文科一轮学学案4.7．正弦定理余弦定理

1、学案4.7正弦定理、余弦定理自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1.正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2 ；b2 ；c2 变形(1)a2Rsin A，b ，c ；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abc ；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐

2、角A为钝角或直角图形关系式absin Absin A<a<baba>b解的个数一解两解一解一解【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( )(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.( )(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2c2a2>0时，三角形ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，三角形为直角三角形；当b2c2a2<0时，三角形为钝角三角形.()(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 利

3、用正弦定理、余弦定理解三角形例1(1)在ABC中，已知a2，b，A45°，则满足条件的三角形有()A.1个 B.2个C.0个 D.无法确定(2)在ABC中，已知sin Asin B1，c2b2bc，则三内角A，B，C的度数依次是 . 变式训练：(1)已知在ABC中，ax，b2，B45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A.x2 B.x2C.2x2 D.2x2(2)在ABC中，A60°，AC2，BC，则AB等于 . 考点二 和三角形面积有关的问题例2(2015·浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求ta

4、n C的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值. 变式训练：已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，absin Aacos B.(1)求角B；(2)若b2，ABC的面积为，求a，c. 考点三：正弦、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例3(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cos A，则ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形(2)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形命题点2几何计算问题的求解例4(2

5、015·课标全国)如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长. 变式训练(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形(2)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为 .当堂达标1.在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A120°，a2，b，则B等于()A. B.C.或 D.2.在ABC中

6、，A60°，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B.C.2 D.23.(2015·北京)在ABC中，a4，b5，c6，则 .4.(教材改编)ABC中，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为 .5.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos Cbsin Cac0，则角B .巩固提高案 日积月累 提高自我1.在ABC中，若a4，b3，cos A，则B等于()A. B.C. D.2.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若bc2a,3sin A5sin B，则角C等于()A. B. C. D.3.若ABC的三个内角满足

7、sin Asin Bsin C51113，则ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A.3 B.C. D.35.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B等于()A. B.C. D.6.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为 .7.(2015·天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a

8、的值为 .8.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为 .9.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A，求ABC的面积.10.(2015·山东)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B，sin(AB)，ac2， 求sin A和c的值.学案4.7正弦定理、余弦定理自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】1.正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，

9、B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3.在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

10、A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin A<a<baba>b解的个数一解两解一解一解【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(×)(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(×)(4)当b2c2a2>0时，三角形ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，三角形为直角三角形；当b2c2a2<0时，三角形为钝角三角形.(×)(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.()考

11、点探究案 典例剖析 考点突破考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(1)在ABC中，已知a2，b，A45°，则满足条件的三角形有()A.1个 B.2个C.0个 D.无法确定(2)在ABC中，已知sin Asin B1，c2b2bc，则三内角A，B，C的度数依次是 .(3)(2015·广东)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b .答案(1)B(2)45°，30°，105°(3)1解析(1)bsin A×，bsin A<a<b.满足条件的三角形有2个.(2)由题意知ab，a2b2c22

12、bccos A，即2b2b2c22bccos A，又c2b2bc，cos A，A45°，sin B，B30°，C105°.(3)因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，BC<，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1. 变式训练：(1)已知在ABC中，ax，b2，B45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A.x2 B.x2C.2x2 D.2x2(2)在ABC中，A60°，AC2，BC，则AB等于 .答案(1)C(2)1解析(1)若三角形有两解，则必有ab，x2，又由sin Asin B×1，可得x2，x的取值范

13、围是2x2.(2)A60°，AC2，BC，设ABx，由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·ABcos A，化简得x22x10，x1，即AB1. 考点二 和三角形面积有关的问题例2(2015·浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值.解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bcos 2cossin 2C2sin Ccos C，由解得tan C2.(2)由tan C2，C(0，)得sin C，cos

14、 C，因为sin Bsin(AC)sin，所以sin B，由正弦定理得cb，又因为A，bcsin A3，所以bc6，故b3. 变式训练：已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，absin Aacos B.(1)求角B；(2)若b2，ABC的面积为，求a，c.解(1)由absin Aacos B及正弦定理，得sin Asin B·sin Asin A·cos B，0<A<，sin A>0，sin Bcos B1，即sin.又0<B<，<B<，B.(2)Sacsin B，ac4，又b2a2c22accos B，即a2c28.

15、由联立解得ac2. 考点三：正弦、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例3(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<cos A，则ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形(2)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案(1)A(2)B解析(1)已知<cos A，由正弦定理，得<cos A，即sin C<sin Bcos A，所以sin(AB)<sin Bcos A，即sin Bcos Acos B

16、sin Asin Bcos A<0，所以cos Bsin A<0.又sin A>0，于是有cos B<0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形.(2)cos2，cos2，(1cos B)·cac，acos B·c，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形.命题点2几何计算问题的求解例4(2015·课标全国)如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长.解(1)SABDAB·ADsinBAD，SADCAC·ADsinCAD.因为SA

17、BD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22AD·BDcosADB，AC2AD2DC22AD·DCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1. 变式训练(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形(2)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，

18、AD3，则BD的长为 .答案(1)D(2)解析(1)cacos B(2ab)cos A，C(AB)，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos Acos A(sin Bsin A)0，cos A0或sin Bsin A，A或BA或BA(舍去)，ABC为等腰或直角三角形.(2)sinBACsin(BAD)cosBAD，cosBAD.BD2AB2AD22AB·ADcosBAD(3)2322×3×3×，即BD23，BD.

19、当堂达标1.在ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A120°，a2，b，则B等于()A. B.C.或 D.答案D解析A120°，a2，b，由正弦定理可得，sin Bsin A×.A120°，B30°，即B.2.在ABC中，A60°，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B.C.2 D.2答案B解析因为S×AB×ACsin A×2×AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22AB·ACcos 60°3，所以BC.3.(2015·北京)在ABC中，

20、a4，b5，c6，则 .答案1解析由余弦定理：cos A，sin A，cos C，sin C，1.4.(教材改编)ABC中，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为 .答案直角三角形解析由已知得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，sin(BC)sin2A，sin Asin2A，又sin A0，sin A1，A，ABC为直角三角形.5.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos Cbsin Cac0，则角B .答案解析由正弦定理知，sin Bcos Csin Bsin Csin Asin C0.sin Asin(BC)sin Bcos Ccos

21、Bsin C，代入上式得sin Bsin Ccos Bsin Csin C0.sin C0，sin Bcos B10，2sin1，即sin.B(0，)，B.巩固提高案 日积月累 提高自我1.在ABC中，若a4，b3，cos A，则B等于()A. B.C. D.答案A解析因为cos A，所以sin A ，由正弦定理，得，所以sin B，又因为ba，所以B，B，故选A.2.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若bc2a,3sin A5sin B，则角C等于()A. B. C. D.答案A解析因为3sin A5sin B，所以由正弦定理可得3a5b.因为bc2a，所以c2aaa.令a

22、5，b3，c7，则由余弦定理c2a2b22abcos C，得492592×3×5cos C，解得cos C，所以C.3.若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC()A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案C解析由正弦定理2R(R为ABC外接圆半径)及已知条件sin Asin Bsin C51113，可设a5x，b11x，c13x(x0).则cos C0，C为钝角.ABC为钝角三角形.4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是(

23、)A.3 B.C. D.3答案C解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C×6×.5.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B等于()A. B.C. D.答案C解析根据正弦定理2R，得，即a2c2b2ac，得cos B，故B，故选C.6.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为 .答案或解析由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos B·tan B，sin B，B或.7.(2015·天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为 .答案8解析cos A，0A，sin A，SABCbcsin Abc×3，b