随机过程的统计特性估计、互相关函数、功率谱ppt课件

1、 本次课内容本次课内容随机过程的特征估计随机过程的特征估计随机过程的结合分布与相互关函数随机过程的结合分布与相互关函数随机过程的功率谱随机过程的功率谱6. 各态历经随机过程各态历经随机过程Ergodic random process1 1 随机过程的遍历性随机过程的遍历性ErgodicErgodic定义：对于平稳随机过程定义：对于平稳随机过程X(t)X(t)，假设有，假设有XPXmm 均值遍均值遍历性历性)()(XPXRR相关函数相关函数遍历性遍历性那么那么X(t)X(t)为遍历过程。为遍历过程。TTTXdttXTmilm)(21TTTXdttXtXTmilR)()(21)(Time aver

2、ageTime ACF各态历经性的解释：各态历经性的解释：TTTXdttXTmilm)(211( )()( )2TXTTRl i mX tX t dtT 对于遍历过程，由一条样本函数可确定过程的均值对于遍历过程，由一条样本函数可确定过程的均值Check YourselfConsider the process X(t)=A, where A is a random variable with zero mean and variance 2.Which of following is correct?X(t) is a wss RP and ergodic RPX(t) is a sss RP

3、 and ergodic RPX(t) is a sss RP and is not a ergodic RPX(t) is not a sss RP. but it is a ergodic RPNone of allA.B.C.D.E.Check YourselfConsider the process X(t)=A, where A is a random variable with zero mean and variance 2.Which of following is correct?X(t) is a wss RP and ergodic RPX(t) is a sss RP

4、and ergodic RPX(t) is a sss RP and is not a ergodic RPX(t) is not a sss RP. but it is a ergodic RPNone of allA.B.C.D.E.解、解、( )E X tE A2( )()E X t X tE A 平稳随平稳随机过程机过程1( )lim2TTTx tadtaT不是各态历经过程不是各态历经过程2 2 均值和自相关函数估计均值和自相关函数估计对各态历经过程，可以经过对一条样本函数的观测，对各态历经过程，可以经过对一条样本函数的观测，就可以估计出随机过程均值、方差和相关函数。就可以估计出随机过

5、程均值、方差和相关函数。TTXdttxTm)(21TTXdttxtxTR)()(21)(延续随机过程：延续随机过程：101( )NXnmx nN12201( )1NXXnx nmN101()( ) ()NmXnRmx n x nmNm随机序列：随机序列：(3) (3) 分布函数遍历性分布函数遍历性( )( )XFxP X tx1( )( )0( )X txY tX tx ( )1( )( )XE Y tP X txFxX(t)X(t)分布函数的遍历性等效于分布函数的遍历性等效于Y(t)Y(t)的均值遍历性的均值遍历性1( )( )( )22iTiXTtFxY tY t dtTTit是是X(t)

6、X(t)x x的时间间隔的时间间隔x1t2t3t( )x t123.( )( )2P xx txxf xxT xxx 123( )x t( )f xEstimation of PDFxxx 123t( )x t( )f x2.4 2.4 随机过程的结合分布与相互关函数随机过程的结合分布与相互关函数结合分布函数与结合概率密度结合分布函数与结合概率密度相互关函数及其性质相互关函数及其性质举例举例1. 结合分布函数和结合概率密度结合分布函数和结合概率密度 Joint distribution function and join probability densities ),(1111mmnnXYt

7、tyyttxxF)(,)(,)(,)(1111mmnnytYytYxtXxtXPn+mn+m维结合分布函数：维结合分布函数：),(1111mmnnXYttyyttxxfmnmmnnXYmnyyxxttyyttxxF111111),(n+mn+m维结合概率密度：维结合概率密度：平稳相依：平稳相依：假设假设X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)的结合统计特性不随时间起点的平移的结合统计特性不随时间起点的平移而变化，那么称而变化，那么称X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)是严厉结合平稳的是严厉结合平稳的(joint (joint strict sense stationary)strict sense

8、 stationary)。即。即 ),(1111mmnnXYttyyttxxf),(1111ctctyyctctxxfmmnnXY2. 相互关相互关Crosscorrelation函数及性质函数及性质 dxdyttyxxyftYtXEttRXYXY),()()(),(212121互协方差互协方差Crosscovariance函数函数)()()()(),(221121tmtYtmtXEttKYXXY)()(),(2121tmtmttRYXXY假设假设 ，那么，那么X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)正交；正交；假设假设 ，那么，那么X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)不相不相关；关；0),(21

9、ttRXY0),(21ttKXY那么称那么称X(t)与与Y(t)广义结合平稳广义结合平稳(jointly wide sense stationary)XXmtm)(YYmtm)(2121),(),(ttRttRXYXY假设假设)()(YXXYRR)()(YXXYKK相互关函数的性质：相互关函数的性质：假设假设X(t)X(t)与与Y(t)Y(t)是结合平稳的，那么是结合平稳的，那么 Z(t)= X(t)+Y(t) Z(t)= X(t)+Y(t)是平稳过是平稳过程，且程，且)()()()()(YXXYYXZRRRRR)0()0()(2YXXYRRR) 0() 0()(2YXXYRRR222)(YX

10、XYK)0()0()(2YXXYKKK3 3、相互关系数、相互关系数YXYXXYYXXYXYmmRKKKr)()0()0()()(又称归一化又称归一化互协方差函互协方差函数或规范互数或规范互协方差函数协方差函数例例2.14 2.14 设设解、解、)sin()(0ttX)cos()(0ttY001( )sin()sin()02E X tEttd 001 ( )cos()cos()02E Y tEttd YXXYXYmmttRttK),(),(2121)(sin)2sin(212102010ttttE0sin2121tt 其中其中0 0 为常数，为常数，在在(0(0，2 2) )上均匀分布，求互协

11、方上均匀分布，求互协方差函数。差函数。An Example of Signal Processing Determine the distance based on ACF.Consider a system (see Figure) where a signal source produces a random signal, being a realization of a stochastic process. 0( )()Y tX tt02Rtc00( ) ()( )()( )()XYXRE Y tX tE X tt X tRt ( )YXR0t 研讨题研讨题(课程论文：课程论文：A

12、Comparative Study of Time-Delay Estimation Techniques Using Microphone Arrays.随机过程的功率谱随机过程的功率谱2.5 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度Power Spectral Density, PSD)延续时间随机过程的功率谱延续时间随机过程的功率谱 定义定义 功率谱密度与相关函数关系功率谱密度与相关函数关系 功率谱的性质功率谱的性质随机序列的功率谱随机序列的功率谱随机过程的功率谱随机过程的功率谱1.1.定义定义Definition of PSD)Definition of PSD)dtetsStj)()

13、(频谱：频谱：回想频谱的概念回想频谱的概念2.5.1 2.5.1 延续时间信号的功率谱延续时间信号的功率谱dtts)(频谱存在的条件频谱存在的条件随机过程的功率谱随机过程的功率谱能量有限的信号称为能量型信号能量有限的信号称为能量型信号能量谱密度：能量谱密度：2)(SdSdttsE22)(21)(根据根据ParsevalParseval定理定理dtts)(2能谱密度存在的条件：能谱密度存在的条件：随机过程的功率谱随机过程的功率谱功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号21lim( )2TTTPx tdtT随机信号的样本函数能量是无限的随机信号的样本函数能量

14、是无限的, ,但功率往往是有限但功率往往是有限的的. .随机过程的功率谱随机过程的功率谱( )( )0iTix ttTxttT随机过程的样本函数及其截尾函数随机过程的样本函数及其截尾函数 ( )( )( )Tj tj tTiTiiTXxt edtx t edt 随机过程的功率谱随机过程的功率谱21( )lim( )2XiTiTGXT 1( )2iXiPGd随机变量随机变量22211lim( )lim( )2411lim( )22TiiTiTTTTiTPx t dtXdTTXdT随机过程的功率谱随机过程的功率谱2)(21lim)(TTXXTEGTTtjTdtetXX)()(定义随机过程的功率谱密

15、度为：定义随机过程的功率谱密度为：随机过程的功率谱随机过程的功率谱功率谱密度是从频域描画随机过程很重要的数字特征功率谱密度是从频域描画随机过程很重要的数字特征, ,表示单位频带内信号的频率分量耗费在单位电阻上的表示单位频带内信号的频率分量耗费在单位电阻上的平均功率的统计平均值平均功率的统计平均值. .缺陷缺陷: :不含相位信息不含相位信息随机过程的功率谱随机过程的功率谱2. 2. 功率谱密度与相关函数关系功率谱密度与相关函数关系deRGjXX)()(维纳辛钦定理维纳辛钦定理deGRjXX)(21)(条件条件: :( )XRd ( )XGd 平均功率有限平均功率有限要求均值为零要求均值为零随机过

16、程的功率谱随机过程的功率谱deGRjXX)(21)(1(0)( )2XXRGd平均功率平均功率随机过程的功率谱随机过程的功率谱由相关函数的性质由相关函数的性质: :0( )( )(cossin)2( )cosXXXGRjdRd 随机过程的功率谱随机过程的功率谱000)(2)(XXGF物理谱定义：物理谱定义：0( )4( )cosXXFRd 随机过程的功率谱随机过程的功率谱3. 3. 功率谱的性质功率谱的性质(3) (3) 相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱相关性与功率谱的关系为：相关性越弱，功率谱越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。越宽平；相关性越强，功率谱越陡窄。(1) (1) 假设随

17、机过程均值非零，那么功率谱在原点有一假设随机过程均值非零，那么功率谱在原点有一函数；函数； 假设含有周期分量，那么在相应的频率处有假设含有周期分量，那么在相应的频率处有函数；函数；(2) (2) 对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；函数；dGRXX)(21)0(总的平均功率总的平均功率随机过程的功率谱随机过程的功率谱022)1(2)1(22022)1(2)1(2220)(bbbaaacGnnnmmmX(4) (4) 随机过程的有理谱方式：随机过程的有理谱方式：性质：性质： nm;nm;*( )( )XXGG ( )XGs零、极点共轭成对零、

18、极点共轭成对随机过程的功率谱随机过程的功率谱jo oo oo oo oo oo oS S平面上能够的零、极点位置平面上能够的零、极点位置 随机过程的功率谱随机过程的功率谱)()()(XXXGGGnmXjjjjcG110)(nmXjjjjcG110)(谱分解定理谱分解定理( )( )( )XXXGsGs Gs随机过程的功率谱随机过程的功率谱4. 4. 功率谱密度计算举例功率谱密度计算举例例例2.15 2.15 随机相位信号随机相位信号)cos()(0tAtX20( )cos2XAR 2001( ) ()()2XGA 随机过程的功率谱随机过程的功率谱例例2.16 2.16 知谱密度为知谱密度为 求

19、相关函数。求相关函数。9104)(242XG解、解、948/56148/929104)(22242XG由因式分解由因式分解222e由公式：由公式：)59(481)(3eeRX随机过程的功率谱随机过程的功率谱随机过程的功率谱随机过程的功率谱例、假设平稳过程例、假设平稳过程X(t)X(t)的功率谱密度为的功率谱密度为 求相关函数。求相关函数。解、解、221 1)(XGeGY2111)(2)()(2YXGGdzeeRRRzzYYX41)()()(eeRX41)(00()()01( )4zzzzzzXRe edze edze e dz ee41当当Example (line spectra): Sup

20、pose that the RVs ai are uncorrelated with zero mean and variance . Let2i( )ijtiiX tae2ijiijE aa 2( )ijXiiRe 2( )2()XiiiG 12( )XG*( )()( )XRE X tX t Suppose RVs ai and bi are uncorrelated with zero mean and 222()()iiiE aE b( )(cossin)iiiiiX tatbt 2( )cosXiiiR 2( ) ()()XiiiiG Example: Consider the pr

21、ocess()( )jtX tae ( )f*( ()()2()( )jtjtjE X tXtE aeaea E e 2( )( )jXRaefd 2( )2( )XGa f An interesting application0(/ )( )jt r cs taeDoppler effect: A harmonic oscillator located at a point P of x axis movies in the x direction with velocity v. The emitted signal equals and the signal received by an

22、 observer located at the origin O equals0jtePov0OPrrvtx0(/ )( )jt r cs taePov0OPrrvtx()( )jts tae 0(1/ )v c 00/rc 202( )1svaGfc 00( )1vcffc 2002( )1svaGfc Emitted spectrum0Received spectrum0We note that if v=0, then20( )2()sGa Thus, the motion causes broadening of the spectrum of s(t)2.5.3 互功率谱密度互功率

23、谱密度Cross-Power Spectral Density) Definition:*1( )lim( )( )2XYTTTGEXYT( )( )Tj tTTXX t edt ( )( )Tj tTTYY t edt Wiener-Khinchin Theorem:deRGjXYXY)()(deGRjXYXY)(21)()()(XYXYGRProperties of CPSD: )()(*YXXYGG)(ReXYGIm( )XYGis an even functionis an odd function)()()(2YXXYGGG2.5.4 非平稳随机过程的功率谱非平稳随机过程的功率谱 P

24、ower spectral density of nonstationary process 21( )lim( )2XTTGEXT功率谱的定义功率谱的定义对平稳和非平稳过程都是顺应的。但实践中很难根对平稳和非平稳过程都是顺应的。但实践中很难根据上式确定功率谱，对于非平稳过程需求寻觅其它据上式确定功率谱，对于非平稳过程需求寻觅其它方法。方法。随机过程的功率谱随机过程的功率谱收敛域是一个包含单位圆的环形区域收敛域是一个包含单位圆的环形区域mmXXzmRzG)()(aza1CmXXdzzzGjmR1)(21)(其中其中C C是收敛域内包含平面原点逆时针的闭合围线是收敛域内包含平面原点逆时针的闭合围

25、线 1( )()( )()XXXXRmRmGzGz2.5.2 2.5.2 随机序列的功率谱随机序列的功率谱随机过程的功率谱随机过程的功率谱由于由于 GX(z)GX(z)的收敛域包含单位圆，因此可以令的收敛域包含单位圆，因此可以令jze()( )( )jjmXXXmGeGRm e1( )( )2jmXXRmGed 2 2为周期的周期函为周期的周期函数数dGnXERXX)(21)()0(2随机过程的功率谱随机过程的功率谱随机序列功率谱的性质随机序列功率谱的性质 功率谱是实偶函数功率谱是实偶函数( )()XXGG*( )()XXGG1( )()XXGzGz功率谱密度是非负功率谱密度是非负( )0XG随机过程的功率谱随机过程的功率谱假设随机序列的功率谱具有有理谱的方式假设随机序列的功率谱具有有理谱的方式,那么那么, 功率谱可以进展谱分解功率谱可以进展谱分解 ( )( )( )XXXGzGz Gz功率谱中一切零极功率谱中一切零极点在单位圆内