高等数学：8-1数项级数（1-77）

1、8.1 8.1 数数 项项 级级 数数11无穷级数的基本概念无穷级数的基本概念无穷级数无穷级数:设给定一数列设给定一数列 , , , , naaa21 naaaa321(1)称为称为无穷级数无穷级数 , , 1nna记作记作而而 an 称为无穷级数称为无穷级数 (1) 的的通项通项 无穷级数无穷级数 (1) 的部分和数列的部分和数列:我们称我们称, 11aS , 212aaS nnaaaaS , 321形成的数列形成的数列 为无穷级数为无穷级数 (1) 的的部分和数列部分和数列 nS定义定义 ( 无穷级数的收敛与发散无穷级数的收敛与发散 )说明说明: 若级数若级数 的部分和数列的部分和数列 收

2、敛于有限值收敛于有限值 S , 1nna nS即即SaSnkknnn 1limlim则称级数则称级数 收敛收敛 , 并把部分和的极限值并把部分和的极限值 S 称为称为 1nna级数级数 的和的和 , 1nna如果部分和数列如果部分和数列 无极限无极限, 则称级数则称级数 发散发散 nS 1nnaSann 1即即, limnnnnSaS 1 1nna表示一有限数表示一有限数 (1) 若级数收敛若级数收敛 , 则其和为则其和为若级数若级数 发散发散, 即极限即极限 不存在不存在 1nnannS lim此时级数此时级数 不表示任何意义不表示任何意义 1nna (2) 注意收敛数列与级数收敛的区别注意

3、收敛数列与级数收敛的区别:级数收敛级数收敛:nnnnSa lim1 1nna( 级数级数 的和是其部分和数列的和是其部分和数列 的极限的极限 ) nS aann lim收敛数列收敛数列:( 数列数列 以以 a 为极限为极限 ) na解解 nknkkS111)(111 n1 nnSlim所以原级数收敛所以原级数收敛 , 且有且有1111 nnn)(讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性 111nnn)(例例)(1111 kknk解解 nkknaqS11111 qqqan , )(当当 时时,1 qqqaSnnnn 11)(limlimqa 1此时级数收敛且有和此时级数收敛且有和qaaqnn 111讨

4、论等比级数讨论等比级数 的敛散性的敛散性 ( a 0 ) 11nnaq例例1 qna , 11121 qan , )(当当 时时,1 q qqaSnnnn11)(limlim级数发散级数发散 当当 时时,1 q naSnnnlimlim级数发散级数发散当当 时时,1 q)(limlim1112 nnnnaS不存在不存在级数发散级数发散论级数论级数 的敛散性的方法就成为研究无穷级数的敛散性的方法就成为研究无穷级数 1nna 1nna根据定义来讨论无穷级数根据定义来讨论无穷级数 的敛散性的敛散性 , 将面临部分和数列将面临部分和数列 Sn 的计算的计算 ( 即即 n 项求和问题项求和问题 ) .于

5、是研究出不从定义出发于是研究出不从定义出发 ( 从而回避从而回避 Sn 的计算的计算) 讨讨 问题的关键问题的关键 .为此我们先讨论无穷级数的一些基本性质为此我们先讨论无穷级数的一些基本性质 从上面例子可知从上面例子可知:级数的第级数的第 n 项后的项后的余式余式: 1nkknar(2)性质性质1 如果级数如果级数 收敛收敛, 则它的任何一个余式则它的任何一个余式(2) 1nna也收敛也收敛; 反之反之, 从余式从余式 (2) 的收敛性可推出原级数的收敛性可推出原级数 1nna的收敛性的收敛性 设设 收敛于收敛于 S , 1nna分别记分别记 的部分和数列为的部分和数列为 , 1nna nS

6、1nkknar的部分和数列为的部分和数列为 , 则则mS证明证明 1nkknar余式余式nmnmSSS nnmnmmmSSSSS )(limlim 余式余式 收敛收敛nr反之反之 设余式设余式 (2) 收敛收敛, 则则mnmnSSS ) (limlimSSSSSnmnmmnm 1nna收敛收敛说明说明:级数的敛散性级数的敛散性这同样说明这同样说明: 在级数的前面增加有限项也不改变在级数的前面增加有限项也不改变此性质说明此性质说明: 截去级数前面的有限项不改变级截去级数前面的有限项不改变级数的敛散性数的敛散性 改变级数改变级数 的有限项的有限项 , 不改变级数的不改变级数的 1nna敛散性敛散性

7、 性质性质 2若级数若级数 收敛收敛 , 则有则有 11nnnnba, 1nnca(1) 也收敛且也收敛且 11nnnnacca 1nnnba)(2) 也收敛且也收敛且 111nnnnnnnbaba)(性质性质 3证明证明设设 的的 n 项部分和为项部分和为 Sn , 1nnnba)( 11nnnnba ,的的 n 项部分和为项部分和为 An , Bn ,(2)(limlim)(nnnnnnnnBASba 1 11nnnnnnnnbaBAlimlim( 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件 )设设 , Sann 101 SSSSannnnn)(limlim 则有则有 nnnBAS 若级数若级数

8、 收敛收敛 , 则有则有 1nna0 nnalim性质性质4证明证明, 1 nnnSSa则由则由知知nnnnnna)(limlim1 nnn)(lim111 01 e 级数级数 发散发散 11nnnn)(判别级数判别级数 的敛散性的敛散性 11nnnn)(例例解解由于其由于其 n 项部分和项部分和 Sn 满足满足nSn131211 nnn 1判别级数判别级数 的敛散性的敛散性 11nn例例解解 nnSlim 11nn发散发散在此例中在此例中, 虽然虽然01 nannnlimlim但级数但级数 是发散的是发散的, 所以所以 11nn0 nnalim 1nna收敛收敛说明说明: 只是级数只是级数

9、收敛的必要条件收敛的必要条件 ,0 nnalim 1nna不是充分条件不是充分条件注意注意:性质性质 5 , S 1nna设设则在则在 中任意添加括号中任意添加括号 1nna形成一新级数形成一新级数 也收敛也收敛 , 并且有并且有 1nnbS ann 1 bnn 1证明证明 设在设在 中任意添加括号后中任意添加括号后 , 形成的新级形成的新级 1nna数为数为 , bnn 1其部分和数列为其部分和数列为 , nB而而 的的 1nna部分和数列为部分和数列为 , 则有则有 S n nnSB 由由, Slim nnS据极限性质知其子数列据极限性质知其子数列 也有也有 nB极限极限 , 而且而且 S

10、lim nnBS 1nna 1nnb说明说明: (1) 此性质说明此性质说明: 对收敛级数可任意加括对收敛级数可任意加括号并且不改变其和号并且不改变其和 (2) 对收敛级数不能去括号对收敛级数不能去括号反例反例: )()()(111111收敛级数收敛级数去括号后去括号后: 111111发散级数发散级数(3) 对发散级数加括号会改变其敛散性对发散级数加括号会改变其敛散性 (见上反例见上反例) 判别判别调和级数调和级数 的敛散性的敛散性 11nn例例解解顺次将级数的顺次将级数的 1 项项 , 2项项 , 项项 , 项项 ,2212 k括在一起构成一新的级数括在一起构成一新的级数 115181714

11、131211nnb)()()(则有则有, 2111 b并且当并且当 n 1 时时 , 有有212121121211 nnnnnb( 项项 )12n, lim0 nnb据收敛级数的必要条件知据收敛级数的必要条件知 发散发散 1nnb再根据再根据性质性质 5 知原级数知原级数 发散发散 11nn 2 正项级数正项级数正项级数：正项级数：对于级数对于级数 , 如果如果 1nna, n , an,210 则称此级数为则称此级数为正项级数正项级数 设级数设级数 是正项级数是正项级数 , 则由则由 1nna 1121 nnnnnSaSaaaS知知 Sn 单调上升单调上升 单调上升数列单调上升数列 Sn 有

12、极限有极限 Sn 有上界有上界 这就将极限这就将极限 的存在性问题转化为的存在性问题转化为 Sn nnS lim有无上界的问题有无上界的问题 定理定理 ( 正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件 )正项级数正项级数 收敛收敛 Sn 有上界有上界 1nna说明说明:正项级数的这一重要性质正项级数的这一重要性质 , 将级数将级数 1nna的审敛问题的审敛问题 ( 即即 的存在性问题的存在性问题 ) 等价地转化等价地转化nnS lim为判别为判别 Sn 有无上界的问题有无上界的问题 , 而判别而判别 Sn 有无有无 上界的问题相对判别极限上界的问题相对判别极限 的存在性要方便的存在性要方便nn

13、S lim许多许多 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性 11npn例例解解级数级数 称为称为 p 级数级数 11npn当当 p = 1 时时 , 原级数即为调和级数原级数即为调和级数 , 所以发散所以发散 .当当 p 1 时时 , 设设 p = 1+ ( 0 ) , 由于对任意由于对任意, , N nnn2 )()(pppppnnSS8151413121122 项项 项项22)()(pnpn211211 项项12npnnppp)()(1122222222211 12212121211 np)()( 21121211 p所以所以 有上界有上界 nS 级数级数 收敛收敛 11npn综上所述有以下结

14、论综上所述有以下结论: 11npn收敛收敛 , 当当 p 1 时时 ;发散发散 , 当当 p 1 时时 定理定理 ( 正项级数的比较判别法正项级数的比较判别法 )设设 是正项级数是正项级数 1nna(1) 若对某若对某 N 0 , 当当 n N 时时 , an bn , 而级数而级数 1nnb收敛收敛 , 则级数则级数 收敛收敛 1nna(2) 若对某若对某 N 0 , 当当 n N 时时 , 0 bn an , 而级数而级数 发散发散 , 1nnb则级数则级数 发散发散 1nna证明证明只需考虑余和只需考虑余和 的敛散性的敛散性 1NkkNar(1) 由由 n N 时时 , bn an 0

15、, 得得 nNkNkkknNkkbba111因为因为 收敛收敛 余和余和 收敛收敛 , 1nnb 1Nkkb于是余和于是余和 1Nkka的部分和数列有上界的部分和数列有上界 1Nkka 收敛收敛 1nna 收敛收敛 (2) 反证法反证法 . 设设 收敛收敛 1nna 收敛收敛 1Nkka由由 (1) 知知 收敛收敛 1Nkkb 收敛收敛 , 1nnb矛盾矛盾 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性 1011nnaa)( 例例解解如果如果 0 1 , 则由则由1101111 aaaannn , )(及及 收敛收敛 , 据比较判别法知据比较判别法知 收敛收敛 11nna )( 111nna 讨论级数讨

16、论级数 的敛散性的敛散性 13032nnnxx)( sin 例例解解因为当因为当 x 0 时时 , x sinxnnnnnbxxa )( sin3232而级数而级数 收敛收敛 收敛收敛 132nn)( 132nnx)(据比较判别法知原级数据比较判别法知原级数 收敛收敛 132nnnx sin定理定理 ( 比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式 )设设 是正项级数是正项级数 , 如果极限如果极限, 1nna 1nnb) ( lim KKbannn0则则(1) 当当 K 0 时时 , 可从可从 的发散性的发散性 1nnb 的发散性的发散性 1nna(3) 当当 0 K 0 , 当当 n N 时时

17、 , 有有1 KbannNnKbann , 1NnbKann , )( 1现现 收敛收敛 1nnb11nnb K)(收敛收敛 1nna收敛收敛(2) 由由, ) ( lim0 KKbannn存在存在 N 0 , 当当 n N 时时,有有2KKbann 2Kbann nnbKa 2 现现 发散发散1Nnnb1Nnna发散发散 1nna发散发散说明说明:此定理能否应用的关键在于比较级数此定理能否应用的关键在于比较级数 1nnb的选取的选取 对对 bn 的要求是的要求是:(1) an = O( bn )(2) 的敛散性已知的敛散性已知 1nnb通常可取通常可取: 111npnnnb这里这里 p 的确

18、定可通过估计无穷小的确定可通过估计无穷小 an 关于基本关于基本无穷小无穷小 的阶数来完成的阶数来完成 , 即选取即选取 p 使使 n1)(pnnOa1 或者或者 pnna1 由于由于 的敛散情况已知的敛散情况已知 , 据定理推得原级数据定理推得原级数 11npn 1nna的敛散情况的敛散情况 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性 111nnn)(例例解解(1)nnbnnnnna 111111 )(而而 发散发散 , 据比较判别法的极限形式据比较判别法的极限形式 11nn知原级数发散知原级数发散 (2) , )(nnbnnna 1111而而 发散发散 , 111nn据比较判别法知原级数据比较判别

19、法知原级数 发散发散 111nnn)(判别级数判别级数 的敛散性的敛散性 1111nnn )ln( 例例解解因为因为, )()ln(2221xoxxx 所以所以 )( )ln(22121111nonnn )( )ln(22221121111nnonnnan 现现 收敛收敛 1221nn )ln( 1111nnn 原级数原级数 收敛收敛 定理定理 ( 达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法 )设设 是正项级数是正项级数 , 当当 n N 时时 , an 0 , 且且 1nna lim nnnaa1 (1) 如果如果 1 , 则则 发散发散 ; 1nna (3) 如果如果 = 1 , 则对则对 的敛散性无明

20、确结论的敛散性无明确结论 1nna证明证明 (1) 取定取定, 021 由由 lim nnnaa1存在存在 N 0 , 当当 n N 时有时有, 211 nnaa 211 nnaaNnaann , )(211 , a aNNnn1121 )( 现现 收敛收敛 1121 NNnNna)( 收敛收敛 1nna(2) 如果如果 1 , 则根据极限的性质则根据极限的性质 , 存在存在 N 0 ,使当使当 n N 时时 , 有有 11 nnaa从而有从而有Nn , a ann10 limnna 级数级数 发散发散 1nna(3) 对于对于 p- 级数级数 11npn )(lim)(limlim11111

21、111 pnppnnnnnnnaa而当而当 p 1 时时 , 级数收敛级数收敛 , 当当 p 1 时级数发散时级数发散 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性 ! 1nnna例例解解当当 a = 0 时时 , 级数收敛级数收敛 当当 a 0 时时 , 由由 lim! )!(limlim101111 nananaaannnnnnn据达朗贝尔判别法知据达朗贝尔判别法知 , 原级数收敛原级数收敛 解解判别级数判别级数) ()( 143222222nn例例的敛散性的敛散性 由于由于 )(limlim1122211 nnnnnaa据达朗贝尔判别法知据达朗贝尔判别法知 , 原级数收敛原级数收敛 )(lim12

22、1112 ennn据达朗贝尔判别法知据达朗贝尔判别法知 , 原级数收敛原级数收敛 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性 ! 12nnnnn例例解解nnnnnnnnnnnnnnnnaa)(lim! )()!(limlim122112111 定理定理 ( 柯西柯西(cauchy) 判别法判别法 )设设 是正项级数是正项级数 , 如果如果 1nna, lim nnna则则 (1) 如果如果 1 , 则则 发散发散 ; 1nna (3) 如果如果 = 1 , 则对则对 的敛散性无明确结论的敛散性无明确结论 1nna证明证明(1) 由由, lim nnna, 021 对于对于 存在存在 N 0 ,使当使当

23、 n N 时时 , 有有, 21 nna 21 nnaNnann , ) (21 据比较判别法知据比较判别法知 , 收敛收敛 1nna讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性 )( 1212nnnn例例解解12112 nnnannnnnnlimlim据柯西判别法知据柯西判别法知 , 原级数收敛原级数收敛 证明证明记记 由由 f ( t ) 连续单调减连续单调减 , ,)()( xdttfxF10 nanf)(0 )(tf F(x)为为 x 的单调增的单调增函数函数 . 又又 f (x) 单调减单调减 )()()(nfffaaan 3232 ndxxf1)( 1dxxf)(定理定理 ( 积分判别法积分

24、判别法 ) 若存在单调下降的连续函数若存在单调下降的连续函数 f (x) 使使 f (n) = an , 则则 1nna 与广义积分与广义积分 具有相同的敛散性具有相同的敛散性 1dxxf)(设设 是正项级数是正项级数 , 1nna若若 收敛收敛 1dxxf)( 1nna的部分和有上界的部分和有上界 1nna收敛收敛若若 发散发散 , 由于由于 1dxxf)()()()(121 nfff ndxxf1)(121 naaa及及 nndxxf1)(lim 1nna的部分和无界的部分和无界 1nna发散发散 1dxxf)( 1nna综上所述综上所述 , 与与 具有相同的敛散性具有相同的敛散性 讨论级

25、数讨论级数 的敛散性的敛散性 ln 21npnn例例解解取取 , xxxfpln)(1 则则 且对任意且对任意, )(nfan 的的 p R , 当当 x 充分大时充分大时 , f (x) 是非负且单调减的是非负且单调减的 . 2xxdxpln11121 pxpp , ln)(12 px , lnln当当 p 1 时时 , 2xxdxpln收敛收敛 ln 21npnn收敛收敛 当当 p 1 时时 , 2xxdxpln发散发散 发散发散 ln 21npnn讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性 ) ! ( ln 21nn例例解解由于由于 nknnkn1lnln ) ! ln(, ln) ! ln(1

26、01 nnn 据比较判别法知级数据比较判别法知级数 发散发散 ) ! ( ln 21nn注意注意: ln 21nnn由由 发散发散若用达朗贝尔判别法若用达朗贝尔判别法111121 )ln)ln(limlimnknnnnknaa无结论无结论 判别级数判别级数 的敛散性的敛散性 11021nndxxx例例解解由于由于23101021110ndxndxxxnn 据比较判别法知原级数收敛据比较判别法知原级数收敛 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性 11112nnn )(例例解解2211111122nnnnenannnnlnlnln 又又0 nnnlnlimln nn有界有界 存在存在 A 0 使使 l

27、nAnn 0 ln 2320nAnn 又又 收敛收敛 , 123nnA 据比较判别法知原级数收敛据比较判别法知原级数收敛 例例试证试证 , 若正项级数若正项级数 收敛收敛 , 则级数则级数 1nna 11nnnaa 也收敛也收敛 . 反之反之 , 若若 收敛收敛 , 问问 是否是否 11nnnaa 1nna 也收敛也收敛 ? 又若又若 an 单调下降且级数单调下降且级数 收敛收敛, 11nnnaa 问级数问级数 是否收敛是否收敛 ? 1nna 解解 (1) 因为因为021121 nnnnnnaaaaaa)()(1121 nnnnaaaa由由 收敛收敛 1nna )( 1121 nnnaa收敛收

28、敛 由比较判别法知由比较判别法知 收敛收敛 11nnnaa (2) 不一定不一定, 考察级数考察级数 25252511311211n则则 45454545454511131312121nnaann, 4545454511112121nnaannn 14512nn收敛收敛, 而原级数是发散的而原级数是发散的 (3) 若若 an 单调下降单调下降, 则则211 nnnaaa,11 nnnaaa由由 收敛收敛 11nnnaa据比较判别法知据比较判别法知 1nna收敛收敛30 任意项级数任意项级数绝对收敛绝对收敛:定理定理绝对收敛级数绝对收敛级数 必收敛必收敛 1nna证明证明nnnaaa20 由由

29、收敛收敛 1nna 12nna收敛收敛 1nnnaa)(收敛收敛 11nnnnnnaaaa)(收敛收敛 收敛时收敛时, 则称级数则称级数 绝对收敛绝对收敛 1nna 1nna对于级数对于级数 , 若正项级数若正项级数 1nna本段讨论任意项级数本段讨论任意项级数 的审的审敛问题敛问题 1nna说明：说明：此定理提供了任意项级数审敛的一种方法此定理提供了任意项级数审敛的一种方法:考察它是否绝对收敛考察它是否绝对收敛 .此时，对正项级数此时，对正项级数可使用前述的关于正项级数的一系列判别可使用前述的关于正项级数的一系列判别法法 1nna这是一任意项级数这是一任意项级数 .111111 nnnnna

30、 sin)(因为因为判别级数判别级数 的敛散性的敛散性 11111nnnn sin)(例例解解而而 收敛收敛 111nn)( 11111nnnn sin)( 级数级数 绝对收敛绝对收敛 , 从而原级数收敛从而原级数收敛 收敛收敛 11111nnnn sin 注意：注意：如果如果 不绝对收敛（即不绝对收敛（即 发散），发散）， 1nna 1nna 1nna不能断定原级数不能断定原级数 发散发散 定理定理 (达朗贝尔达朗贝尔) nnnaa1lim如果如果则（则（1）当）当 1时时 , 级数级数 发散发散 1nna, 1nna对于级数对于级数证明证明 (2)由由11 nnnaalim对于对于021

31、存在存在N 0 , 当当 n N 时时 , 有有211 nnaa1211 nnaannaa 10 nnalim 1nna发散发散定理定理（Canchy）解解nnnnnna)(limlim1121 由由12 e所以级数所以级数 发散发散 121121nnnnn)( nnnalim如果如果则（则（1）当）当 1 时时 , 级数级数 发散发散 1nna 1nna对于级数对于级数 , 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性 121121nnnnn)(例例关于绝对收敛级数有以下重要性质关于绝对收敛级数有以下重要性质定理定理对于任意项级数对于任意项级数 , 1nna若保留其非负项若保留其非负项,将其负项改写为

32、零将其负项改写为零, 可得一个正项级数可得一个正项级数 ; 1nn 若保留其非正项并改变其符号若保留其非正项并改变其符号, 而将其正项改写而将其正项改写为零为零, 又可得另一个正项级数又可得另一个正项级数 , 其中其中 1nn , )(nnnaa 21 )(nnnaa 21 则级数则级数 绝对收敛绝对收敛 1nna 和和 都收敛都收敛 1nn 1nn 证明证明 “ ” , nna 0nna 0据比较判别法知据比较判别法知 “ ” 可知可知 绝对收敛绝对收敛 1nna因为因为 1nna现现 收敛收敛 , 11nnnn , 都收敛都收敛, nnna 由于由于都收敛的条件下都收敛的条件下, 11nn

33、nn , 所以在所以在 根据收敛级数的性质知根据收敛级数的性质知 1nna收敛收敛 ,若记若记, ,nnnnaa 则则 nnnaaa推论推论对于绝对收敛级数对于绝对收敛级数 , 1nna成立成立 111nnnnnnaaa进一步可知绝对收敛级数可任意交换项的次序进一步可知绝对收敛级数可任意交换项的次序定理定理绝对收敛级数绝对收敛级数 经任意改变无穷多经任意改变无穷多 1nna项后得到的新级数项后得到的新级数 ( 称为称为更序级数更序级数 )仍为仍为 1nna*绝对收敛绝对收敛 , 且且 * 11nnnnaa级数的柯西乘法级数的柯西乘法(对角线法对角线法) :设设, 1nna 1nnbnnnnnn

34、nnbabababababababababababababababa321333231323222121312111 11121nnnnbababa)(, 1nnC nkknknbaC11其中其中 132231122111babababababa)(定理定理 (绝对收敛级数乘法的柯西定理绝对收敛级数乘法的柯西定理), 1nna若若 都绝对收敛都绝对收敛, 其和分别为其和分别为 A 和和 B , 1nnb则它们的各项之积则它们的各项之积 按任意方法按任意方法),(21 jibaji排列所成的级数也绝对收敛排列所成的级数也绝对收敛, 且其和为且其和为AB特别对于柯西乘法有特别对于柯西乘法有 111

35、11nnkknknnnnbaba)(例如几何级数例如几何级数111112 qqqqqn ,则则 11111111nnkknknnnnqqqq)( 11nnknq )( 1nnnq211)(q 即即11121 qqnqnn , )(条件收敛级数条件收敛级数: 1nna若若 收敛收敛, 但但 发散发散 1nna 1nna则称级数则称级数 条件收敛条件收敛 可以看出，对于条件收敛级数可以看出，对于条件收敛级数 ， 1nna由于由于 1nna发散，此时正项级数的一些判别法用不上，这导致发散，此时正项级数的一些判别法用不上，这导致了判断一级数是否条件收敛是困难的了判断一级数是否条件收敛是困难的 但关于交

36、错级数有下面的莱布尼兹判别法但关于交错级数有下面的莱布尼兹判别法 交错级数：交错级数：)( )(0111 nnnnaa定理定理 (莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法)对于交错级数对于交错级数, )( 111nnna如果如果 an 单调减且单调减且 则交错级数则交错级数, lim0 nna )( 111nnna收敛收敛 证明证明设设 的部分和数列为的部分和数列为 Sn , )( 111nnna考虑子列考虑子列 S2k .由于由于)()(Skkkaaaa212212 S2k 是随是随 k 单调增的单调增的 .又又1212223212aaaaaaakkkk )()(S S2k 单调增且有上界单调增且有上界

37、 S2k 收敛收敛 , limSSkk 2设设再考虑奇数项的子数列再考虑奇数项的子数列 S2k+1 , 因为因为, 12212 kkkaSS, lim012 kkaSSkk 12lim据极限性质知据极限性质知 limSSnn )( 111nnna 交错级数交错级数 收敛收敛 从证明过程可知从证明过程可知:(1) , 10aS 即即11110aannn )(2)121 nnnnaaaSS判别级数判别级数 的敛散性的敛散性 1111nnn)(例例解解这是一交错级数这是一交错级数 .发散发散 原级数非绝对收敛原级数非绝对收敛 1111111nnnnnnna)(由于由于又又 单调减且单调减且nan1 , lim01 nn据据莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法知交错级数知交错级数 收敛收敛 , 1111nnn)(所以原级数所以原级数 1111nnn)(条件收敛条件收敛 判别级数判别级数 ( a为实常数为实常数 ) 的敛散性的敛散性 13nnna例例解解当当 a = 0 时时 , 原级数收敛原级数收敛 当当 a 0 时时 , 考虑级数考虑级数 131nnnnnaa由于由于33111nanaaannnnnn)(liml