平面直角坐标系坐标变化

1、1平面直角坐标系中的变换彳- - 必标系屮的对称平而li角坐标系屮的变换坐标系中的平移- 怡标系屮的面枳和规律问题编写思路 : 本讲求而积时主要让学生掌握将点坐标转化为线段长度的过程?让学生亲自动手在坐标系中画出某个点关于横轴、纵轴以及原点的对应点，并且让他们自己总结两个对称点的横 . 纵坐标关系。二：(1)对于点的平移：让学生亲自动手将某个点进行上、下、左、右平移，并且自己总结点的坐标变化规律。对于任意的平移，可以将貝理解先上下平移、后左右平移的组合。( 2)对于图形的平移：让学生充分认识本质就是图形上的每个点都进行同一过程的平移，即对应点之间的平移过程完全一样。从而将图形的平移转化成为点的

2、平移。并让学生体会平移前后的两个图形完全一样。三、简单的数形结合：求三角形而积问题。让学生充分掌握割补法求三角形而积，并理解为何要用割补法。让学生熟练掌握并体会坐标与线段长的讣算关系。四. 找规律问题：老师可带着学生探索常见找规律问题的思路和方法. 点p(-b)关于x轴的对称点是叫，- 巧,即横坐标不变，纵坐标互为相反数. 点p(a,b)关于y轴的对称点是p?,b),即纵坐标不变，横坐标互为相反数. 点p(a.b)关于坐标原点的对称点是p( d),即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数. 2【引例】在平而直角坐标系中，卩(-4 5)关于x轴的对称点的坐标是_ 坐标是 _ , 关于原点的对称点是

3、_ 【例1】(1)点p(3, -5)关于x轴对称的点的坐标为( ) 点-2, 1)关于y轴对称的点的坐标为( ) 在平而直角坐标系中，点p(2, -3)关于原点对称点p的坐标是 _ 点p(2, 3)关于直线x = 3的对称点为 _ , 关于直线y = 5的对称点为 _ 已知点p(“ + l,加-1)关于x轴的对称点在第一彖限，求d的取值范围 . 【例2】如图，在平而直角坐标系中，直线/ 是第一、三象限的角平分线. 实验与探究：(1)由图观察易知a(2, 0)关于直线 / 的对称点/v的坐标为( 0,2),请在图中分别标明3(5,3), c(-2,5)关于直线 / 的对称点x、c的位置，并写岀它

4、们的坐标：b _ ，c _ ；归纳与发现：(2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平而内任一点关于第一、三象限的角平分线 / 的对称点p的坐标为 _ (不必证明 ) ：点a(a , b)在直线 / 的下方，则d, 的大小关系为_ : 若在直线 / 的上方，则 _ ?丁 ? ( 选讲) , 关于y轴的对称点的a. (3, 5) b. (5, 3) c. ( 一3, 5) d? (3, 5) b. (2,1) c. (2, -1) d. (-2, 1) 点p(a ,b)和点q(c, d)的中点是m3(1)点平移：将点(x, y)向右( 或向左 )平移4个单位可得对应点(x + at y)

5、或(x-“, y).将点(x, y)向上( 或向下 )平移个单位可得对应点(x， +/?)或(x, y-h).图形平移： 把一个图形个点的横坐标都加上( 或减去 ) 一个正数d ,相应的新图形就是把原图形向右( 或 向左)平移q个单位 . 如果把图形各个点的纵坐标都加上( 或减去 ) 一个正数d ,相应的新图形就是把原图形向上( 或 向下)平移a个单位 . 注意：平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【弓i例】点m(-3, -5)向上平移7个单位得到点m,的坐标为：再向左平移3个单位得到【例3】(1)平而直角坐标系中，将p(-2,l)向右平移4个单位，向下平移3个单位，得到p _

6、 ,平而直角坐标系中，线段虫妨 是由线段佔经过平移得到的，点a(-1,-4)的对应点为人(1, -1),那么此过程是先向_ 平移 _ 个单位再向 _ 平移 _ 个单位得到的，则点b (1, 1)的对应点 $坐标为 _ . 将点p(m-2, ” + 1)沿求轴负方向平移3个单位，得到pi-rn, 2),则点p坐标是 _ 平而直角坐标系中，线段ab是由线段初经过平移得到的，点a(-2, 1)的对应点为af(3. 4),点b的对应点为b(4,0),则点b的坐标为 ( ) a? (9,3) b. ( 一1，一3) c? (3, 3) d. ( 一3, 1) 【例4】二如下左图，在平面直角坐标系中，右边

7、的图案是由左边的图案经过平移得到的，左边图案中左. 右眼睛的坐标分别是(-4, 2), (-2, 2),右边图案中左眼的坐标是(3, 4),则右边图案中右眼的坐标是 _ . - 如下右图是由若干个边长为1的小正方形组成的网格，请在图中作岀将“蘑菇”abcde绕a 点逆时针旋转奸再向右平移2个单位的图形 ( 其中c、d为所在小正方形边的中点). 二如图，把图1中的04经过平移得到00(如图2),如果图1中04上一点p的坐标为伽皿 ), 那么平移后在图2中的对应点p的坐标为 _ ?大图形的总而积减去周用小三角形的面积. 一般方法有割补法和等积变换法. 找规律的题目一左要先找/7 = 1、2、3几个

8、图形规律，再推广到“的情况. 从简单情形入手，从中发现规律，猜想、推测. 归纳出结论，这是创造性思维的特点. f 二兀一 - i/v1例题精讲a?v图1图2在平面直角坐标系或网格中求而积，一般将难以求解的图形分割成易求解的图形的面积，可以用【引例】如图，直角坐标系中，abc的顶点都在网格点上，英中点a坐k6标为(2,-1),则4bc的而积为 _ 平方单位 . 二如上右图，aabc,将abc向右平移3个单位长度，然后再向上平移2个单位长度，可以得到?画出平移后的人妨6 :写出 ab.c,三个顶点的坐标： ( 在图中标岀 ) 已知点p在x轴上，以b“ p为顶点的三角形面积为4,求p点的坐标 . 【

9、探究1】如图所示 ,4(1,4),b(4,3),(7(5,0),求图形如c的面积 .【例5】直角坐标系中，已知人(-1,0)、5(3, 0)两点，点c在y轴上，abc的而积是4,则点c的坐标是 _ 0如右图，已知直角坐标系中a(-1,4)、b(0,2),平移线段初 , 使点b移到点c(3,0),此时点a记作点d，贝ij四边形abcd的而积是 _ . 【例6】如下左图，在平而直角坐标系中，四边形abcd各顶点的坐标分别为a(0,0), 8(9,0), c(7,5), d(2, 7)?求四边形abcd的而积 . 41j 1_1 t丿r k 厂i厂11-t 4n t klrlir 典题精练l lil

10、i- t -i- +? -1 j_l j7【教师备选】方法三、转化法：平行线，一边转到轴上?va 【探究2】如下图所示，a(-3,5), b(4,3),求图形oab的而积 .【探究4】如图所示，求三角形aob的而积 . 解析：过点a做0b的平行线，交y轴于点c,连接bc由一次函数知识可求出直线ob： y=-xt设直线ac： y=-x+b -2 - 2 求得y=lx+2 ,得c(0,2) 由等积变换可知s厶aob = sbg. x 2x 4=4解析：过点a作bc的平行线交y轴于点d,连接dc利用一次函数求得bc ：y=2x+2 , 设直线ad ：y=2x+b 求得尸2x+7, d(0,7) 由等

11、积变换可知s沁=s沁弓x 1 x 5=|【变式】已知，在平而直角坐标系中，ab两点分别在才轴、y轴的正半轴上，且ob = oa = 3. 直接写出点a、b的坐标：若点c(-2, 2),求boc的面积；点p是与，轴平行的直线上一点，且点p的横坐标为1.若的面积是6,求点p的坐标. 【例7】任平而直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点, 9图中的正方形的四个顶点都在格点上，观察图中每一个正方形四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有_ 个. 如图，在平而直角坐标系中，第1次将mab变换成 oa.b.,第二次将变换成第3次将mab变换成0比尽?已知a(l,

12、 3), 4(2, 3), 4(4, 3), a(8, 3), b(2, 0), $(4, 0) , bj8, 0),耳(16, 0) 观察每次变化前后的三角形，找岀规律，按此变化规律再将oa&3变换成 o儿则点比的坐标是 _ ，点厲的坐标是 _ , 点人的坐标是 _ ，点乞的坐标是 _ ?【例8】一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第lmin内它从原点运动到(1, 0),而后接着按如图所示方式在与x轴、轴平 行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么，在2013min后，求这个粒子所处的位置坐标?【变式】将正整数按如图所示的规律在平而直角坐标系中进行排列，每个正整数对应

13、一个整点坐标(x, y)9且x, y均为整数 . 如数5对应的坐标为 (-1,1)，则数 _ 对应的坐标是(-2,3),数2012对应的坐标是 _ 【拓展】数1950对应的坐标是 _ ?【教师备选】【备选1】类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1 个单位，用实数加法表示为3 + （-2） = 1.若坐标平而上的点作如下平移：沿*轴方向平移的数屋为d （向右为正，向左为负，平移冋个单位），沿y轴方向平移的数量为方（向上为正，向下为负，平移问个单位），则把有序数对“，b叫做这一平移的“平移量”; “平移量” a, b与“平移量” c, d的加法运算法则为“，

14、b + c, d = a+c, b + d.解决问题：（1）计算：3, 1 + 1, 2；（2）动点p从坐标原点o出发，先按照 平移量”3, 1平移到a,再按照 平移量”1, 2 平移到若先把动点p按照“平移量” 1, 2平移到c,再按照“平移量” 3, 1平 移，最后的位置还是点b吗？在图1中画出四边形oabc.（3）如图2, 一艘船从码头o出发，先航行到湖心岛码头p（2,3）,再从码头p航行到码头0（5, 5）,最后回到出发点o,请用“平移量”加法算式表示它的航行过程. 37363534 333231302971615 14131211181961 22()78 ,1027212223 2

15、42526图111【备选2】观察下列有规律的点的坐标：儿(1, 1), 4(2, -4), 4(3, 4),人(4, 一2), 人(5, 7),肩6, - 寸，4(7, 10), 4(8, 1) 依此规律，人 | 的坐标为 _ ，州2的坐标为 _ 【备选3】一个动点p在平而直角坐标系中作折线运动，第一次从原点运动到( b 1)然后按图中箭头所示方向运动，每次移动三角形的一边长?即(1, 1) -* (2, 0) - (3, 2) - (4, 0)-( 5, 1). , 按这样的运动规律，经过第17次运动后，动点p的坐标是 _ , 经过第2011次运动后，动点p的坐标是 _ . 【备选4】如图，

16、在长方形网格中，每个小长方形的长为2,宽为1, b 两点在网格格点上，若点c也在网格格点上，以a、3、c为顶 点的三角形面积为2,则满足条件的点c个数是 ( ) a. 5 b. 4 bad? 2 【备选5】在平而直角坐标系中，已知八(2? -2),任y轴上确左点p.使 8 为等腰三角形，则符合条件的点p共有 ( ) a. 2个b. 3个c. 4个d. 5个12题型一坐标系中的对称巩固练习【练习1】在平面直角坐标系中，点a(2,5)与点b关于y轴对称，则点b的坐标是 ( ) a. (5,2) b. ( 一2, 5) c. (一2,5) d. (2, 5)已知点p(x, y), n), 如果x +

17、加=0, y + = 0 ,那么点p, q ( )a?关于原点对称b.关于x轴对称c?关于y轴对称d?关于过点(0,0), (1,1)的直线对称已知：lx-ll+(.y + 2=0,则(x, y)关于原点对称的点为_ . 已知点p( + 3b,3)与点0(-5, “ + 2b)关于x轴对称，贝比 = _ , b = _ .题型二坐标系中的平移巩固练习【练习2】线段cd是由线段初平移得到的，点a(-l, 5)的对应点是c(4, 2),则点b(4, -1)的对应点d的坐标为 _ ?在平面直角坐标系中有一个已知点a ,现在x轴向下平移3个单位，y轴向左平移2个单位，单位长度不变，得到新的坐标系，在新的坐标系下点a的坐标为(-1，2),在旧的坐标系下，点a的坐标为 _ ?【练习3】如图，在平而直角坐标系中，若每一个方格的边长代表一个单位. 线段dc是线段经过怎样的平移得到的？若