第10-2章静电场高斯定理

1、d/dEENS规规 定定 1 1） 始于正电荷始于正电荷, ,止于负电荷止于负电荷 2 2） 非源汇处非源汇处电场线不相交电场线不相交 3 3） 静电场电场线不闭合静电场电场线不闭合特点特点+qq2+ + + + + + + + + + + + E 非均匀电场强度电通量非均匀电场强度电通量 sSEsSEdcosddeecosddedSESEnddeSSSdEne1 1、定义：、定义：通过电场中某一个面的通过电场中某一个面的电场线数电场线数叫做通过这叫做通过这个面的电场强度通量个面的电场强度通量. .通过整个曲面的电通量通过整个曲面的电通量 ES 均匀电场均匀电场 ， 垂直平面垂直平面EES e

2、 均匀电场均匀电场 ， 与平面夹角与平面夹角EneESsSEsSEdcosdecosdcoseESsSE ESe 非均匀电场强度电通量非均匀电场强度电通量 eeddcos dESESss 非均匀电场强度电通量非均匀电场强度电通量 均匀电场均匀电场 ecos dESESsSSSESEdcosdeeddcosESEdSE1dS2dS22E11E2,21,20dd111SE0dd222SE 例例1 如图所示如图所示 ，有一，有一个三棱柱体放置在电场强度个三棱柱体放置在电场强度 的匀强电的匀强电场中场中 . 求通过此三棱柱体的求通过此三棱柱体的电场强度通量电场强度通量 .1CN200iExyzEoxy

3、zEonenene闭合曲面法线方向的规定闭合曲面法线方向的规定：外法线方向外法线方向(自内向外自内向外) 为正。为正。xyzEoPQRNM解解下右左后前eeeeee 下后前eee 0dsSE左左左左ESESsSEcosd enenene左右右右ESESsSEcosd e0 eeeeee下右左后前凡例 封闭曲面内无电荷封闭曲面内无电荷 续33续28+Sd 点电荷位于球面中心点电荷位于球面中心20 4rqESSSrqSEd 4d20e0eq r高斯定理的导出高斯定理的导出高斯高斯定理定理库仑定律库仑定律电场强度叠加原理电场强度叠加原理e0q 点电荷点电荷q被被任意曲面任意曲面包围包围, 曲面的电通

4、量等于多少曲面的电通量等于多少? 通过通过 S 的电通量与通过的电通量与通过 S 的电通量相等吗？的电通量相等吗？必有电通量必有电通量根据电力线的连续性根据电力线的连续性 对球面对球面S1对球面对球面S2对包围对包围q的任意曲面的任意曲面S高斯定理成立。高斯定理成立。01edqSES02edqSES0edqSESq 点电荷在封闭曲面之外点电荷在封闭曲面之外2dS2E0dd111SE0dd222SE0dd210dSSE1dS1E闭合曲面内不包围电荷，闭合曲面内不包围电荷，该闭合曲面的电通量为该闭合曲面的电通量为0,0, 高斯定理成立。高斯定理成立。 由由多个点电荷多个点电荷产生的电场产生的电场1

5、212()knEEEEEEE外外外内内内1q外qn内kq外sSdE111120000()()00kSSnSSSSnE dSEEEEdSEdSEdSEdSEdSqqqq 外外内n内1外k外内内内q1内niiSqSE10e1d高斯定理高斯定理2 2）高斯面上高斯面上的电场强度为的电场强度为所有所有内外电荷的总电场强度内外电荷的总电场强度. .3 3）仅高斯面仅高斯面内内的电荷对高斯面的电场强度的电荷对高斯面的电场强度通量通量有贡献有贡献. .1 1）高斯面为封闭曲面高斯面为封闭曲面. .5 5）静电场是静电场是有源场有源场. .总总 结结0iiq0e0E4 4） 是代数和。当是代数和。当 时，表示

6、两种含义：的确无时，表示两种含义：的确无电荷；或是有电荷但正负电荷代数和为零。电荷；或是有电荷但正负电荷代数和为零。iiq0iiq1S2S3Sqq01e1dqSES02e03eq 在点电荷在点电荷 和和 的静电场中，做如下的三的静电场中，做如下的三个闭合面个闭合面 求求通过各闭合面的电通量通过各闭合面的电通量 . .,321SSSqq讨论讨论 将将 从从 移到移到2qABePs点点 电场强度是否变化电场强度是否变化？穿过高斯面穿过高斯面 的的 有否变化有否变化？2q2qABs1qP*附附 对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律对于静止电荷的电场，库仑定律和高斯定律=等价。等价。当电荷分布具有某

7、种对称性时，可用高斯定理求当电荷分布具有某种对称性时，可用高斯定理求 出该电荷系统的出该电荷系统的电场的分布电场的分布。比其他方法简便。比其他方法简便。 当已知场强分布时，可用高斯定理求出任一区域当已知场强分布时，可用高斯定理求出任一区域 的的电荷电荷分布。分布。对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，对于运动电荷的电场，库仑定律不再正确，=而高斯定理仍然有效。而高斯定理仍然有效。 对称性分析；对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面；根据对称性选择合适的高斯面；过过所求的场点所求的场点取取S S面面使使S S面上或部分的面上或部分的 大小相同大小相同使使S S面与面与 夹角等于夹角等于0 0或

8、或90900 0应用高斯定理计算应用高斯定理计算.+OR0E02dQSESr1S20 4rQE02 4QErr2s20 4RQrRoE解（解（1）Rr 0Rr（2）cos0SSSE dSEdSEdS240SEdSEr+OR02dQSESr1S20 4rQE02 4QErr2s20 4RQrRoE解（解（1）Rr 0Rr（2）SE dS204iErq33334433iQQQqdVrrRR304 QrER练习： 如图所示，两个同心如图所示，两个同心的均匀带电球面，半径分的均匀带电球面，半径分别为别为R1、R2，所带电量，所带电量分别为分别为Q1、Q2。求：。求：（1）离球心为 的 点的电场强度 。

9、)(111Rrr1P1E)(233Rrr3E3P（2）离球心为 的 点的电场强度 。)(2212RrRr2E2P（3）离球心为 的 点的电场 强度 。R1R2OQ1Q2P1P2P3+oxyz下底）上底）柱面）(dd dsssSESESE选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为电荷线密度为 ，求距直线为，求距直线为 处的电场强度处的电场强度. .r对称性分析：对称性分析：轴对称轴对称解解hSSEd柱面）(dsSEneneneE+r0qrE0 20 2hrhE (ddSsE SE S ES柱 面 ）+ox

10、yzhneE+r其方向沿场点到带电直线的垂线其方向沿场点到带电直线的垂线方向，由电荷的正负决定。方向，由电荷的正负决定。（1）r R取高斯面取高斯面S为与无限长圆柱面为与无限长圆柱面共轴，半径为共轴，半径为r ，高度为，高度为 l 的的封闭圆柱面封闭圆柱面 E高高斯斯面面lr02lrlESdES)(20RrrE（2）r R02rlESdESRrE 0+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 无限大均

11、匀带电平面，单位面积上的电荷，即电无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电荷面密度为荷面密度为 ，求距平面为，求距平面为 处的电场强度处的电场强度. .r选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面02E对称性分析：对称性分析： 垂直平面垂直平面E解解0dSqES底面积底面积+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + SEESSS20SE 02EEEEExEO)0(000000讨讨 论论无无限限大大带带

12、电电平平面面的的电电场场叠叠加加问问题题02E RrrRrE020 02 E均匀带电球面均匀带电球面无限长均匀带电直线无限长均匀带电直线无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面RrrqRrE2040无限长均匀带电圆柱面无限长均匀带电圆柱面rE02q一一 静电场力所做的功静电场力所做的功0qr0ddWq El 020 d4 qqrlr dd cosrll dr rrqqWd 4d200BArrrrqqW200d 4 点电荷的电场点电荷的电场ldrdArABrBE)11( 400BArrqq结果结果: : 仅与仅与 的的始末始末位置位置有关有关，与路径无关，与路径无关. .0qW0WdbbaaF dl

13、q El 任意电荷的电场（视为点电荷的组合）任意电荷的电场（视为点电荷的组合）iiEEllEqWd0结论：结论：静电场力做功与路径无关静电场力做功与路径无关. .012()bnaqEEEdl01020bbbnaaaqE dlqEdlqEdl0011()4 iaibiq qrrE0dllE静电场是保守场静电场是保守场12AB000abLLAq E dlqE dl静电场力是保守力静电场力是保守力重力势能：重力势能： mgh万有引力势能：万有引力势能： rGMm弹性势能：弹性势能： 221kx初态初态势能势能末态末态势能势能0ppppd() BABBAABAWq ElEEEE令令0pBE(0)p0d

14、PAAEq El 试验电荷试验电荷 在电场中某点的电势能，在数值上在电场中某点的电势能，在数值上就等于把它从该点移到就等于把它从该点移到零势能零势能处静电场力所作的功处静电场力所作的功. .0qE0qAB电势能的电势能的大小大小是是相对相对的，电势能的的，电势能的差差是是绝对绝对的的.电势E0qAB(0)p0dPAAEq El(0)p0dPAAEElqAV 点电势点电势AAEABdBABABAUVVEl电电势差势差00ABABWqVqV 静电场力的功静电场力的功l dEqEEWBABAAB 0 BABAABBAl dEqEqEqWVV000电势能的差值电势能的差值电势能（某一点）电势能（某一点

15、）电势差电势差电势（某一点）电势（某一点） 电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；电势大小是相对的，与电势零点的选择有关电势大小是相对的，与电势零点的选择有关. .注意注意J10602. 1eV119原子物理中能量单位原子物理中能量单位 单位：单位：伏特伏特）（V在在有限带电体有限带电体激发的静电场中激发的静电场中，取取 V= 0；在在无限大带电体无限大带电体激发的静电场中，取激发的静电场中，取 VP0 = 0 已知场强分布求电势已知场强分布求电势场强积分法场强积分法 已知电荷分布求电势已知电荷分布求电势V= 0 0PPPVE dl点电荷的电势公式点电荷的

16、电势公式电势电势叠加原理叠加原理必须是同一个电势参考点。必须是同一个电势参考点。* *球对称球对称* *标量标量 正负正负rE d r0204rQdrr0 04QUrQ0rPEdr PPl dEU0204rQr drr 1q2q3q2 2 电势的叠加原理电势的叠加原理 点电荷系点电荷系AAlEVdiiiiAiArqVV04 电荷连续分布电荷连续分布rqVP0 4dA1r1E2r3r2E3EqEdrPVqddqd12() dnAEEEl12dddnAAAElElElabq12q0qrrr=Uaq1+=0Uq2U0q10=2.463(V)r0=0.10 mCq18= 1.00，Cq=18=4.00

17、12q 例例1 已知：已知：3= 9 1090.011(4.04.0) 108=Ub4oq14oq2+rr3q=4or1()13+q2UaUAab=0q()b=Uaq1+=0Uq2U10=2.463(V)Ub由前面得到：由前面得到：UaU=2.46 103(V)b2.46 10318=1.00(J)=152.4600d 4 PdqVr0014 4 PqVdqrr220 4Rxq+Rr例例1 正电荷正电荷 均匀分布在半径为均匀分布在半径为 的细圆环上的细圆环上. 求求圆环圆环轴线上距环心为轴线上距环心为 处点处点 的电势的电势.qRxPdqxPoyzxRlqrVP 2d 41d0rqRlqrVP

18、00 4 2d 41220 4Rxq+Rr例例1 正电荷正电荷 均匀分布在半径为均匀分布在半径为 的细圆环上的细圆环上. 求求圆环圆环轴线上距环心为轴线上距环心为 处点处点 的电势的电势.qRxPldxPRlqlq 2dddoyzxRqVx00 40 ，xqVRxP0 4 ，220 4RxqVP讨讨 论论 Rq04xoV21220)( 4Rxq例例3 3 均匀带电球壳的电势均匀带电球壳的电势. .+QR真空中，有一带电为真空中，有一带电为 ，半径为，半径为 的带电球壳的带电球壳.1QR试求（试求（1）球壳外两点间的电势差；（）球壳外两点间的电势差；（2）球壳内两点）球壳内两点间的电势差；（间的

19、电势差；（3）球壳外任意点的电势；（）球壳外任意点的电势；（4）球壳）球壳内任意点的电势内任意点的电势.解解rerqERr202 4，01ERr，（1）BABArrrEVVd2 BArrrreerrQ20d 4 )11( 40BArrQrorerdABArrBr0d1BABArrrEVV（3）Rr rQ0 4rrrQd 420rrErVd)(2外 （2）Rr +QRrorerdABArrBr 1220( )dd4RQV rErErdrrRRr内RQ0 4（4）Rr 内VrQrV0 4)(外 由由RQRV0 4)(可得可得rQrV0 4)(外RQrV0 4)(内RQ0 4RroVrQ0 4)11

20、( 40BABArrQVV 由由rQrV0 4)(外可得可得,Br0V令令例例4 4 平行板电容器两板间的电势差平行板电容器两板间的电势差d0E ldEUdlE解：解：平行板电容器内部的平行板电容器内部的 场强为场强为两板间的电势差两板间的电势差El dEdl方向一致方向一致l dE,均匀场均匀场EdU 例题例题5、求等量异号的同心带电球面的电势分布求等量异号的同心带电球面的电势分布已知已知q q ARBR ARBRq q ARr BRr 204rq BARrR E0由电势定义由电势定义 P PPldEV BBRRrPl dEl dEVBBRRrl drrq0d420BRqrq0044 BBA

21、BABARrRrRRqrqRrRqRqV ,0 ,44 ,440000 ARBRq q AAAARrrqRrRqV ,4 ,400 BBBBRrrqRrRqV ,4 ,400 BBABABARrRrRRqrqRrRqRqV , 0 ,44 ,440000BAVVV ARBRq q ARBRq q 讨论：讨论：等量异号的同心带电球面的电势差等量异号的同心带电球面的电势差 BBABABARrRrRRqrqRrRqRqV ,0 ,44 ,440000BARRABVVV0 ,4400BARBARVRqRqVBAABRqRqV0044 求单位正电荷沿求单位正电荷沿odcodc 移至移至c c ，电场力所

22、作的功，电场力所作的功 将单位负电荷由将单位负电荷由 O O点点电场力所作的功电场力所作的功 q q Rq q RRR0dabc)434(000RqRqVVAcooc Rq06 0 oOVVAbbaabVVqA)( 点电荷在静电场中的某一点所具有的电势能等于将该电荷从点电荷在静电场中的某一点所具有的电势能等于将该电荷从 该点移到无限远电场力所作的功该点移到无限远电场力所作的功 。 。 空间空间电势相等的点电势相等的点连接起来所形成的面称为等势连接起来所形成的面称为等势面面. . 为了描述空间电势的分布，规定任意两为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻相邻等势等势面间的面间的电势差相等电势差相等

23、. .一一 等势面等势面（电势图示法）（电势图示法） 在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功0d)(00babaablEqVVqW00dcosd0bbabaaWq Elq El0d000lEqlEdE 在静电场中，电场强度在静电场中，电场强度 总是与等势面垂直的，总是与等势面垂直的，即电场线是和等势面即电场线是和等势面正交正交的曲线簇的曲线簇. .dloqEab1dl2dl12ddll 12EE 按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等，即等势面的相等，即等势面的疏密程度疏密程度同样可以表示场强的大小

24、同样可以表示场强的大小2211E d =E dlldlEAB 电力线从高电势处指向低电势电力线从高电势处指向低电势babal dEUU/0EdlE dlEdlbaUU 1 1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？ 2 2） 的地方，的地方， 吗吗 ？ 3 3） 相等的地方，相等的地方， 一定相等吗？等势面上一定相等吗？等势面上 一定相等吗一定相等吗 ？0V0EVEE讨论讨论+ + + + + + + + + + + + +二二 电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度cos lElEVVUABAB）（lEEcoslVElEVll，lVlVEllddlim0 电场中某一点的电场中某一点的电场强度电场强度