全等三角形难题集

1、1 倍长中线（线段）造全等1、已知：如图，ad 是 abc 的中线， be 交 ac 于 e，交 ad 于 f，且ae=ef ，求证： ac=bf abcdef分析：要求证的两条线段ac、 bf 不在两个全等的三角形中，因此证 ac=bf 困难，考虑能否通过辅助线把ac、bf 转化到同一个三角形中，由ad 是中线，常采用中线倍长法，故延长ad 到 g，使 dg=ad ，连 bg，再通过全等三角形和等线段代换即可证出。2、已知在 abc 中， ad 是 bc 边上的中线，e 是 ad上一点， 且 be=ac ，延长 be 交 ac 于 f，求证：af=ef fedabc提示：倍长ad 至 g，连

2、接 bg，证明 bdg cda 三角形 beg 是等腰三角形3、已知，如图abc中， ab=5 ，ac=3 ，则中线ad的取值范围是 _. dcba4、在 abc 中,ac=5, 中线 ad=7，则 ab 边的取值范围是( ) a、1ab29 b、 4ab24 c、5ab19 d、9ab19 5、已知： ad、 ae 分别是 abc 和 abd 的中线，且ba=bd ， 求证： ae=21ac abcde6、如图， abc中， bd=dc=ac， e是 dc的中点，求证：ad平分 bae. edcba7、 已知 cd=ab ，bda= bad ， ae 是 abd 的中线，求证： c=bae

3、abcde提示：倍长ae 至 f，连结 df 证明 abe fde （sas）进而证明 adf adc （sas）8、如图 23， abc中，d是 bc的中点， 过 d点的直线gf交 ac于 f，交 ac的平行线bg于 g点，de df，交 ab于点 e，连结 eg 、ef. 求证： bg=cf 请你判断be+cf与 ef的大小关系，并说明理由。2 4321deabcadbce9、如图， ad 为abc的中线， de 平分bda交 ab于 e， df 平分adc交 ac 于 f. 求证：efcfbe第 14 题图dfcbea方法 1：在 da 上截取 dg=bd ，连结 eg、 fg 证明 b

4、de gde dcf dgf 所以 be=eg 、cf=fg 利用三角形两边之和大于第三边方法 2：倍长 ed 至 h，连结 ch 、fh 证明 fh=ef 、ch=be 利用三角形两边之和大于第三边10、如图， abc中， e、f 分别在 ab 、ac上，de df ，d是中点，试比较be+cf与 ef的大小 . edfcba11、已知：如图，在abc中，acab，d、e 在 bc上， 且 de=ec ， 过 d 作badf /交 ae 于点 f， df=ac. 求证： ae 平分bacabfdec方法 1：倍长 ae 至 g，连结 dg 方法 2：倍长 fe 至 h，连结 ch 截长补短7

5、.9 作业： 已知， 四边形 abcd 中，ab cd，1 2，3 4。求证： bcabcd 。1、 如图，adbc， 点 e 在线段 ab 上，ade= cde ，dce= ecb. 求证： cd=ad+bc. 证明：在cd上截取 cf=bc在 fce 与 bce 中，cecebcefcecbcf fce bce（ sas）, 2=1. 又 adbc， adc+ bcd=180， dce+ cde=90 ， 2+3=90，1+ 4=90， 3=4. 在 fde 与 ade 中，43dedeadefde fde ade （ asa），df=da ，cd=df+cf ，cd=ad+bc. adb

6、cef12343 fdcba12edcba122、已知：如图，在abc 中， c 2b， 1 2. 求证： ab=ac+cd. 证明：方法一（补短法）延长 ac 到 e，使 dc=ce ，则 cde ced ， acb2e， acb2b， b e，在 abd 与 aed 中, adadeb21 abd aed（aas）, ab=ae. 又 ae=ac+ce=ac+dc，ab=ac+dc. 方法二（截长法）ab 上截取 af=ac ，在 afd 与 acd 中, adadacaf21 afd acd （sas）, df=dc ， afd acd. 又 acb 2b， fdb b，fd=fb. a

7、b=af+fb=ac+fd，ab=ac+cd. 3、如图，在 abc中， bac=60 ， ad 是 bac的平分线，且 ac=ab+bd ，求 abc 的度数dcba4、如图， 已知在 abc中，b=60，abc的角平分线ad,ce相交于点o，求证： oe=od oedcba5、已知abc中，60a，bd、ce分别平分abc和. acb，bd、ce交于点o，试判断be、cd、bc的数量关系，并加以证明6、如图，已知在abc内，060bac，040c，p，q分别在 bc ，ca上，并且ap ，bq分别是bac，abc的角平分线。求证：bq+aq=ab+bp pqcba7、如图在 abc中， a

8、b ac ， 1 2，p为 ad上任意一点，求证 ;ab-ac pb-pc p21dcbadcba12doecba4 图十一4321pabc8、如图，点m为正三角形abd的边ab所在直线上的任意一点 ( 点b除外 ) ，作60dmn，射线mn与dba外角的平分线交于点n，dm与mn有怎样的数量关系? 角平分线上的点向角两边引垂线段1、如图，在四边形abcd 中， bc ba,adcd ，求证： bad+ c=180dcba2、如图，四边形abcd 中， ac 平分 bad，ceab 于 e， ad+ab=2ae ，则 b 与 adc 互补 . 为什么？3、如图4，在 abc中， bd=cd ，

9、 abd= acd,求证ad平分 bac. 4、如图，在abc 中， abc=100 ， acb=20 ，ce 平分 acb，d 是 ac 上一点，若cbd=20 ，求ade 的度数 . 7.5 作业： 已知， abad ， 1 2，cd bc。求证： adc b180。图九21cbad7.6 作业：如图，在 abc 中 abc,acb 的外角平分线交 p.求证 :ap 是 bac 的角平分线7.6 作业：如图,b=c=90 ,am 平分 dab,dm 平分 adc 求证:点 m 为 bc 的中点d b e a c a b c d nebmad5 连接法（构造全等三角形）7.9 作业： 已知：

10、如图所示，abad， bcdc，e、f分别是 dc 、bc 的中点，求证：aeaf 。1、如图，直线ad 与 bc 相交于点o，且ac=bd ，ad=bc 求证： co=do aodcb2、已知：如图16，ab=ae ， bc=ed ，点 f 是 cd 的中点， afcd求证： b= eafdcbe3、如图11-30，已知abae， b e，bced ，点 f 是 cd 的中点 .求证： afcd. fedcba4、在正abc内取一点d，使dadb，在abc外取一点e，使dbedbc，且beba，求bed. 5、如图所示， bd=dc,de bc,交 bac 的平分线于e，em ab,en a

11、c,求证： bm=cn 6、如图，在 abd 和 acd 中，ab=ac ，b=c求证： abd acd adcb全等+角平分线性质1、如图 21，ad平分 bac ， de ab于 e，dfac于 f，且 db=dc ，求证： eb=fc 2、已知：如图所示，bd 为 abc 的平分线， ab=bc ，点 p 在 bd 上， pmad 于 m ，?pn cd 于 n，判断pm 与 pn 的关系pdacbmna c n e m b d d b ca f e decba6 全等 +等腰性质1、 如图，在 abe中，ab ae,ad ac,bad eac, bc 、de交于点 o. 求证： (1)

12、 abc aed ； (2) ob oe . 2、.已知：如图， b、e、f、c 四点在同一条直线上，abdc，becf ， b c求证： oaod 两次全等7.4 作业： ab=ac ，db=dc ，f是 ad的延长线上的一点。求证： bf=cf fdcba1、如图， d、e、f、b 在一条直线上ab=cd, b=d，bf=de. 求证：（ 1）ae=cf; （2）ae cf （3） afe= cef 2、如图： a、e、f、b 四点在一条直线上，ac ce，bddf， ae=bf ，ac=bd 。求证： acf bde abcefd3、 如图，在四边形abcd 中， e 是 ac 上的一点

13、，1=2，3=4，求证 : 5=6654321edcba4、已知如图，e、 f 在 bd 上，且 abcd ，bfde，ae cf 求证： ac 与 bd 互相平分由 bfdf ，得 bedf abe cdf ， b d 再证 aob cod ，得 oaoc ，obod 即 ac、bd 互相平分5、如图，在四边形abcd 中， ad bc， abc=90 de ac 于点 f， 交 bc 于点 g， 交 ab 的延长线于点e，且 ae=ac. 求证： bg=fg a f c b d e g a d f e c b ocebdaa b e o f d c 7 直角三角形全等（余角性质）作业：如图

14、，在等腰rtabc中，c90，d是斜边上ab上任一点，aecd于e，bfcd交cd的延长线于f，chab于h点，交ae于g求证：bdcg1、如图，将等腰直角三角形abc 的直角顶点置于直线l上，且过 a，b 两点分别作直线l 的垂线， 垂足分别为d，e，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程解：全等三角形为：acd cbe证明如下：由题意知 cad+ acd=90 ，acd+ bce=90 ， cad= bce 在 acd 与 cbe 中，adc= ceb=90 cad= bce ac=bc ， acd cbe （aas）2、如图， abc90， ab bc，d 为 ac 上一

15、点，分别过 a、c 作 bd 的垂线，垂足分别为e、f 求证： efcfae 证 abe bcf，得 becf ，ae bf，efbebf cfae 3、在 abc 中，90acb，bcac，直线mn经过点c，且mnad于d，mnbe于e.(1) 当直线mn绕点c旋转到图 1 的位置时，求证：adcceb；beadde；(2) 当直线mn绕点c旋转到图2 的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明； 若不成立， 说明理由. 4、如图： beac ，cf ab， bm=ac ，cn=ab 。求证：（ 1）am=an ；（ 2）am an。fbcamne1234作平行线1、已知 abc

16、，ab=ac ，e、f 分别为 ab 和 ac 延长线上的点，且be=cf ，ef 交 bc 于 g求证： eg=gf afcgbe2、如图，在abc 中， ab=ac ，bd 平分 abc ，de bd 于 d，交 bc 于点 e求证： cd=21be 1 5 4 3 2 e f b d c a a b c f d e 8 证明：过点d 作 df ab 交 bc 于点 fbd 平分 abc ， 1= 2dfab， 1=3， 4=abc 2= 3， df=bf debd， 2+def=90 o， 3+ 5=90o def= 5 df=ef ab=ac ， abc= c 4= c， cd=df

17、cd=ef=bf ，即 cd=21be延长角平分线的垂线段1、如图， 在 abc 中， ad 平分 bac，ce ad 于 e求证： ace= b+ecd afdcbe分析：注意到ad 平分 bac ，ce ad ，于是可延长ce 交 ab 于点 f，即可构造全等三角形证明：延长ce 交 ab 于点 fad 平分 bac ， fae= cae cead ， fea= cea=90o在 fea 和 cea 中，fae= cae ，ae=ae ，fea= cea fea cea ace= afe afe= b+ ecd ， ace= b+ ecd 2、如图， abc 中， bac=90 度， ab

18、=ac ，bd 是abc 的平分线， bd 的延长线垂直于过c 点的直线于e，直线 ce 交 ba 的延长线于f求证： bd=2ce fedcba3、如图： bac=90 ， ce be，ab=ac ，bd 是abc 的平分线，求证：bd=2ec bcaed4、已知，如图34， abc 中， abc=90 o，ab=bc ，ae 是 a 的平分线， cdae 于 d求证： cd=21ae cebad面积法例 1 如图 1，在 abc 中， bac 的角平分线ad 平分底边 bc.求证 ab=ac. 9 分析：根据已知可知ad 是 bac 的平分线，可通过点d 作 bac 的垂线，根据角平分线的

19、性质，结合三角形的面积进行证明. 证明：过点 d 作 deab，df ac ，垂足分别为e、 f. 因为 da 为 bac 的平分线，所以de=df. 又因为 ad 平分 bc，所以 bd=cd ，所以 sabd=sacd，又 sabd=21ab de，sacd=21ac df ，所以 abde=ac df，所以 ab=ac. 2、如图所示 ,已知 d 是等腰 abc 底边 bc 上的一点 ,它到两腰 ab、ac 的距离分别为de 、df,cm ab,垂足为m, 请你探索一下线段de、df 、cm三者之间的数量关系, 并给予证明 . edcbamf3、己知， abc 中， ab=ac ，cd

20、ab，垂足为 d，p是 bc 上任一点， peab，pf ac 垂足分别为e、f，求证：pe+pf=cd. pe p f=cd. 旋转型1、如图，正方形abcd 的边长为1，g 为 cd 边上一动点（点 g 与 c、 d 不重合），以 cg 为一边向正方形abcd 外作正方形gcef ， 连接 de 交 bg 的延长线于h。求证：bcg dce bhde 2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，b，c，e在同一条直线上，连结dc （1）请找出图2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明： dc be 3、（1）如图 7，点 o 是线段 ad 的中点，分别以ao 和do 为边在线段ad 的同侧作等边三角形oab 和等边三角形 ocd ，连结 ac 和 bd，相交于点e，连结 bc求aeb 的大小；（2）如图8， oab 固定不动，保持ocd 的形状和大小不变，将ocd 绕着点o 旋转（ oab 和ocd不能重叠），求aeb 的大小 . 图 1 图 2 d c e a b c b o d 图 7 a