人教版八年级数学上《三角形全等的判定》拓展练习

1、三角形全等的判定拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1. . （5分）如图，在四边形 ABCD中，AC平分/ BAD, AD = AC,在 AC上截取 AE=AB, 连接DE、BE,并延长 BE交CD于点F,以下结论： BACEAD;ZABE+Z ADE = /BCD;BC+CF = DE + EF;其中正确的有（）个.第3页（共20页）C. 2D. 32. （5分）在4ABC中，高AD和BE所在的直线交于点 H,且BH=AC,则/ ABC等于（）B . 120°C. 45° 或 135D. 45° 或 120°3. （5分）如图，正方形

2、ABCD的边长为6, E、F分别是BC、CD的中点，连接 BF、DE,则图中阴影部分的面积是（）A _B C. 26D. 304.（5分）如图，AD是4ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（A . AD+BC= AB+CDB. AB+AC= DB + DCC. AD+BC< AB+CDD. AB+AC< DB + DC5. （5分）对于任意 ABC （见示意图）.若AD是 ABC的边BC上的中线，/ADB、/ ADC的角平分线分别交 AB、AC于点E、F,连接EF,那么EF、BE、CF之间的数量关系正确的是（）A. BE+CF>EF B. BE+CF>EF C. B

3、E+CFvEF D. BE+CF = EF二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6. （5分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1, 0）,点B的坐标为（1, 4）, C的坐标为（-2, 6）,如果存在点D,使得 ABD与 ABC全等，那么点 D的坐标.（写出所有可能的情况）J'A7. （5分）若满足/ AOB = 30° , OA=4, AB= k的 AOB的形状与大小是唯一的，则 k的 取值范围是.8. （5分）如图，在RtABC中，/ACB=90° ,EF，AB于点D,交BC的延长线于点 E.若9. （5分）如图，已知四边形 ABCD中，AB=10厘

4、米，BC = 8厘米，CD = 12厘米，/ B = /C,点E为AB的中点.如果点 P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动， 同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动.当点 Q的运动速度为 时，能够使 BPE与 CQP全等.10. （5分）如图，在 PAB中，PA=PB, M、N、K分别是PA、PB、AB上的点，且 AM = 第2页（共20页）BK, BN = AK.若/ MKN = 50° ,则/ P 的度数为 解答题（本大题共5小题，共50.0分）11（10分）如图，在 ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接 DE并延长至点F,使得EF=ED,连CF.（1）求证：

5、CF / ABAC平分/ BCF,求/ A的度数.(2)若/ ABC =50° ,连接 BE, BE 平分 / ABC,12AB=CD,若/ 1 = 7 2, EC=FB.求13（10分）如图，点 A, B, C, D在一条直线上，且小明遇到这样一个问题：如图1,在四边形ABCD中，E是BC的中点，AE是/ BAD的平分线，AB/DC,求证：AD = AB+DC.小明发现以下两种方法: 方法1:如图2,延长AE、DC交于点F;方法2:如图3,在AD上取一点 G使AG = AB,连接EG、CG.（1）根据阅读材料，任选一种方法，证明：AD = AB+DC;用学过的知识或参考小明的方法，

6、解决下面的问题：（2）如图4,在四边形 ABCD中，AE是/ BAD的平分线，E是BC的中点，/BAD =60° ,/ABC = 180° /BCD,求证：CD = CE.214BD,(10分)如图，在 ABC中，AD± BC,垂足为 D, AD=CD,点E在AD上，DEM、N分别是AB、CE的中点.(1)求证： ADBA CDE;(2)求/ MDN的度数.关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.第5页（共20页）15F,(10分)如图所示，在 ABC中，ADLBC于D, CELAB于E, AD与CE 且 AD = CD .(1)求证： ABDA CF

7、D;(2)已知 BC=7, AD=5,求 AF 的长.三角形全等的判定拓展练习参考答案与试题解析、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1. （5分）如图，在四边形 ABCD中，AC平分/ BAD, AD = AC,在 AC上截取 AE=AB, 连接DE、BE,并延长 BE交CD于点F,以下结论： BACEAD;ZABE+ZADE = /BCD;BC+CF = DE + EF;其中正确的有()个.C. 2D. 3【分析】 只要证明 BACA EAD, /ABE=/ACD, FE=FC即可解决问题.【解答】 解：AB = AE, AC=AD, /BAC = /EAD,BACA EAD (SAS)

8、,故 正确, ./ ACB=Z ADE, BC= DE, . AB=AE, AC = AD, ./ABE=/AEB, /ACD = /ADC, .Z BAE+2Z ABE= 180° , / CAD+2/ ACD = 180° , . / BAE=Z CAD , ./ ABE=Z ACD , ./ ABE+Z ADE = Z ACD + Z ACB=Z BCD,故正确, . / CEF=/ AEB, /ABE=/AEB, /ABE = /ACD, ./ FEC=Z ECF,EF=CF,BC+CF = DE + EF,故 正确, 故选：D.【点评】本题考查全等三角形的判定和性

9、质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的2. （5分）在4ABC中，高AD和BE所在的直线交于点 H,且BH=AC,则/ ABC等于（）A. 45°B, 120°C. 45° 或 135° D, 45° 或 120°【分析】 根据题意画出两个图形，证HBDCAD,推出 AD = DB,推出/ DAB = /DBA,根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求出/ABD,即可求出答案.【解答】解：分为两种情况：. AD、BE 是 ABC 的高，/ADC = / BDH = 90° , / BEC = 90° ,. C+/

10、CAD=90° , /C+/HBD=90° , ./ CAD = Z HBD,在 HBD和ACAD中f ZHBD=ZCAD ZBDH=ZADO505 ,BH=ACHBDA CAD (AAS),BD= AD, . / ADB = 90° ,AD± BC, BEX AC, .Z ADC = Z HDB = Z AEH = 90° ,.Z H+Z HAE=Z C+Z HAE = 90° , 在 HBD 和ACAD 中， fZHDB=ZAEC ZH=ZC ,BH二 ACHBDA CAD (AAS),AD= BD, ./ DAB = Z DBA

11、, . / ADB = 90° , ./ ABD = 45 ./ ABC= 180° - 45° = 135故选：C.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂直定义, 三角形的内角和定理等知识点的应用，用了分类讨论思想.3. （5分）如图，正方形 ABCD的边长为6, E、F分别是BC、CD的中点，连接 BF、DE,则图中阴影部分的面积是（）.4SA. 28B. 24C. 26D. 30【分析】连接BD,可看出阴影部分的面积等于 方正方形的面积+一个三角形的面积，用 相似求出三角形的面积，阴影部分的面积可证.【解答】解：连接BD, EF

12、.设DE交BF于G.阴影部分的面积= ABD的面积+4BDG的面积 （G为BF与DE的交点），ABD的面积=L正方形ABCD的面积=X 36= 18,22 BCD中EF为中位线,第17页（共20页）EF / BD, EF =GEFA GBD, .DG=2GE, . BDE的面积=.La BCD的面积. . BDG 的面积=_ABDE 的面积=.LaBCD 的面积=JLx 18 = 6.333阴影部分的面积=18+6=24.故选：B.【点评】本题考查正方形的性质，正方形的四个边长相等，关键是连接 分成两部分计算.4. （5分）如图，AD是4ABC的外角平分线，下列一定结论正确的是（BD,把阴影部

13、分A . AD+BC= AB+CDB. AB+AC= DB + DCC. AD+BC< AB+CDD. AB+AC< DB + DC【分析】在AP上截取AF = AC.首先证明 DAFDAC （SAS）,再根据三角形的三边关系即可解决问题；【解答】解：在AP上截取AF = AC.,. AF = AC, /DAF = /DAC, AD = AD, . DAFA DAC (SAS),DF = DC ,BD+DF >BFBD+DOAB+AC.故选：D.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构 造全等三角形解决问题.5. （5分）对于任意 ABC

14、（见示意图）.若AD是4ABC的边BC上的中线，/ADB、/ ADC的角平分线分别交 AB、AC于点E、F,连接EF,那么EF、BE、CF之间的数量关系正确的是（）3 D CA . BE+CF>EF B. BE+CF>EF C. BE+CFvEFD. BE+CF = EF【分析】延长ED至ij H,使DE = DH ,连接CH , FH,证 EFDA HFD ,推出EF= FH , 证 BDEA CDH ,推出 BE=CH,在 CFH中，由三角形三边关系定理得出 CF + CH >FH,代入求出即可.延长ED至U H,使DE = DH,连接 CH , FH ,AD是4ABC的

15、中线,BD= DC, DE、 DF分另1J为/ ADB和/ ADC的平分线，1 = / 4 = Z ADB, Z 3=Z 5=ZADC, 22.Z 1 + Z3=Z 4+Z5=Z ADB+ZADC=X180° =90° ,2222 = / 2,.3+7 2=90° ,即/ EDF = Z FDH在 EFD和 HFD中，产DHZFDE=ZFDH, df=dfEFDA HFD (SAS),EF= FH ,在 BDE和 CDH中，'DE 二 DH，Z1=Z2,lbd=dcBDEA CDH (SAS),BE=CH ,在4CFH中，由三角形三边关系定理得：CF +

16、CH>FH,. CH = BE, FH = EF,BE+CF> EF.故选：A.【点评】 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，题目比 较好，但是有一定的难度.、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6. （5分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1, 0）,点B的坐标为（1, 4）, C的坐标为（-2, 6）,如果存在点D,使得 ABD与4ABC全等，那么点D的坐标 （4,与点D关于直线AB、AB的中点或AB的垂直平分线对称，再根据点C的坐标就可以求出 D的坐标.【解答】解：二点A的坐标为（1, 0）,点B的坐标为（1, 4）, C的坐标为（-2,

17、6）,，当点D与点C关于AB对称时， ABD与4ABC全等，此时 D （4, 6）;当点D与点C关于AB的垂直平分线对称时， ABD与 ABC全等，此时D （ - 2, - 2）;当点D与点C关于AB的中点对称时， ABD与4ABC全等，此时 D （4, - 2）;故答案为：（4, 6）; （-2, - 2）; （4, - 2）.【点评】 本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形的性质的运用，轴对称的性质的运用，解题时注意分类思想的运用.7. （5分）若满足/ AOB = 30° , OA=4, AB= k的 AOB的形状与大小是唯一的，则 k的 取值范围是 k= 2或Q4 .【分析】

18、 分两种情况讨论，依据/ AOB=30° , OA=4,人3=女的4人03的形状与大小 是唯一的，即可得到 k的取值范围.【解答】解：如图所示，以点 A为圆心，2为半径画弧，弧线与射线 OB有唯一交点B, 即4AOB的形状与大小是唯一的；以A为圆心，大于等于 4为半径画弧，弧线与射线 OB （不含端点）有唯一交点 B',即4 AOB'的形状与大小是唯一的；0综上所述，k的取值范围是k=2或k>4.故答案为：k= 2或k>4.【点评】 本题主要考查了全等三角形的判定，需要通过三角形的角与边的关系来判断， 考虑最特殊的两种情况，即直角三角形以及等腰三角形.8.

19、 （5分）如图，在RtABC中，/ACB=90° ,EF，AB于点D,交BC的延长线于点 E.若 AB=EF 且 BE=16, CF =6,贝U AC=10 .A产C2【分析】利用AAS证明ACB0ECF,推出BC=CF = 6, AC=EC,求出EC即可解决 问题；【解答】 解：.一/ ACB=90° , EFAB于点D,ECF=/ ACB = /ADF = 90° ,，/A+/B=90° , /E+/B=90° ,/ A= / E,在 ACB和 ECF中，fZA=ZE/ACB=/ECF,Iab=efACBA ECF (AAS), .AC=E

20、C, BC=CF=6, BE= 16,AC= EC=BE- BC= 16- 6=10,故答案为10.【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等 的条件，属于中考常考题型.9. （5分）如图，已知四边形 ABCD中，AB=10厘米，BC = 8厘米，CD = 12厘米，/ B = /C,点E为AB的中点.如果点 P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动， 同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动.当点 Q的运动速度为 3厘米/秒或厘米/秒 时,能够使 BPE与 CQP全等.卫【分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度.【解答

21、】解：设点P运动的时间为t秒，则BP=3t, CP=8- 3t,. / B=Z C, 当 BE=CP = 5, BP=CQ 时， BPE 与 CQP 全等，此时，5=8- 3t,解得t= 1,BP=CQ = 3,此时，点Q的运动速度为3+1=3厘米/秒；当 BE=CQ = 5, BP=CP 时， BPE 与 CQP 全等,此时，3t=8-3t,解得t = 1_,，点Q的运动速度为5 +厘米/秒;3 43厘米/秒或厘米/秒.故答案为:【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角 形的对应边相等.10. （5分）如图，在 PAB中，RA=PB, M、N、K分别是PA

22、、PB、AB上的点，且 AM = BK, BN = AK.若/ MKN = 50° ,则/ P 的度数为 80°.且KB【分析】 由 MAKA KBN,推出 / AMK = / BKN,由 / BKM = / A+/ AMK = / MKN + /BKN,推出/ A=Z MKN = 50° ,推出/ A=/B=50° ,由此即可解决问题.【解答】解：= PA=PB, ./ A=Z B,在 MAK和 KBN中，'AM 二 BK，ZA=ZB,二 BNMAKA KBN （SAS）, ./ AMK = Z BKN , . / BKM =Z A+Z AMK

23、 = Z MKN+ / BKN , ./ A=Z MKN =50.Z A=Z B=50° ,P= 180° 2X 50° = 80°故答案为80【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （10分）如图，在 ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接 DE并延长至点F, 使得EF=ED,连CF.（1）求证：CF / AB（2）若/ ABC =50° ,连接 BE, BE平分/ ABC, AC平分/

24、 BCF,求/ A的度数.【分析】（1）求出， AEDACEF,根据全等得出/ A=/ACF,根据平行线的判定得出即可；（2）求出/ A=/ACB,根据三角形内角和定理求出即可.【解答】(1)证明：二.在 AED和4CEF中irAE=CE ZAED=ZCEFlde=feAEDA CEF (SAS), ./ A=Z ACF,CF / AB;(2)解：AC 平分/ BCF, ./ ACB=Z ACF, . / A=Z ACFA=Z ACB, /A+/ABC+/ACB= 180° , /ABC=50° , -2ZA= 130° , ./ A=65° .【点评】

25、本题考查了全等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形内角和定 理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.12. (10分)如图，点 A, B, C, D在一条直线上，且 AB=CD,若/ 1 = 7 2, EC=FB.求证：/ E = Z F.【分析】 求出/ DBF = Z ACE , AC=DB,根据SAS推出 ACEA DBF ,根据全等三角形的性质得出即可.【解答】 证明：/ 1 + ZDBF = 180° , /2+/ACE = 180 ./ DBF = Z ACE, .AB=CD,AB+BC= CD + BC,即 AC= DB,在 ACE和 DBF中，ir

26、EC=F& ZACE=ZDBFlac=dbACEA DBF (SAS),Z E= / F.【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出 ACEA DBF是解此题的关键.13. （10分）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1,在四边形 ABCD中，E是BC的中点，AE是/ BAD的平分线，AB/DC,求证：AD = AB+DC.小明发现以下两种方法：方法1:如图2,延长AE、DC交于点F;方法2:如图3,在AD上取一点 G使AG = AB,连接EG、CG.(1)根据阅读材料，任选一种方法，证明：AD = AB+DC;用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：(2)如图4,在

27、四边形 ABCD中，AE是/ BAD的平分线，E是BC的中点，/BAD =60° ,/ABC = 180° 二/BCD,求证：CD = CE.2(图1)僵2)(图力(图4)【分析】(1)方法1:如图2,延长 AE、DC交于点F,证明 ABEA FCE (ASA)即 可解决问题方法2:如图3,在AD上取一点 G使AG=AB,连接EG、CG.想办法证明 DC=DG即 可解决问题；(2)如图4中，作CM / AB交AE的延长线于 M, CM交AD于N,连接EN.只要证明 CNEA CND (ASA)即可解决问题；【解答】解：(1)方法1:如图2,延长AE、DC交于点F; AB/

28、DF , ./ B=Z ECF, BE= EC, / BEA=Z CEF ,ABEAFCE (ASA),AB=CF, EA 平分/ BAD, ./ BAE=Z DAF = / FAD= DFAD= CD+AB.方法2:如图3,在AD上取一点 G使AG = AB,连接EG、CG.,. AB=AG, /BAE=/GAE, AE=AE,BAEAGAE (SAS),，BE=EG=EC, /AEB = /AEG,EGC=Z ECG, . / BEG=Z EGC+Z ECG, ./ BEA=Z ECG ,AE/ CG, ./ EAG=Z CGD,1. AB/ CD, AE / CG, ./ BAE=Z D

29、CG ,/ DCG = / DGC ,.CD = DG, .AD= AB+CD.(2)证明：如图4中，作CM /AB交AE的延长线于 M , CM交AD于N ,连接EN .由(1)可知：AN = NM, AE=EM,EN 平分/ ANM , . / BAD = 60° , MN / AB,第#页(共20页)MND =Z BAD = 60° , ./ ENM = Z ENA =60° , ./ CND = Z ONE,B+/ECN = 180° , /ABC=180° 5/BCD, ./ NCE=/ NCD, CN = CN ,CNEA CND (ASA),.CE= CD.【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.14. （10 分）如图，在 ABC 中，AD± BC,垂足为 D, AD=CD,点 E 在 AD 上，DE= BD,M、N分别是AB、CE的中点.（1）求证： ADBA CDE;（2）求/ MDN的度数.【