(c) b=3,c=3(d) b=-9,c=2116.若二次函数 y=ax2+c,当 x 取 x1,x2(x1x2)时,函数值相等,则当 x 取 x1+x2时,函数值为(a)a+c(b)a-c(c)-c(d)c17.当 a,b 为实数，二次函数 y=a(x-1)2+b 的最小值为-1 时有()(a)ab(d)ab18.已知函数 y=3x2-6x+k(k 为常数)的图象经过点 a(0.85,y1)，b(1.1,y2),c(2,y3),则有()(a) y1y2y2y3(c)y3y1y2(d)y1y3y219 如果二次函数 y

13、=ax2+bx+c 的顶点在 y=2x2-x-1 的图象的对称轴上，那么一定有()(a)a=2 或-2(b)a=2b(c)a=-2b(d)a=2,b= -1,c=-120抛 物 线y=ax2+bx+c(a0.以 下 结 论(1)a+b0;(2)a+c0;(3)-a+b+c0;(4)b2-2ac5a2其中正确的个数有()(a)1 个(b)2 个(c)3 个(d)4 个三解答题：22已知抛物线 y= x2-2x-8（1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点分别为 a、b，且它的顶点为 p，求abp 的面积。23抛物线 y= ax2+bx+c 经过 a(1,4

14、)、b(-1,0)、c(-2,5)三点（1）求抛物线的解析式并画出这条抛物线；（2）直角坐标系中点的横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点。试结合图象，写出在第四象限抛物线上的所有整点的坐标。24某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程。下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 和 t 之间的关系） 。根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s（万元）与时间 t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到 30 万元；（3）求

15、第 8 个月公司所获利润是多少万元？s(万元)4321-1 1 2 3 4 5 6-1(第 24 题)t（月）25已知抛物线 y= ax2+bx+c 开口向下，并且经过 a（0，1）和 m（2，-3）两点。（1）若抛物线的对称轴为直线 x= -1,求此抛物线的解析式；（2）如果抛物线的对称轴在 y 轴的左侧，试求 a 的取值围；a、4b、 -4c、-2d、 27、零不是（） 。a、非负数b、有理数c、正数d、整数8、下列说法错误的是（） 。a、-0.5 是分数b、0 不是正数也不是负数c、-2.74 是负分数d、非负数就是正数9、下列说确的是（）(a)一个数的平方必是非负数； (b)一个数的平

16、方必大于这个数；(c)一个数的奇次方是负数；(d)一个数的奇次方是正数。三 计算：1-14-(1-0.5)2-(-3)2331(16412)(36)(3)(10)(10)122(20);(4)(3)2(2) (134)112;1.3.1453.14123.14812) (12(100)109 .36 12124231 （10.5） 2（3） 2.、用“” “” “=” 填空：（1）若 ab0c,则a bc_0;(2）若 a0bc,则ab c_03、观察算式：13113 23 913 2333 3613 2333 43100按规律填空：13 23 33 43.103 _ 13 2333 43. n3 _。4、小吃店一周中每天的盈亏情况如下（盈余为正） ：128.3 元，-25.6 元，-15 元，27 元，-7 元，36.5 元，100 元,一周总的盈亏情况如何？测得某小组 10 位同学身高