第4章 机械振动

1、1第第4 4章章 机械振动机械振动4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征4-2 4-2 谐振动的运动学谐振动的运动学4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量4-4 4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成4-5 4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振 2 狭义振动：狭义振动：物体在一固定位置附近作来回的往复物体在一固定位置附近作来回的往复 运动，称为运动，称为机械振动。机械振动。广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量(如位移、电流等如位移、电流等) 在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。振动中最简单最基本的是简谐振动振动中最简单最基本的是简谐振动。

2、3回上页回上页下一页下一页回首页回首页4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，其偏离平衡：一个作往复运动的物体，其偏离平衡位置的位移位置的位移x（或角位移或角位移 ）随时间）随时间t按余弦（或正按余弦（或正弦）规律变化的振动。弦）规律变化的振动。)tcos(Ax0 4一、几个谐振动的实例一、几个谐振动的实例、弹簧振子、弹簧振子构成：构成：轻质弹簧与刚体联结轻质弹簧与刚体联结条件：条件：位移在弹性限度内，位移在弹性限度内，无阻尼时的自由振动无阻尼时的自由振动 阻尼：阻尼： 干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射自由

3、振动：自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动指系统只受外界一次性扰动，而后的运动只在系只在系 统内部回复力作用下运动。统内部回复力作用下运动。X0回上页回上页下一页下一页回首页回首页5（1 1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点：平衡位置：平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原点。原点。（3 3）惯性的作用）惯性的作用整个系统是在内部线性回复力和惯性的交互作用下来实现振动的。整个系统是在内部线性回复力和惯性的交互作用下来实现振动的。 回复力与位移正比而反回复力与位移正比而反向（线性回复力），即向（线性回复力），即 （2 2）弹

4、性回复力的特点：）弹性回复力的特点：此处位移特指系统偏离平衡位置的此处位移特指系统偏离平衡位置的位移位移。F= -kx X0 xFK回上页回上页下一页下一页回首页回首页6（4 4）弹簧振子的运动微分方程）弹簧振子的运动微分方程mk2令0222xdtxd则得kxdtxdm22)cos(0tAx解微分方程得：解微分方程得：回上页回上页下一页下一页回首页回首页以振子为对象以振子为对象, , 由牛顿定律：由牛顿定律：7（1 1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点： 铅直位置为角平衡位置，铅直位置为角平衡位置，o o为角坐标为角坐标原点。原点。（2 2）回复力矩的特点：）回复力矩的特点： 重力对过

5、悬点重力对过悬点0/0/的水平轴的力矩为的水平轴的力矩为：sinmglM 负号表示力矩方向始终与角位置方负号表示力矩方向始终与角位置方向相反向相反0:,(5 )构成 一端固定的不可伸长的轻绳与质点固联条件 在重力作用下 在竖直平面内作小角度的摆动、单摆、单摆olRo/o0lgmT/o0回上页回上页下一页下一页回首页回首页8根据麦克劳林展开根据麦克劳林展开 53! 51! 31sin略去高阶无穷小后略去高阶无穷小后mglM（3 3）惯性的作用：）惯性的作用：此处的惯性指摆球对过 0 的水平轴的 转动惯量 Iml2 即回复力矩与角位移正比而反向。即回复力矩与角位移正比而反向。 回上页回上页下一页下

6、一页回首页回首页9（4 4）单摆的运动微分方程）单摆的运动微分方程由定轴转动的转动定律：由定轴转动的转动定律：mgldtdml222 令 2gl 0222dtd则得方程的解为00cost回上页回上页下一页下一页回首页回首页102 2）复摆运动微分方程）复摆运动微分方程 、复、复 摆摆Imgh2令0222dtd则得sinmghMmghM式中式中h指质心到悬点的距离指质心到悬点的距离mghdtdI22由定轴转动的转动定律：由定轴转动的转动定律：方程的解为方程的解为00cost chmg回上页回上页下一页下一页回首页回首页1 1）定义：）定义：构成：刚体绕水平光滑轴转动构成：刚体绕水平光滑轴转动条件

7、：同单摆条件：同单摆11二、简谐振动的特征二、简谐振动的特征1、动力学特征：、动力学特征：0222xdtxd其谐振动的微分方程其谐振动的微分方程：2、运动学特征：、运动学特征：谐振动的运动学方程谐振动的运动学方程)cos(0tAx式中式中A A、 是由初始条件所决定的两个积分常数是由初始条件所决定的两个积分常数 0振动系统所受的力是线性回复力（力矩）振动系统所受的力是线性回复力（力矩）物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数回上页回上页下一页下一页回首页回首页F= -kx Mmgl mghM12 例例1 1: : 弹簧下面悬挂一物体，不计

8、弹弹簧下面悬挂一物体，不计弹簧重量和阻力，试证其在平衡位置附近簧重量和阻力，试证其在平衡位置附近的振动是谐振动。的振动是谐振动。 证：证：以平衡位置以平衡位置A A为原点，向下为为原点，向下为x x轴正向，轴正向， 设某一瞬时设某一瞬时m m的坐标为的坐标为x x，则物体在振动过程中的运动微分方程则物体在振动过程中的运动微分方程为为mglxkdtxdm)(22mglk因为,22kxdtxdm0222xdtxd即有： 这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与坐标原点移至恒力作用下新的平

9、衡位置，该系统仍是一个与原系统动力学特征相同的谐振子系统。原系统动力学特征相同的谐振子系统。xAx0mgF回上页回上页下一页下一页回首页回首页式中式中 是弹簧挂上重物后的静伸长是弹簧挂上重物后的静伸长 l13一、谐振动的运动学方程一、谐振动的运动学方程以弹簧振子为例，其动力学方程为以弹簧振子为例，其动力学方程为0222xdtxd该方程的解该方程的解0costAx即为谐振动的运动学方程即为谐振动的运动学方程式中式中A和和0为由初始条件所决定的两个积分常数。为由初始条件所决定的两个积分常数。回上页回上页下一页下一页回首页回首页4- 2 4- 2 谐振动的运动学谐振动的运动学xtAdtdvatAdt

10、dxv2020)cos()sin(14二、描述谐振动的三个物理量二、描述谐振动的三个物理量 1、振幅、振幅A由初始条件由初始条件x0、v0决定决定)sin()cos(00tAVtAx 令 t=0 则 )2() 1 (sincos0000AVAx 222122020VxA得（1 1）周期）周期T T：完成一次完全振动所需的时间完成一次完全振动所需的时间2、周期、周期T（频率频率 、圆频率、圆频率 、固有圆频率）固有圆频率）)cos(0tAx0cos()At T)2cos(0tA2 T2T或回上页回上页下一页下一页回首页回首页15(3)(3)圆频率圆频率 ： 秒内完成的完全振动的次数秒内完成的完全

11、振动的次数固有角频率固有角频率Imghmklg222复摆弹簧振子单摆回上页回上页下一页下一页回首页回首页(2)(2)频率频率 ：单位时间内所完成的完全振动的次数单位时间内所完成的完全振动的次数21T即固有振动周期固有振动周期mghITkmTglT222(4)(4)固有圆频率：固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定的频率仅由振动系统的力学性质所决定的频率16 3、位相：、位相： 位相是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指月相之位相是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指月相之相相取其具有周期性。）取其具有周期性。） )sin()cos(100tAvtAx能确定系统运动状态，而又能反映其周

12、期性特征的是 0t (位位置；相变化的态势）回上页回上页下一页下一页回首页回首页(0,2 )(, )or 0000sincosAvAx000 xvtg取使x0 、 v0 均满足的值 170sin0cos0000AvAx200sincos0000AvAAx0X0v t=0时, x0=0, v00vX0v t=0时, x0=-A, v0=0-A回上页回上页下一页下一页用分析法确定特殊情况下的位相用分析法确定特殊情况下的位相0sincos0000AvAAx00v t=0 时，x0=A, v0=0. X0X0=+A180sin2cos0000AvAAx30X0 A2v t=0时, x0=A/2, v0

13、01900AXoXo txXo-AXoAXo2/002/30 tx20 tx tx tx) 2/() 0(020谐振动的速度，加速度特点谐振动的速度，加速度特点)sin()cos(00tAvtAx由22xAv说明：说明：（i）位移最大处 vnim 0 ，平衡位置处 Avmax 2)2)加速度特征：加速度特征：1)1)速度特征：速度特征：xtAdtxda20222)cos(说明：说明：（i）在位移最大处Aamax2 ，平衡位置处anim 0 （ii） xa （ii） “”表示对应于每一个坐标值，有两种可能的方向回上页回上页下一页下一页回首页回首页2154 . 02 5 )( cmAa解102 .

14、 02 3 )( cmAb例例2: 振动曲线如图振动曲线如图( (a)(b)a)(b)所示，写出它们的振动方程。所示，写出它们的振动方程。500.40.60.2t (s)x(cm)(a)300.20.30.1t (s)X(cm)(b)回上页回上页下一页下一页回首页回首页 时，otAxcmtXa)5cos(50 a0, 0时0 00v，xtcmtXb)2310cos(3)2( 23或22解：解：2A55222sin(5/2)2cos(5 )2cos(5)xttt 015t2sin(5/2)xt已知谐振子的振动方程为已知谐振子的振动方程为 (SI), 求振幅、圆频率、频率、初位相、以及求振幅、圆频

15、率、频率、初位相、以及t=1s时的位时的位相。相。23例例3: 如图，倔强系数为的直立弹簧下端固定，上端与物块如图，倔强系数为的直立弹簧下端固定，上端与物块相连，另一物块在离为相连，另一物块在离为h h高处自由落下与发生完全非弹性高处自由落下与发生完全非弹性碰撞，设两物块质量均为碰撞，设两物块质量均为m m 试写出该系统的振动表达式试写出该系统的振动表达式使两物块碰后能一起振动而不分离时使两物块碰后能一起振动而不分离时h h的最大值的最大值解：B 物下落 h 时末速ghv2 B、C 发生完全非弹性碰撞， 动量守恒：mVmv2 以以B B，C C均压在弹簧上静平衡为坐标原点，向下为均压在弹簧上静

16、平衡为坐标原点，向下为x x轴正向，轴正向，B B，C C发生碰撞完结瞬时开始计，则该谐振动系的初始条件为：发生碰撞完结瞬时开始计，则该谐振动系的初始条件为：2ghV 得20ghv kmgx0BChK回上页回上页下一页下一页回首页回首页24mk2式中因此系统振动表达式为因此系统振动表达式为222cos2m gmghkkhxtarctgkkmmggkmghkgmmkgA222222222224kgmkmghkgm3mghk得kmghkgmvxA2222020则第三象限mgkhxvtg00两物竖直方向向下运动时的加速度不能大于两物竖直方向向下运动时的加速度不能大于g g即：即：回上页回上页下一页下

17、一页回首页回首页25例例4:一质量为一质量为M M的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是1212cmcm，在距平衡位置在距平衡位置6 6cmcm处速度是处速度是2424cm/scm/s，求：求：（1 1）周期）周期T T； （2 2）当速度是当速度是1212cm/scm/s时的位移。时的位移。解解（1）22xAv22xAv代入有关数值代入有关数值3 . 206. 012. 024. 0227 . 32T（2）mvAx108. 03 . 212. 012. 02222回上页回上页下一页下一页回首页回首页26例例5: 有一轻弹簧，当下端挂一个质量有一轻弹簧，当

18、下端挂一个质量1 11010的物体而平衡的物体而平衡时，伸长量为时，伸长量为4.94.9用这个弹簧和质量用这个弹簧和质量2 21616的物体连的物体连成一弹簧振子若取平衡位置为原点，向上为轴的正方向将成一弹簧振子若取平衡位置为原点，向上为轴的正方向将2 2从平衡位置向下拉从平衡位置向下拉 2 2后，给予向上的初速度后，给予向上的初速度0 05 5 cm/s cm/s 并开始计时，试求并开始计时，试求2 2的振动周期和振动的数值表达式的振动周期和振动的数值表达式 220.56mTsk211.2/krad sm 取下取下1 1挂上挂上2 2后后回上页回上页下一页下一页回首页回首页 l 1g 1 g

19、/ l 2 () 解：设弹簧的原长为解：设弹簧的原长为 ，悬挂悬挂1 1后伸长后伸长 ， 则则 l0l27时， 0210-2m 0510-2ms-1mvxA220201005. 2)/(解得 tg-1（00）12.6 或在第三象限， 0 18012.6 振动表达式为 2.0510-2cos（11.22.92） （） 应取 0 180+12.6192.63.36 rad 也可写成 0 2.92 rad回上页回上页下一页下一页回首页回首页28三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tA0cos()xAtoX29回上页回上页下一页下一页回首页回首页

20、参考圆、参考点：参考圆、参考点：(1) (1) 所谓参考圆：指旋转矢量旋转一周时矢量端点的轨迹；所谓参考圆：指旋转矢量旋转一周时矢量端点的轨迹；而矢量的端点则谓之参考点。而矢量的端点则谓之参考点。参考点在坐标轴上的投影才是谐振动参考点在坐标轴上的投影才是谐振动（2 2）利用参考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限）利用参考点在参考圆中的位置来判断振动位相所在的象限由图可知由图可知: : x0, v0 , 在第 I象限 x0, v0 , 在第象限 x0 , 在第 III象限 x0, v0 , 在第象限 X1x4x2x3x12341v2v3v4v30位相差位相差两个振动在同一时刻两个振动在同

21、一时刻t t的的位相差位相差=2-1=(2t+20)-(1t+10)=(2-1)t+(20-10)x1=A1cos(1t+10) x2=A2cos(2t+20)1 1）两个简谐振动的位相差两个简谐振动的位相差若若1=2，回上页回上页下一页下一页回首页回首页则则=20-10当当 =2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相当当 = (2k+1) , 两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相0 2 超前于超前于1 或或 1 滞后于滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 31一个谐振动从一个谐振动从一个状态到另一个状

22、态一个状态到另一个状态经历的时间间隔为经历的时间间隔为 t=t2t1= T 22 2）同一振动在不同时刻的位相差同一振动在不同时刻的位相差同一振动在同一振动在t1t1、t2t2时刻的位相差为时刻的位相差为 =(t2+0)-(t1+0)=(t2-t1) 32用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相33200cos()cos()maAtat 0cos()xAt00sin()cos()2mvAtvt 谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTa vx. . .x v aT/4T/434)2cos( t

23、vvmx)2cos( tAcos()xmaat2cos()At由图可见：由图可见：2 va超前超前2 xv超前超前x t+ o Amv ma 09009035例例6:一质点作简谐振动的圆频率为一质点作简谐振动的圆频率为 ，振幅为振幅为A，当，当t=0时质时质点位于点位于 x=A2 处，且向处，且向X轴正方向运动，试画出此振动的旋轴正方向运动，试画出此振动的旋转矢量图。转矢量图。解：由已知条件可知，解：由已知条件可知，t=0时，时，0sincos2100tAvtAAx与之与之对应的初位相角在第四象限对应的初位相角在第四象限303036一、动能一、动能221mvEk)(2mk二、势能二、势能221

24、kxEP三、总能三、总能2max222212121mvAmkAEEEPk四、动能和势能在一个周期内的平均值四、动能和势能在一个周期内的平均值2cos121sin)2cos1 (21cos22回上页回上页下一页下一页回首页回首页)(sin210222tAm)(sin21022tkA)(cos21022tkA4- 3 4- 3 简谐振动的能量简谐振动的能量37同理平均势能同理平均势能2002241)(cos211 KAdttKATETPEkAEEPk21412221kAE Etx0 xx=Acost回上页回上页下一页下一页回首页回首页在一个周期在一个周期 T T 内的平均动能内的平均动能20022

25、41 )(sin211 KAdttKATETK38例例7: 谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于 ADACABAA22;23;2;4解：解：222212121kAkxmv222121kxmv 而题知22212121kAkx DAx即应选于是,22回上页回上页下一页下一页回首页回首页39例例8: 一物体质量为一物体质量为 0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的倔强系数簧的倔强系数 k=25Nm-1，如果起始振动具有势能如果起始振动具有势能 0.06J 和动能和动能 0.02J，求（求（1）振幅；（）振幅；（2

26、）经过平衡位置时物体的速度。）经过平衡位置时物体的速度。解（解（1）221kAEEEpk（2）过平衡点时，）过平衡点时，x=0，此时动能等于总能量此时动能等于总能量221mvEEEpkmkEEApk08. 0/ )(2smmEEvpk/8 . 0/ )(240一、两个同方向、同频率谐振动的合成一、两个同方向、同频率谐振动的合成X1 = A1cos ( t+ 10) X2 = A2 cos ( t+ 20) 求： X X1 X2 1、 计算法计算法)cos()cos(20210121tAtAxxx202202101101sinsincoscos sinsincoscostAtAtAtA)sins

27、in(sin )coscos(cos202101202101AAtAAt02021010202101sinsinsin coscoscos AAAAAA令回上页回上页下一页下一页回首页回首页4- 4 4- 4 简谐振动的合成简谐振动的合成41 )tAcos( sinsincoscos 000tAtAx上式两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同频率的谐振动，其中是一个同频率的谐振动，其中回上页回上页下一页下一页回首页回首页合振幅 )cos(21020212221AAAAA初位相1102200110220sinsin coscosAAtgAA422、旋

28、转矢量合成法、旋转矢量合成法回上页回上页下一页下一页回首页回首页xy0A110A220A0 x1x2x1y2yy利用正切函数求得合振动的初位相.两振动频率相同，则它们的两振动频率相同，则它们的旋转矢量以相同的角速度旋转矢量以相同的角速度 旋转，故形成稳定的平形四旋转，故形成稳定的平形四边形。边形。利用矢量加法的平行四利用矢量加法的平行四边形法则，合振动的旋边形法则，合振动的旋转矢量为转矢量为A A合振幅 )cos(21020212221AAAAA初位相1102200110220sinsin coscosAAtgAA43振幅最大振幅最大 A Amaxmax=A A1 1+ +A A2 2振幅最小

29、振幅最小 A Aminmin= |= |A A1 1 A A2 2| |3、位相差对合振幅的影响、位相差对合振幅的影响2 , 1 , 0 2 )()(10201020kktt（1 1）若位相差）若位相差2 , 1 , 0 ) 12( kk（2 2）若位相差）若位相差（3 3）若位相差）若位相差 1020为其它任意值时为其它任意值时振幅振幅A A A AminminA A A Amaxmax回上页回上页下一页下一页回首页回首页44 例例9 两谐振动振动方程分别为两谐振动振动方程分别为,)610cos(31cmtx，求它们的合振动。cmtx)3210cos(42解解 这两个谐振动的位相差为这两个谐

30、振动的位相差为.2作旋转矢量图，利用旋转矢量合成作旋转矢量图，利用旋转矢量合成法，合振动为法，合振动为cmtgttAx)34610cos(5 )10cos(106034oxA回上页回上页下一页下一页回首页回首页45 )cos(212212221AAAAA2443而22221232AAAAAA合313143cos34cos43sin34sinAAAAtg解：设合振动为解：设合振动为则,costAx例例10: 两谐振动方程分别为两谐振动方程分别为43cos3,4cos21tAxtAx求它们的合振动。回上页回上页下一页下一页回首页回首页46v因两旋转矢量的角速度因两旋转矢量的角速度1，2 ，不相同，

31、平行四边形的形不相同，平行四边形的形状要发生变化，矢量状要发生变化，矢量A的大小也的大小也随之而变，出现了振幅有周期性随之而变，出现了振幅有周期性的变化。的变化。1、利用旋转矢量合成法、利用旋转矢量合成法二、同方向、不同频率两谐振动的合成二、同方向、不同频率两谐振动的合成拍拍回上页回上页下一页下一页回首页回首页1oxA22A1A47 因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小差因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小差别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而减别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而减弱的现象称为弱的现象称为拍拍。 合振动在单位时间内加强合振动

32、在单位时间内加强( (或减弱或减弱) )的次数称为的次数称为拍频。拍频。回上页回上页下一页下一页回首页回首页xt tx2t tx1t t482、拍振动表达式、拍振动表达式 设分振动为设分振动为)cos(011tAx)cos(022tAx2cos2cos2coscos2121122 coscos22xxxAtt3、拍频：指合振幅变化的频率、拍频：指合振幅变化的频率 余弦函数的周期应为余弦函数的周期应为2，但取但取绝对值后，周期为绝对值后，周期为，故合振幅故合振幅变化的周期变化的周期 121222T1212221T于是拍频为即即“拍频拍频”等于两个分振动频率之差等于两个分振动频率之差回上页回上页下

33、一页下一页回首页回首页494、“拍振动拍振动”的应用的应用 声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。 利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍振荡器等等。振荡器等等。5、同步锁模：、同步锁模：回上页回上页下一页下一页回首页回首页50 例例11一质点在一质点在X X轴上作简谐振动，振幅轴上作简谐振动，振幅A4cm，周期周期T2s，其平衡位置取作坐标原点。若其平衡位置取作坐标原点。若t0时质点第一次时质点第一次通过通过x2cm处且向处且向X轴负方向运动，则质点第二次通轴负方向运动，则质点第二次通过过x2cm

34、处的时刻为处的时刻为（A）1s；（B）（2/3）s；（C）（4/3）s；（D）2s。解：02cos000vAAx32002cosvAAx34Tt23234sT323选（B）回上页回上页下一页下一页回首页回首页51例例12一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示。振一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示。振子在位移为零，速度为子在位移为零，速度为A、加速度为零和弹性力为加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲上的零的状态，对应于曲上的点。振子处在位移点。振子处在位移的绝对值为的绝对值为A、速度为零、加速度为速度为零、加速度为2A和弹性力为和弹性力为KA的状态，则对曲线上的的状态，则对曲线上的点。点。tx

35、-Aabcde0Af答：当答：当x=0、a=0、F=0时：应为时：应为 0点，b点，d点，f点又又 v=-A, 则应为b点点, f点点当x=A、a=-2A 、v=0、F=-kA时：应为 a点点，e点点回上页回上页下一页下一页回首页回首页52例例13：三个同方向的简谐振动分别为：三个同方向的简谐振动分别为130.3cos(8)4xt20.4cos(8),4xt330.3cos(8).xt(1) 欲使欲使 x1 和和 x3 合成振幅为最大，则合成振幅为最大，则 应取何值？应取何值？ X13=?(2) 欲使欲使 x2 和和 x3 合成振幅为最小，则合成振幅为最小，则 应取何值？应取何值？ X23=?

36、33解解：（：（1）3341330.6cos(8)4xt354230.1cos(8)4xt（2）53一、一、 阻尼振动阻尼振动阻阻尼尼振振动动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用而减小，系统的动能转化为热能。作用而减小，系统的动能转化为热能。辐射阻尼辐射阻尼：振动以波的形式向外传播，使振动能量振动以波的形式向外传播，使振动能量向周围辐射出去。向周围辐射出去。4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振54阻尼振动的振动方程阻尼振动的振动方程（系统受到

37、弱介质阻力而衰减）（系统受到弱介质阻力而衰减）振子动力学方程振子动力学方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力rd xfvd t 022022 xdtdxdtxd mk 0 系统固有角频率系统固有角频率m2 阻尼系数阻尼系数弱介质阻力是指振子运动速度较低时，弱介质阻力是指振子运动速度较低时，介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比 阻力系数阻力系数55弱阻尼弱阻尼 每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。周期越接近于谐振动。0 )tcos(eAxt00 220 0220222 T阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振