第2章误差的基本性质与处理1

1、 随机误差的分布可以是正态分布，也有非正态分布，而多数随机误差都服从正态分布。我们首先来分析服从正态分布的随机误差的特性。设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的随机误差可表示为：(2-1) 式中。 正态分布的分布密度与分布函数为(2-2) (2-3) 式中：标准差（或均方根误差） e自然对数的底，基值为2.7182。 它的数学期望为 (2-4) 它的方差为： (2-5)oLilioiiLl ni,2,1)2/(2221)(ef)(f)(FdeF)2(2221)(0)(dfEdf)(22547979.02n 由概率积分可得到与的关系：或然误差 测量列的或然误差，它将整个测量列的n个随机误

2、差分为个数相等的两半。其中一半（n/2个）随机误差的数值落在- +范围内，而另一半随机误差的数值落在- +范围以外，有 解得或然误差为： 其实际意义是：若有n个随机误差，则有n/2个落在区间-,+之内，而另外n/2个随机误差则落在此区间之外。平均误差 测量列平均误差的定义是：该测量列全部随机误差绝对值的算术平均值，用下式表示：5.0d)(f326745.0)(|11nnnii正态分布随机误差具有以下四个特征： 有 , 可推知分布具有对称性，即绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性； 当=0时有 ，即 ，可推知单峰性，即绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差

3、的单峰性； 虽然函数的存在区间是-,+，但实际上，随机误差只能出现在一个有限的区间内，即-k,+k,称为误差的有界性； 随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零： 这称为误差的补偿性。 0)(f)()(ff)0()(maxff)0()(ff)(f0lim1nniin 图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。值为曲线上拐点A的横坐标，值为曲线右半部面积重心B的横坐标，值的纵坐标线则平分曲线右半部面积。 对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。 (一)算术平均值的意义 设 为n次测量所得的值，则算术平均值

4、为: niinlnnlllx1211nlll,21二、算术平均值二、算术平均值下面来证明当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋近于真值Lo。 oiiLl onnnLlll)(2121nioiniinLl11nnlLniiniio110lim1nniin01Lnlxnii由于 由此我们可得出结论：这就是当测量次数无限增大时，算术平均值（数学上称之为最大或然值）被认为是最接近于真值的理论依据。但由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。 一般情况下，被测量的真值为未知，不可能按式（2-1）求得随机误差，这时可用算术平均值代替被测量的真值进行计算。此时的随机误差称为

5、残余误差，简称残差：xlii(2-9) 式中的 为简单数值，很容易计算，因此按（2-10）求算术平均值比较简单。 此时可用更简便算法来求算术平均值。任选一个接近所有测得值的数 作为参考值，计算每个测得值 与 的差值： 0lnillloii,2, 10lil0010111)(xlnllnnllnllnlxniinioiniionii0 x(2-10)例例 2-12-1 测量某物理量10次，得到结果见表2-1，求算术平均值。0lil0 xxil64.1879639.1879101. 065.1879x序号123456789101879.641879.691879.601879.691879.571

6、879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.08-0.03-0.010-0.0100+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01 01. 01niiv101.0101010iilxiliv12表返回（二）算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和来校核。 由 ，式中的是根据（2-8）计算的，当求得的为未经凑整的准确数时，则有： (2-11)残余误差代数和为零这一性质，可用来校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。但当实际得到的 为经过凑整的非准确数，存在

7、xxliininiiixnlv11xxniiv10经过分析证明，用残余误差代数和校核算术平均值及其残差，其规则为： 残差代数和应符合：当，求得的为非凑整的准确数时，为零；当，求得的为凑整的非准确数时，为正，其大小为求时的余数；当，求得的为凑整的非准确数时，为负，其大小为求时的亏数。nlxnii1nininiiiinnlnlv111)(niixnl1niiv1xniixnl1xniiv1xniixnl1xniiv1x残差代数和绝对值应符合：当n为偶数时，；当n为奇数时，。式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。Anvnii21Anvnii)5.02(1x 例例2-2 2-2 用例2-1数

8、据对计算结果进行校核。 解：因n为偶数， A0.01，由表2-1知 故计算结果正确。, 52102n05.0201.0101Anvii 2000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.0722表 例例2-32-3 测量某直径11次，得到结果如表2-2所示，求算术平均值并进行校核。xmmmmlxii0673.20001174.2200011111xiliv序号 (mm) (mm)1234567891011+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.0

9、17+0.013-0.007+0.003 74.22000111iil003.0111iiv用第一种规则校核，则有：用第二种规则校核，则有：故用两种规则校核皆说明计算结果正确。mmmmxnmmlii737.22000067.20001174.22000111mmmmmmxlviiii003. 0737.2200074.2200011111111mmAnmmvmmAnii005. 05 . 02003. 0001. 0, 55 . 02115 . 02111三、测量的标准差三、测量的标准差 由于值反映了测量值或随机误差的散布程度，因此值可作为随机误差的评定尺度。值愈大，函数 减小得越慢；值愈小，

10、 减小得愈快，即测量到的精密度愈高，如图2-2所示。)(f)(f 标准差不是测量列中任何一个具体测量值的随机误差，的大小只说明，在一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。在该条件下，任一单次测得值的随机误差，一般都不等于，但却认为这一系列测量列中所有测得值都属于同样一个标准差的概率分布。在不同条件下，对同一被测量进行两个系列的等精度测量，其标准差也不相同。 四、标准偏差的几种计算方法四、标准偏差的几种计算方法 （一）等精度测量列单次测量标准偏差的计算1 1、贝塞尔、贝塞尔(Bessel)(Bessel)公式公式 (2-13) 式中， 称为算术平均值误差，将它和 代入上式，则有 0Llii

11、0022011LxxlLxxlLxxlnnxLx)(0 xlviixnnxxvvv2211(2-14)将上式对应相加得 ： ，即(2-15)若将式(2-14)平方后再相加得：(2-16)将式(2-15)平方有：xniiniinv11nnvnniiniiniix111nixiniixxniiniinvvnv122121212221212122nnnnjijiniiniix当n适当大时，可以认为 趋近于零，并将代入式(2-16)得：(2-17) 由于 ，代入式(2-17)得 ： ，即(2-18)niji1nvniiniinii121212212nniiniivn122212nvi多次测量的测量列算

12、术平均值的标准差多次测量的测量列算术平均值的标准差 在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠的评定标准。由式(2-8)已知算术平均值 为： 取方差得 因 故有xnlllxn21)()()(1)(212nlDlDlDnxD)()()()(21lDlDlDlDn)(1)(1)(2lDnlnDnxDnx22nx(2-21) 增加测量次数，可以提高测量精度，但测量精度是与n的平方根成反比，因此要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动。由图2-3可知, 一定时，当n10以后， 减小很慢。此外，由于增加测量次数难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差，因此一般情况下取n

13、=10以内较为适宜。总之，提高测量精度，应采取适当精度的仪器，选取适当的测量次数。 x2 2、别捷尔斯法、别捷尔斯法 由贝赛尔公式得： 进一步得： 则平均误差有： 由式2-6得：故有： (2-26) 此式称为别捷尔斯（Peters）公式，它可由残余误差 的绝对值之和求出单次测量的标准差 ，而算术平均值的标准差 为：(2-27)nnvniii1221niiniivnn12121111nnvniiniiniiniivnnn11)1(1253. 17979. 01) 1(253. 1nnvi1253.11nnvniixvx 例例2-42-4 用别捷尔斯法求得表2-3的标准差。 解：mmmmmmmmz

14、0104. 011010250. 0253. 10330. 011010250. 0253. 1)(mmli)(mmvimmx045.75序号1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.080.0350.0050.0250.0450.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225 2101200825. 0mmvii)(2mmvi32表0101

15、iiv250.0101iiv3 3、极差法、极差法 用贝赛尔公式和别捷尔斯公式计算标准差均需先求算术平均值，再求残余误差，然后进行其他运算，计算过程比较复杂。当要求简便迅速算出标准差时，可用极差法。 若等精度多次测量测得值 服从正态分布，在其中选取最大值 与最小值 ，则两者之差称为极差：(2-28) 根据极差的分布函数，可求出极差的数学期望为(2-29) 因 故可得 的无偏估计值，若仍以 表示，则有(2-30) nxxx,21maxxminxminmaxxxnnndE)()(nndEnnd 式中 的数值见表2-4。ndn2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

16、17 18 19 201.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74nd42表08. 309. 000.7509.7510minmaxdmmmmmmllnmmmmdn0292.008.309.010 4 4、最大误差法、最大误差法 在某些情况下，我们可以知道被测量的真值或满足规定精度的用来代替真值使用的量值（称为实际值或约定值），因而能够算出随机误差 ，取其中绝对值最大的一个值 ，当各个独立测量值服从正态分布时，则可求得关系式：(2-31) 一般情况下，

17、被测量的真值为未知，不能按（2-31）式求标准差，应按最大残余误差 进行计算，其关系式为：(2-32) 式（2-31）和（2-32）中两系数 、 的倒数见表2-5。max|1inKmaxiimax|ivmax|1invKnKnK 最大误差法简单、迅速、方便，且容易掌握，因而有广泛用途。当 时，最大误差法具有一定精度。10nnK1nK1n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 0.50 0.49n16 17 18 19 20 21 22

18、23 24 25 26 27 28 29 300.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43n2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 301.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44nK152 表例例2-62-6 仍用表2-3的测量数据，按最大误差法求标准差，则有 ，而 故标准差为m63299130. 0m63299144. 0mmm8101463299144. 063299130. 025.

19、111KmmK7811075. 1101425. 1mmvi045. 0max57.0110KmmmmKvi0256. 0045. 057. 010max5 5、四种计算方法的优缺点、四种计算方法的优缺点 贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦，需要乘方和开方等，其计算速度难于满足快速自动化测量的需要； 别捷尔斯公式最早用于前苏联列宁格勒附近的普尔科夫天文台，它的计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍； 用极差法计算，非常迅速方便，可用来作为校对公式，当n10时可用来计算，此时计算精度高于贝氏公式； 用最大误差法计算更为简捷，容易掌握，当n50n50）用）用33准则最简单方

20、便，虽然准则最简单方便，虽然这种判别准则的可靠性不高，但它使用简便，不需要查表，这种判别准则的可靠性不高，但它使用简便，不需要查表，故在要求不高时经常使用；故在要求不高时经常使用； 30n50 30n50情形，用格拉布斯准则效果较好；情形，用格拉布斯准则效果较好；3n303n30情情形，用格拉布斯准则适于剔除一个异常值形，用格拉布斯准则适于剔除一个异常值； 用狄克松准则适于剔除一个以上异常值。用狄克松准则适于剔除一个以上异常值。 当测量次数比较小时，也可根据情况采用罗曼诺夫斯基当测量次数比较小时，也可根据情况采用罗曼诺夫斯基准则准则 。 在较为精密的实验场合，可以选用格拉布斯准则在较为精密的实

21、验场合，可以选用格拉布斯准则和狄克松准则同时判断，当一致认为某值应剔除或保和狄克松准则同时判断，当一致认为某值应剔除或保留时，则可以放心地加以剔除或保留。当几种方法的留时，则可以放心地加以剔除或保留。当几种方法的判断结果有矛盾时，则应慎重考虑，一般以不剔除为判断结果有矛盾时，则应慎重考虑，一般以不剔除为妥。因为留下某个怀疑的数据后算出的妥。因为留下某个怀疑的数据后算出的只是偏大一只是偏大一点，这样较为安全。另外，可以再增添测量次数，以点，这样较为安全。另外，可以再增添测量次数，以消除或减少它对平均值的影响。消除或减少它对平均值的影响。 三类测量误差的特点各异，因而处理的方三类测量误差的特点各异

22、，因而处理的方法也有较大差别。现简单归纳如下：法也有较大差别。现简单归纳如下： 随机误差具有抵偿性，这是它最本随机误差具有抵偿性，这是它最本质的特性，算术均值和标准差是表示测量结质的特性，算术均值和标准差是表示测量结果的两个主要统计量；果的两个主要统计量； 系统误差不具有抵偿性，因而会影响算系统误差不具有抵偿性，因而会影响算术均值，变化的系统误差还影响标准差；术均值，变化的系统误差还影响标准差； 粗大误差则存在于个别的可疑数据中，粗大误差则存在于个别的可疑数据中，也会影响算术均值和标准差。也会影响算术均值和标准差。三类误差小节 随机误差服从统计规律，是无法消除的，随机误差服从统计规律，是无法消

23、除的，但通过适当增加测量次数可提高测量精度；但通过适当增加测量次数可提高测量精度； 系统误差则是有确定性规律，在掌握这个规系统误差则是有确定性规律，在掌握这个规律后，可以采取适当的措施消除或减小它；律后，可以采取适当的措施消除或减小它； 粗大误差既违背统计规律，又违背确定性规粗大误差既违背统计规律，又违背确定性规律，可用统计的方法判断后剔除。律，可用统计的方法判断后剔除。三类误差小节 当当处理一组测量数据，先找出个别可疑数处理一组测量数据，先找出个别可疑数据，经统计判断确认无粗大误差后，再用适当的据，经统计判断确认无粗大误差后，再用适当的方法检验数据中是否含有明显的系统误差，如确方法检验数据中

24、是否含有明显的系统误差，如确认已无系统误差，最后处理随机误差，认已无系统误差，最后处理随机误差，计算计算算术算术平均值、标准差及极限误差，以正确的表达方式平均值、标准差及极限误差，以正确的表达方式给出测量结果。给出测量结果。 三类误差小节第四节 测量结果的数据处理实例序号1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212131314141515 200.7200.6200.5201.0200.8200.9200.6201.9200.7200.8200.6200.7200.5200.6200.8-0.08-0.18-0.280.220.020.12-0.181.12-

25、0.080.02-0.18-0.08-0.28-0.180.020.00640.03240.07840.04840.00040.01440.03241.25440.00640.00040.03240.00640.07840.03240.00040-0.1-0.20.30.10.2-0.100.1-0.10-0.2-0.10.10 0.010.040.090.010.040.0100.010.0100.040.010.01v2804112.iiv73011151.iiP62411512.iiv0151iiv2vv2vl一、等精度直接测量的数据处理一、等精度直接测量的数据处理 例例1 1：用一功率

26、计对某激光器的输出功率进行等精度测量，测量结果见下表(单位：mW)。已知功率计的系统误差为0.2mW，除此以外无其它系统误差。求测量结果。（要求置信概率为99.73%）第四节 测量结果的数据处理实例序号123456789101112v2vv2vl25.6425.6525.6225.4025.6725.6325.6625.6425.6325.6625.6425.600.020.030-0.220.050.010.040.020.010.040.02-0.020.00040.000900.04840.00250.00010.00160.00040.00010.00160.00040.000400.01-0.02 0.03-0.010.020-0.010.020-0.0400.00010.0004 0.00090.00010.000400.00010.000400.001600404112.iiv44307211.iix056801512.iiv0211iiv一、等精度直接测量的数据处理一、等精度直接测量的数据处理 例例2 2：对某量进行12次测量，测量值如下：（单位：mm)。25.64,25.65,25.62,25.40,25.67,25.63,25.66