第04章分子动理论

1、第四章第四章4.1 4.1 理想气体的压强和温度理想气体的压强和温度4.2 4.2 能均分定理能均分定理 理想气体的热力学能理想气体的热力学能4.3 4.3 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律4.1.1 热力学系统热力学系统 平衡态平衡态 状态参量状态参量 描述系统平衡状态的物理量描述系统平衡状态的物理量.状态参量状态参量平平 衡衡 态态系统内的各状态参量不随时间变化的状态系统内的各状态参量不随时间变化的状态.微观量：微观量：描述微观粒子个体属性的量，如微观粒子的速度、质描述微观粒子个体属性的量，如微观粒子的速度、质量等。量等。宏观量：宏观量：描述系统平衡态下整体属性，如描述系统平衡态下整体

2、属性，如压强压强P 体积体积V 温度温度T热力学系统：热力学系统：热力学的研究对象称为热力学系统，是由大量热力学的研究对象称为热力学系统，是由大量刚性分子构成的质点系，采取刚性分子构成的质点系，采取统计平均统计平均的方法研究其的方法研究其热运动宏热运动宏观微观观微观关系及规律。关系及规律。热平衡态：热平衡态：在外界条件一定的情况下，系统内部各处均匀一在外界条件一定的情况下，系统内部各处均匀一致，宏观性质不随时间致，宏观性质不随时间 t t 改变。改变。理想气体：理想气体：研究热力学系统的理想模型。研究热力学系统的理想模型。2理想气体的理想气体的微观力学模型微观力学模型 可视为质点，遵从牛顿运动

3、定律；可视为质点，遵从牛顿运动定律； A） 除碰撞外，分子之间以及分子与器壁之间都没有相除碰撞外，分子之间以及分子与器壁之间都没有相互作用；互作用；B）C）分子间以及分子与器壁间的碰撞是完全弹性碰撞分子间以及分子与器壁间的碰撞是完全弹性碰撞 在压强不太大、温度不太低的情况下，实际气体可在压强不太大、温度不太低的情况下，实际气体可近视看作理想气体近视看作理想气体 4.1.2 理想气体模型理想气体模型1理想气体模型理想气体模型 （宏观性质）（宏观性质） 在任何情况下满足三大实验在任何情况下满足三大实验定律的气体定律的气体（理想气体状态方程）（理想气体状态方程）.玻意耳定理玻意耳定理盖盖吕萨克定律吕

4、萨克定律查理定律查理定律 4.1.3 理想气体状态方程理想气体状态方程根据大量实验定律总结得到：根据大量实验定律总结得到：平衡态下，理想气体各宏观量满足理想气体状态方程平衡态下，理想气体各宏观量满足理想气体状态方程vRTRTMPV11KmolJ318.RRM 普适常数普适常数摩尔质量摩尔质量 气体质量气体质量摩尔数摩尔数v1沿空间各方向运动的分子数目是相等的；沿空间各方向运动的分子数目是相等的；结论结论 2一个体积元中飞向前、后、左、右、上、下一个体积元中飞向前、后、左、右、上、下的分子数的分子数 各为各为16； 3分子速度在各个方向上的分量的各种平均值分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相

5、等，例如相等，例如0 zyxvvv222231vvvvzyx 4.1.3 统计假设统计假设 气体处于平衡状态时，在没有外力场的条件下，气体处于平衡状态时，在没有外力场的条件下，分子向每一个方向运动的可能性是相同的，容器中任分子向每一个方向运动的可能性是相同的，容器中任一位置处单位体积内的分子数目相同一位置处单位体积内的分子数目相同4.1.5 理想气体的压强理想气体的压强 设边长为设边长为 l 的正方形容器中有的正方形容器中有N 个分子每个个分子每个分子的质量为分子的质量为m ，第，第i 个分子的速度为个分子的速度为 , 其分其分量为量为iviziyixvvv2222iziyixivvvv xy

6、z1A2Aivm 碰撞后的速度分量为碰撞后的速度分量为iziyixvvv 分子动量的增量为分子动量的增量为ixixixmvmvmv2分子在碰撞中对分子在碰撞中对A1面的冲量为面的冲量为ixmv2与与A1面发生两次连续碰撞所需要的时间为面发生两次连续碰撞所需要的时间为ixvl 2单位时间内碰撞的次数为单位时间内碰撞的次数为lvix2单位时间内第单位时间内第 i 个分子个分子作用于作用于A1面的总冲量为面的总冲量为lmvmvlvixixix222 xyz1A2AivmlmvFixi2 第第 i 个分子作个分子作用于用于A1面的平面的平均冲力均冲力 一个（或少量）分子施于一个（或少量）分子施于A1面

7、的冲力是间歇的，面的冲力是间歇的，对于对于N个分子，个分子， A1面所受到的各分子的冲力之和为：面所受到的各分子的冲力之和为：NiixNiixNiivlmlmvFF12121212xNiixvlNmNvlNm式中式中 表示容器中表示容器中N个分子在个分子在 x 轴方向的速轴方向的速度分量平方的平均值（简称度分量平方的平均值（简称方均值方均值）统计平均量统计平均量 NiixxNvv122NvNvNvNvvNiizNiiyNiixNii 121212122222zyxvvv 由统计假设有由统计假设有222zyxvvv 所以所以2231vvx A1 面所受到面所受到的压强为的压强为分子数密度分子数密

8、度221xvlmNlSFP2xvnm 231vnm 3lNn 理想气体的压强公式（压强的微观解释）理想气体的压强公式（压强的微观解释）式中式中平均平动动能（统计平均值）平均平动动能（统计平均值）231vnmP nvmnP32)21(322或或221vm 压强公式反映了宏观与微观之间的关系，是微观量的统计平压强公式反映了宏观与微观之间的关系，是微观量的统计平均结果。均结果。设设气体分子的总个数为气体分子的总个数为N ， No 为阿佛加德罗常数为阿佛加德罗常数4.1.6 理想气体的温度理想气体的温度RTPVnkTTNRVNP0玻耳玻耳兹曼常数兹曼常数式中式中0NRk 231038.1 k1KJ 因

9、为因为nP32nkTP 所以所以kT23 kT32 结结 论论 宏观量宏观量 T 是标是标志分子热运动剧烈程度志分子热运动剧烈程度的物理量，分子无规则的物理量，分子无规则运动越剧烈，气体的温运动越剧烈，气体的温度越高度越高理想气体的热力学温度理想气体的热力学温度T 与气体分子的平均平动动与气体分子的平均平动动能成正比。能成正比。 在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小在同一温度下，质量大的分子其方均根速率小kTvm23212 kTmv32 RTkTmv 332 方均根速率方均根速率对应气体系统的平均平动动能对应气体系统的平均平动动能解：解：氢气和氧气分子的平均平动动能相同氢气和氧气分子的平均

10、平动动能相同例例 求求00时氢气分子和氧气分子的平均平动动时氢气分子和氧气分子的平均平动动能和方均根速率能和方均根速率 molkg1032 molkg1002. 2K15.2733o3H22T）（J1065. 515.2731038. 123232123kT氢气的方均根速率为氢气的方均根速率为)s(m18401002. 215.27331. 833132H2RTv氧气的方均根速率氧气的方均根速率）（132Osm4611000.3215.27331. 8332RTv第一宇宙速度第一宇宙速度 7900ms第二宇宙速度第二宇宙速度11200ms4.2 能均分定理能均分定理 理想气体的热力学能理想气体

11、的热力学能 1 自由度自由度 2 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 3 理想气体的热力学能理想气体的热力学能 4.2.1 自由度自由度 定义定义 确定一个物体在空间的位置需要引入的确定一个物体在空间的位置需要引入的独立坐标的数目独立坐标的数目叫该物体的叫该物体的自由度自由度 单原子分子单原子分子 三个平动三个平动 x y z 双原子分子双原子分子 三个三个平动平动 x y z 二个转动二个转动）1coscoscos222 （因为（因为三原子以上分子三原子以上分子 三个三个平动平动 x y z 三个转动三个转动 说明说明 经典理论中，不考虑振动自由度经典理论中，不考虑振动自由度 4.2.

12、2 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 理想气体分子的平均平动动能是理想气体分子的平均平动动能是kTvm23212 2222zyxvvvv 式中式中在平衡态下在平衡态下222231vvvvzyx 因此因此kTvmvmvmvmzyx21)21(312121212222 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理 在温度为在温度为T 的平衡态下，气体分子每个的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都等于自由度的平均动能都等于kT214.2.3 理想气体的热力学能（气体内能）理想气体的热力学能（气体内能） 气体的气体的热力学能热力学能是指它所包含的所有分子的是指它所包含的所有分子的动能动能和分子

13、间因和分子间因相互作用而具有的相互作用而具有的势能势能的的总和总和定义定义 对于理想气体，对于理想气体，由于分子间的相互作用力可由于分子间的相互作用力可以忽略不计，所以，以忽略不计，所以，其热力学能其热力学能就是它的所有分就是它的所有分子的子的动能动能之和之和 设某种气体分子的自由度为设某种气体分子的自由度为 i ，则，则一个分子一个分子的平均动能为的平均动能为 理想气体的热力学能理想气体的热力学能kTi2（2）质量为）质量为M，摩尔质量，摩尔质量为为 的理想气体的热力学能的理想气体的热力学能为为RTiME2 （1）一摩尔理想气体的）一摩尔理想气体的热力学能为热力学能为RTikTNiE2200

14、 单原子分子单原子分子双原子分子双原子分子RTE25多原子分子多原子分子RTE3RTE23温度改变温度改变T = T2 T1 ，理想气体的内能变化为：理想气体的内能变化为：)(212TTRiETRi2热力学能和机械能的区别热力学能和机械能的区别 物体的机械能的大小与参照系及势能零点的物体的机械能的大小与参照系及势能零点的选择有关，可以为零；选择有关，可以为零； 物体内部的分子永远处于运动中，其热力物体内部的分子永远处于运动中，其热力学能永远不等于零（学能永远不等于零（绝对零度不可达绝对零度不可达）结结 论论一定质量的某种理想气体的热力学能完全决定于一定质量的某种理想气体的热力学能完全决定于气体

15、的热力学温度气体的热力学温度T，与气体的压强和体积无关，与气体的压强和体积无关一定质量的理想气体在不同的状态变化过程中，一定质量的理想气体在不同的状态变化过程中，只要温度的变化量相等，那么它的热力学能的变化量只要温度的变化量相等，那么它的热力学能的变化量也相同，而与过程无关也相同，而与过程无关例例 体积为体积为V =1. 20 10-2 m3 的容器中储有氧气的容器中储有氧气, 其压强其压强 p =8. 31 105Pa, 温度温度T =300 K ，求，求:（1）单位体积中的分单位体积中的分子数子数 ; （2）分子的平均平动动能；分子的平均平动动能；（3）气体的热力学气体的热力学能能(内能内

16、能). 解解（1）单位体积中的分子数为单位体积中的分子数为kTpn 3001038. 11031. 8235 )(m1000. 2326 （2）分子的平均分子的平均 平动动能为平动动能为kTkt23 3001038. 12323 ）（J1021. 621 ,2RTiME RTMpV pViE2 pV25 251020. 11031. 825 ）（J1049. 24 （3）设气体的热力学能为）设气体的热力学能为E 4.3 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律.1 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 .2 最概然速率最概然速率 平平 均速率均速率 方均根速率方均根速率 4.3.1 麦克斯韦速率分

17、布律麦克斯韦速率分布律 对于单个分子而言，其对于单个分子而言，其运动方向，大小都具有运动方向，大小都具有偶然偶然性性；对于大量分子而言，其；对于大量分子而言，其速率的分布却有其速率的分布却有其规律性规律性；偶然性偶然性 规律性规律性 1859 1859年，麦克斯韦从理论上年，麦克斯韦从理论上导出了气体分子的速率分布规律。导出了气体分子的速率分布规律。 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律1920 年斯特恩通过实验验证了这一规律年斯特恩通过实验验证了这一规律 速率在速率在 v 附近的附近的单位速率区间的分子数占分子总数的单位速率区间的分子数占分子总数的百分比百分比速率分布函数与图象的物理意义速率

18、分布函数与图象的物理意义1.麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 的数学表达式为的数学表达式为22232)2(4)(vekTmvfkTmv 2.以以v为横坐标，为横坐标，f (v)为纵坐标画出的曲为纵坐标画出的曲线叫做气体分子的线叫做气体分子的速率分布曲线速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线pv)(vfodvvvvf(v)dvNdN3.曲线下阴影部分曲线下阴影部分 面积面积1 （归一化）（归一化）4.速率很大和很小的分速率很大和很小的分子数很少，大部分分子子数很少，大部分分子具有中等速率具有中等速率 定义定义 速率分布曲线上，速率分布函数速率分布曲线上，速率分布函数f (v)的最大值对应的速率叫做的最大值对应的速率叫做最概然速率最概然速率4.3.2 最概然速率最概然速率 平均速率和方均根速率平均速率和方均根速率 1最概然速率最概然速率由数学知由数学知 0212)2(4)(22232ppvvkTmvvvkTmvvekTmdvvdf0212 kTmvp所以所以 RTRTmkTvp41.122即即物理意义物理意义 单位速率间隔比较，它表示在最概然速率附近的单位速率间隔比较，它表示在最概然速率附近的单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比最大单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比最大pv)(vfov2平均速率平均速率 定义