第25讲简谐振动的合成

1、 设一质点同时参与沿同一方向设一质点同时参与沿同一方向(x 轴轴)的两个独的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：合位移：合位移：22121220102cos()AAAA A合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。1102200110220sinsintgcoscosAAAA1110cos()xAt2220cos()xAt120cos()xxxAt其中其中矢量沿矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。轴之投影表征了合运动的规律。旋转矢量法旋转矢量法XO1Ar10202Ar12AAA=+rrr1x2xA

2、rx22121220102cos()AAAA A1.当两振动同相当两振动同相同相同相迭加，合振幅迭加，合振幅最大最大。21AAA20102012kk， ， ，tx1x2x讨论：讨论：2. .两振动反相两振动反相反相反相迭加，合振幅迭加，合振幅最小最小。21AAA2010(21)012kk， ， ，当当A1=A2 时，时，A=0。tx1x2x3.通常情况下，合振幅介于通常情况下，合振幅介于21AA 21AA 之间。之间。和和tx1x2x 例例1 求两个同方向同频率的简谐振动的合振幅求两个同方向同频率的简谐振动的合振幅)6cos()m103(21tx)3cos()m104(22tx2)6(312A

3、2221AAAm10520 x1A2A12)cos(212212221AAAAA 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方向同方向简谐运动的简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍拍. .合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分121122cos2cos2xxxAf tAf t21AA 2112ffff讨论讨论 , , 的情况的情况 21211(2cos2)cos222ffffxAtt11111coscos2xAtAft22222coscos2xAtAf t21xxx2122ffT211Tff2112cos22ffAA

4、tbeat21fff1max2AA0minA合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分21211(2cos2)cos222ffffxAtt拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）振幅振幅 振动频率振动频率12() 2avfff（拍在声学和无线电技术中的应用）（拍在声学和无线电技术中的应用）两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式消时间参数，得消时间参数，得 合运动一般是在合运动一般是在 ( x 向向)、 ( y 向向)范围内的一范围内的一个椭圆。个椭圆。 12A22A110cos()xAt220cos()yAt222201020102212122cos()si

5、n ()xyxyAAA A 椭圆的性质椭圆的性质( (方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋 ) )在在 A1 、A2确定之后确定之后, ,主要决定于主要决定于 。2010（1） 或或201002ff-=xAAy12（2） 2010ff-=xAAy12yxo1A2A1A2Aoxy讨论：讨论：222201020102212122cos()sin ()xyxyAAA AtAxcos1)2cos(2tAy（3）20102ff-= 1222212AyAx1A2Aoxy 用旋转矢量描绘振动合成图用旋转矢量描绘振动合成图10200QP .4243452347两相互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图两相

6、互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图方向垂直的不同频率的简谐振动的合成方向垂直的不同频率的简谐振动的合成 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小 可看作两频率相等而可看作两频率相等而 随随t 缓慢变化，合运动缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化轨迹将按上页图依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形-A2yxA1A2O- A1 两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比t )(120,42:3:1020yx1:21:32:3几幅典型的利萨如图形几幅典型的利萨如图形02323N2N0321xxxx0A练习练习 已知如下的三个简谐振动，已知如下的三个简谐振动，求求合振动合振动.tA

7、xcos11)32cos(22tAx)34cos(33tAx321xxx求求：321AAA已知已知321A2A3AOx3211Axo四、四、N N个同方向同频率简谐运动的合成个同方向同频率简谐运动的合成2A23A3)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAxA多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动 例例 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅求它们的合振动的振幅和初相。求它们的合振动的振幅和初相。 解解：采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开采用旋转矢量法可使

8、问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢个简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：量的合成如下图所示：taxcos120cos()xat30cos(2)xat0cos(1)NxatN振动表达式可写成振动表达式可写成:相等，初相分别为相等，初相分别为000023， ，依次差一个恒量依次差一个恒量0，OX1a2a3a4a5a0000CAM根据简单的几何关系，可得根据简单的几何关系，可得中各个矢量的起点和终点都在以中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上，为圆心的圆周上，因各个振动的振幅相同且相差依次恒为因各个振

9、动的振幅相同且相差依次恒为，上图，上图00OCMN令其半径为令其半径为R，0考虑到考虑到在三角形在三角形DOCM中中,OM 的长度就是和振动位移矢量的长度就是和振动位移矢量的位移的位移, ,角度角度就是合振动的初相，据此得就是合振动的初相，据此得MOX02 sin2NAR02 sin2aR00sin2sin2NAa0MOXCOXCOM 000111()()222NN合振动初位合振动初位相相可得合振动的表达式可得合振动的表达式0000sin12cos()cos()2sin2NNxAtat当当00时时( (同相合成同相合成) )，有，有ANa00 合振幅合振幅最大最大实际的振动比较复杂，可分解为不同频率的谐振动实际的振动比较复杂，可分解为不同频率的谐振动振动的分解振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。：把一个振动分解为若干个简谐振动。按傅里叶级数展开按傅里叶级数展开0nn1( )cos()(1 2 3)，nf tAAntn()( )x tTx t周期性函数周期性函数f若周期振动的频率为若周期振动的频率为 :