电路第七章(1)

1、第七章第七章 一阶电路和二阶一阶电路和二阶电路的时域分析电路的时域分析2. 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解；全响应求解；（7-2 7-4 ）l 重点重点 3. 3. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。一阶电路的阶跃响应和冲激响应。 （7-7， 7-8 ）1.1.动态电路方程的建立及初始条件的确定；动态电路方程的建立及初始条件的确定； （7-1）(1)含有动态元件（电容和电感）的电路称含有动态元件（电容和电感）的电路称动态电路动态电路。特点：特点：1. 动态电路动态电路 7.1 7.1 动态电路的方程及其初始条件动态电路的方程及其初始条件 当动

2、态电路状态发生改变时（换路）需要经当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的化过程称为电路的过渡过程过渡过程。例例+-Us R1R2（t=0）i0ti2/ RUiS )(21RRUiS 过渡期为零过渡期为零电阻电路电阻电路S动作前动作前，电路处于稳定状态，电路处于稳定状态i = 0 , uC = 0i = 0 , uC= UsS+uCUsRCi (t = 0)S接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电容充电，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态完毕，电路达到新的稳定状态+uCUsRCi (t )前一个

3、稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新的稳定状态t1USuct0?有一过渡期有一过渡期电容电路电容电路S动作前动作前，电路处于稳定状态，电路处于稳定状态i = 0 , uL = 0uL= 0, i=Us /RS接通电源后很长时间接通电源后很长时间，电路达到，电路达到新的稳定状态，电感视为短路新的稳定状态，电感视为短路前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新的稳定状态t1US/Rit0?有一过渡期有一过渡期S+uLUsRLi (t = 0)+uLUsRLi (t )电感电路电感电路过渡过程产生的原因过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件电路内部含有储能元件 L

4、、C，电路在换路时能量发生电路在换路时能量发生变化，而变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。twp 电路结构、参数发生变化电路结构、参数发生变化换路换路支路接入或断开支路接入或断开电路参数变化电路参数变化)(tuutdduRCScc )(tuuRiSc 应用应用KVL和电容的和电容的VCR得：得：tdduCic +uCus（t） RCi (t 0)2. 动态电路的方程动态电路的方程一阶线性常一阶线性常微分方程微分方程S+uCUsRCi (t = 0)分析分析t 0 电路的方程电路的方程.当当 t 0 ：+uLus（t）RLi (t 0)(tuu

5、RiSL )(tutddiLRiS 应用应用KVL和电感的和电感的VCR得：得：tddiLuL S+uLUsRLi (t = 0)分析分析t 0 电路的方程电路的方程.当当 t 0 ：一阶线性常一阶线性常微分方程微分方程有源有源电阻电阻电路电路一个一个动态动态元件元件+uCus（t） RCi (t 0)当当 t 0 ：+uLus（t）RLi (t 0)当电路只有一个动态元件时当电路只有一个动态元件时：一阶电路一阶电路一阶电路中只有一个动态元件一阶电路中只有一个动态元件,描述描述电路的方程是一阶线性微分方程。电路的方程是一阶线性微分方程。0)(01 ttexadtdxa戴维宁等戴维宁等效变换效变

6、换+uLuS（t）RLi (t 0)CuC)(22tuutdduRCdtudLCSccc )(tuuuRiScL 二阶电路二阶电路tdduCic tddiLuL ( )ccSdudiRCLuu tdtdt二阶线性常二阶线性常微分方程微分方程0)(01222 ttexadtdxadtxda二阶电路二阶电路二阶电路中有二个动态元件二阶电路中有二个动态元件,描述电描述电路的方程是二阶线性微分方程。路的方程是二阶线性微分方程。动态电路与纯电阻电路的区别：动态电路与纯电阻电路的区别：（2 2）前者的电路方程为）前者的电路方程为微分方程微分方程（动态电路方程的阶动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数数

7、等于电路中动态元件的个数），后者为代数方程），后者为代数方程. .（1）前者响应的建立往往需要一个过程）前者响应的建立往往需要一个过程;高阶电路高阶电路电路中有电路中有n个动态元件，描述电路的个动态元件，描述电路的方程是方程是n阶微分方程。阶微分方程。 动态电路的分析方法动态电路的分析方法（1）根据根据KVl、KCL和和VCR建立微分方程；建立微分方程； （2 2）求解微分方程）求解微分方程. .经典法经典法 工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。复频域分析法复频域分析法时域分析法时域分析法经典法经典法拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法本章本章采用采用1

8、4章采章采用用 (1) t = 0+与与t = 0的概念的概念认为换路在认为换路在 t=0时刻进行时刻进行0 换路前一瞬间换路前一瞬间 0 换路后一瞬间换路后一瞬间3. 3. 电路的初始条件电路的初始条件00(0 )lim( )ttff t00(0 )lim( )ttff t初始条件初始条件： t = 0时时u ，i 及其各阶导数的值及其各阶导数的值000tf(t)(0 )(0 )ff(0 )(0 )ff独立的初始条件：独立的初始条件： uC (0+) 、 iL(0) d)(1)( tCiCtu d)(1d)(100 tiCiC d)(1)0(0 tCiCut = 0+时刻时刻 d)(1)0(

9、)0(00 iCuuCC当当i( )为有限值时为有限值时iucC+-q (0+) = q (0)uC (0+) = uC (0)换路瞬间，若电容电流为有限值，换路瞬间，若电容电流为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。 (2) (2) 电容的初始条件电容的初始条件0q =C uC电荷电荷守恒守恒结结论论 d)(1)(tLuLti d) )(1d)(100 tuLuL duLiiLL)(1)0()0(00 当当u为有限值时为有限值时 L (0)= L (0)iL(0)= iL(0)iuL+-L (3) (3) 电感的初始条件电感的初始条件t = 0+时

10、刻时刻0 duLitL)(1)0(0 LLi 磁链磁链守恒守恒换路瞬间，若电感电压为有限值，换路瞬间，若电感电压为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。结结论论 L (0+)= L (0)iL(0+)= iL(0)qc (0+) = qc (0)uC (0+) = uC (0)4.4.换路定则换路定则（1 1）电容电流和电感电压为有限值是换路定则成立的条件。）电容电流和电感电压为有限值是换路定则成立的条件。注意注意: 换路瞬间，若电感电压为有限值，换路瞬间，若电感电压为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。则电感电流（磁链）换路前后保持不变。

11、 换路瞬间，若电容电流为有限值，换路瞬间，若电容电流为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。则电容电压（电荷）换路前后保持不变。（2 2）换路定则反映了能量不能跃变。）换路定则反映了能量不能跃变。5.5.电路初始值的确定电路初始值的确定(2) 由换路定则由换路定则 uC (0+) = uC (0)=8V+-10ViiC+8V-10k0+等效电路等效电路mA2 . 010810)0( Ci(1) 由由0电路电路求求 uC(0)或或iL(0)+-10V+uC-10k40kuC(0)=8V(3) 由由0+等效电路等效电路求求 iC(0+)iC(0 _)=0 iC(0+)例例1求求 iC(0+

12、)+-10ViiC+uC-S10k40k电电容容开开路路电容用电容用电电压源压源替代替代0)0( 0)0( LLuu iL(0+)= iL(0) =2AVuL842)0( 例例 2t = 0时闭合开关时闭合开关S , S , 求求 uL(0+)iL+uL-L10VS1 4 +uL-10V1 4 （3）0+电路电路2A（1）先求）先求AiL24110)0( （2）由换路定则）由换路定则:电感用电感用电电流源流源替代替代)0( Li10V1 4 解解电电感感短短路路求初始条件的步骤求初始条件的步骤:1.1.由换路前由换路前t=0-t=0-电路电路求求 uC(0)和和iL(0)；2. 2. 由由换路

13、定则换路定则确定独立初始条件确定独立初始条件uC(0+) 和和 iL(0+)；3. 3. 由换路后由换路后t=0+t=0+电路电路求其他非独立初始条件。求其他非独立初始条件。（2 2） 由由0+电路求得其他非独立初始条件。电路求得其他非独立初始条件。电容（电感）用电压源（电流源）替代。电容（电感）用电压源（电流源）替代。（1 1） 画画0+等效电路；等效电路；例：例：P139 例例7-1 7.2 7.2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应换路后外加激励为零，仅由动态元件换路后外加激励为零，仅由动态元件初初始储能始储能引起的响应（电压和电流）。引起的响应（电压和电流）。1. 1. RC电路

14、的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC (0)=U00d0d(0)(0)CCCCuRCutuuU0:0RCtuu零输入响应零输入响应iS(t=0)+uRC+uCR分析：分析： uC 和和 i （t 0）.当当tuCiCdd uR= RiRCp1 特征根特征根由由特征方程特征方程RCp+1=0( )A(0 )ptCutet 则则iS(t=0)+uRC+uCR0d0d(0)(0)CCCCuRCutuuU由初始值由初始值 uC (0+)=uC(0)=U0A=U0积分常数积分常数 0( )(0 )(0 )tRCctRCCu tU euet 0( )(0 )(0 )tRCctRCCu tU euet

15、 tU0uC0连续连续函数函数000( )ttCRCRCuUi teI etRR00d ( )d1()CttRCRCui tCtUCU eeRCR 或I0ti0跃变跃变iS(t=0)+uRC+uCR令令 =RC （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；结论：结论： （2 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与RC有关；有关；时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短U0tuc0

16、 小小 大大 00( )tRCcu tU et0( )0tRCUi tetR单位：单位：S（秒）（秒）iS(t=0)+uRC+uCR称称 为一阶电路的时间常数为一阶电路的时间常数当电阻单位为当电阻单位为，电容单位为，电容单位为F工程上认为工程上认为, , 经过经过 3 5 , , 过渡过程结束。过渡过程结束。U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 t0 2 3 5 tceUu 0 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 （3 3）能量关系）能量关系 电容电容不断释放能量被电阻吸收不断释放能量被电阻吸收, , 直到全部消耗完毕直到

17、全部消耗完毕. .设设uC(0+)=U0电容放出能量：电容放出能量： 2021CUuCR+C零输入零输入RC电路电路( )(0 )(0 )tccequ tuetRC 其中 结论：结论：i+uRC+uCReq 无源无源电阻电阻电路电路t 0已知已知 uC (0)分析：分析： uC 和和 i （t 0）.无源电阻电路无源电阻电路的等效变换的等效变换2 2、 RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0LRp 特征根特征根 代入初始值代入初始值 i(0+)= i(0-)=I0A= i(0+)= I00100()()SLLUiIiRd00diLRittptAeti )(t 0iL

18、+uLR分析：分析：t 0时的电流时的电流i /0 /( )0(0 )tL RLtL RLi tI etieiS(t=0)USL+uLRR112RLtLLeRIdtdiLtu/ 0)( /0( )0tL RLi tI et-RI0uLttI0iL0结论：结论：连续连续函数函数跃变跃变 （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；iS(t=0)USL+uLRR112令令 = L/R , , 称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数 大大 过渡过程时间长过渡过程时间长 小小 过渡过程时间短过渡过程时间短时间常数时间常数 的大小反映了电路的

19、大小反映了电路过渡过程时间的长短过渡过程时间的长短 = L/R单位：单位：S（秒）（秒） （2 2）其衰减快慢与）其衰减快慢与L/R有关；有关；当电阻单位为当电阻单位为，电感单位为，电感单位为H零输入零输入RL电路电路( )(0 )(0 )tLLeqi tietLR 其中 结论：结论：t 0无源无源电阻电阻电路电路LiLL+uLReq无源电阻电路无源电阻电路的等效变换的等效变换分析：分析： uL 和和 i L（t 0）.iL (0+) = iL(0) = 1 AuV (0+)= 10000V 造成造成V损坏。损坏。例例1t=0时时 , 打开开关打开开关S，求求uv。现象现象 ：电压表坏了：电压

20、表坏了 /( )(0 ) (0)tLLitiet 电压表量程：电压表量程：50V444 1010000eqLRs0100002500 teiRutLVV解解iLS(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10V kRV1025000tLietiLL+uLReqt 0（2）（1）（教材（教材P144）Req = R +RV 小结小结1.1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始储能引起的响一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始储能引起的响应应, , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数，都是由初始值衰减为零的指数衰减函数，衰减快慢取衰减快慢取决于时间常数决于时间常数 。 teyty )0()

21、(y (0+) = iL(0+)= iL(0)y (0+) =uC (0+) = uC (0)RC电路：电路：RL电路：电路：i+uRC+uCReq 无源无源电阻电阻电路电路t 0t 0无源无源电阻电阻电路电路LiLL+uLReq = ReqC = L/Req例：例： 教材教材 P146 例例7-33. 3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。2. 2. Req为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。无源无源电阻电阻电路电路一个一个动态动态元件元件动态元件初始能量为零，由动态元件初始能量为零，由t 0电路电路中中

22、外加输入激励外加输入激励作用所产生的响应。作用所产生的响应。SCCUutuRC dd列方程：列方程：iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=07.3 7.3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 非齐次线性常微分方程非齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为：cccuuu1. 1. RC电路的零状态响应电路的零状态响应零状态响应零状态响应齐次方程通解齐次方程通解非齐非齐次方次方程特程特解解0()t tRCCuAe 变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定全解全解uC (0+)=A+US= 0 A= US由初始条件由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数定积分常数

23、A的通解的通解0dd CCutuRCRCtSCCCAeUuutu )(通解通解Cu 与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解CSuU 特解特解Cu SCCUutuRC dd的特解的特解（暂态分量，自由分量）（暂态分量，自由分量）（稳态分量，强制分量）（稳态分量，强制分量） 1 1 (0()( ) ()tttRCRCRCcSSScuUU eUeuet 1 (0()ttRCRCcSSSuUU eUetRCtSeRUtuCi ddC-USuC“uCUStiRUS0tuc0 （1 1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；电压、电流是随时间按同一指数规律变

24、化的函数； 电容电压由两部分构成：电容电压由两部分构成：从以上式子可以得出：从以上式子可以得出：连续连续函数函数跃变跃变稳态分量（强制分量）稳态分量（强制分量）暫态分量（自由分量）暫态分量（自由分量）+iS(t=0)US+uRC+uCRuC (0)=0 （2 2）响应变化的快慢，由时间常数）响应变化的快慢，由时间常数 RC决定；决定；（3 3）能量关系）能量关系221SCU电容储存：电容储存：电源提供能量：电源提供能量：20dSSSCUqUtiU 221SCU 电阻消耗：电阻消耗：2002d()dSRCtUi R tR tReRC+-US电源提供的能量一半消耗在电阻上，一电源提供的能量一半消耗

25、在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。半转换成电场能量储存在电容中。零状态零状态RC电路电路结论：结论：CRteutueqtcc)0()1 ()()(有源有源电阻电阻电路电路t 0ReqC+-Uoc戴维宁等戴维宁等效变换效变换2 2、 RL电路的零状态响应电路的零状态响应SLLUiRtdidL 110( )()( )()()RtSLLtLUiteRiet dd( )RtLLLSiutLU etiLS(t=0)US+uRL+uLR已知已知iL(0)=0，t0的的电路方程为电路方程为：LLLiii tuLUStiLRUS00RUiSL A0)0(tLRSAeRU 零状态零状态RL电路电路结论：

26、结论：eqtLLteitiRL)0()1 ()()(其中t 0有源有源电阻电阻电路电路LiLS(t=0)UocLReq戴维宁等戴维宁等效变换效变换例例1t=0时时 , ,开关开关S S打开，求打开，求t0t0后后iL、uL及电流源的端电压及电流源的端电压。解解（1）这是一个）这是一个RL电路零电路零状态响应问题，先化简电状态响应问题，先化简电路，求路，求 iL （t） ,有：有：iLS+uL2H10 2A10 5 +ut0iL+uL2HUocReq+ 201010eqRVUoc20102sRLeq1 . 020/2/ 10( )()(1)(1)tLLtitieeA10( )20( )tLLLO

27、CLeqdiutLeVdtutUiR或()/1LOCeqiURA VeuiIutLLS101020105 (2)求其他响应：求其他响应：小结小结1.1.一阶电路的零状态响应是在零初始状态下外施一阶电路的零状态响应是在零初始状态下外施激励引起的响应激励引起的响应, , 都是由初始值为零至稳态值都是由初始值为零至稳态值并按指数规律变化的函数。并按指数规律变化的函数。2. 2. 时间常数时间常数 ：RC电路电路 = ReqC , RL电路电路 = L/Req Req为与动态元件相连的一端口电路的戴维宁等效电阻。为与动态元件相连的一端口电路的戴维宁等效电阻。( )( )(1)ty tyeRC电路电路R

28、L电路电路( )( )Cyu ( )( )Lyi 有源有源电阻电阻电路电路一个一个动态动态元件元件3. 3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。7.4 7.4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应电路的电路的初始状态初始状态不为零，同时又有外不为零，同时又有外加加激励源激励源作用时电路中产生的响应。作用时电路中产生的响应。iS(t=0)US+uRC+uCRSCCUutuRC dd解答为解答为 uC(t) = uC + uCuC (0)=U0t0t0，电路微分方程：，电路微分方程： =RC1. 1. 全响应全响应全响应全响应稳态解稳态解 uC = US暂态解

29、暂态解 tCeu AuC (0+)=A+US =uC (0-)=U0 A=U0 - US由初始值定由初始值定At0+已知：已知：uC (0)=U00)(0 teUUUAeUutSStSC 2. 2. 全响应的两种分解方式全响应的两种分解方式0)(0 teUUUAeUutSStSC 强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)uC-USU0暂态解暂态解uCUS稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0全响应全响应 = 强制分量强制分量(稳态解稳态解)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)（1） 着眼于电路的工作状着眼于电路的工作状态态物理概念清晰物理概念清晰iS(t=0)USC+uCR

30、uC (0)=U0=iS(t=0)USC+ uCRuC (0)=0+uC (0)=U0C+ uCiS(t=0)R全响应全响应= 零状态响应零状态响应 + 零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应)0()1(0 teUeUuttSC (2)(2) 着眼着眼于因果关于因果关系系便于便于叠加叠加计算计算0)(0 teUUUAeUutSStSC 3. 3. 三要素法分析一阶电路三要素法分析一阶电路teffftf)()0()()( 时间常数时间常数初始值初始值稳态解稳态解三要素三要素 )0( )( ff分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题t 0+电路求解电路求解用用t 的稳态的稳态电路求解电路求解tcctSStSCeuuuteUUUAeUu)()0()(0)(0例例1t=0时时 , ,开关开关S打开，求打开，求t0t0后的后的iL、uL解解这是一个这是一个RL电路