全等三角形专题(难)

1、1 全等三角形专题（一）1. 如图，op平分,monpaon于点a，点q是射线om上的一个动点，若2pa，则pq的最小值为（）a.1 b.2 c.3 d. 4 2. 如图所示，两块完全相同的含30角的直角三角形叠放在一起，且dab=30 。有以下四个结论：afbc； adgacf ；o为bc的 中 点 ；ag：de=3： 4， 其 中 正 确 结 论 的 序 号是 . 3如图，在 rtabc中， bac=90 ， ac=2ab ，点 d是 ac的中点，将一块锐角为45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与a、d重合，连结be 、ec试猜想线段be和 ec的数量及位置关系，并证明你的

2、猜想4八（ 5）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）. 设计了如下方案：（） aob是一个任意角，将角尺的直角顶点p介于射线 oa 、ob之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与m 、n 重合，即pm=pn ，过角尺顶点p 的射线 op就是aob的平分线 . （） aob是一个任意角，在边oa 、ob上分别取om=on，将角尺的直角顶点p介于射线oa 、ob之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与m 、n重合，即pm=pn ，过角尺顶点p的射线 op就是 aob的平分线 . （1）方案（） 、方案（）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理a b c d e （第 6 题）aonmqp2

3、 由. （2）在方案（）pm=pn 的情况下，继续移动角尺，同时使pm oa ，pn ob.此方案是否可行？请说明理由. 5 （2010 湖南娄底） 如图 10，在四边形abcd中，adbc，e为cd的中点，连结ae、be，beae，延长ae交bc的延长线于点f. 求证：（1）fc=ad；（2）ab=bc+ad6 （2010 江苏扬州） 电子跳蚤游戏盘是如图所示的abc，ab=6，ac=7，bc=8如果跳蚤开始时在bc边的p0处，bp0=2跳蚤第一步从p0跳到ac边的p1（第一次落点)处，且cp1=cp0；第二步从p1跳到ab边的p2（第一次落点) 处，且ap2=ap1；第三步从p2跳到bc边

4、的 p3（第三次落点 ) 处，且bp3=bp2；, ；跳蚤按上述规则一致跳下去，第n次落点为pn（n 为正整数），则点 p2007与 p2010之间的距离为（）a1 b2 c3 d 4 7 （2010 安徽蚌埠） 在abc中，ed、分别是acbc、上的点，cdbdceae2,2，bead、交于点f，若3abcs，则四边形dcef的面积为 _。a b c p0p3p2p1第 8 题3 8 （2010 安徽蚌埠） 三角形纸片内有100 个点，连同三角形的顶点共103 个点，其中任意三点都不共线。现以这些点为顶点作三角形，并把纸片剪成小三角形，则这样的三角形的个数为_。9. （2009 年济宁市）

5、观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角形中白色三角形有个 10、 （ 2009 临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形abcd是正方形，点e是边bc的中点90aef，且ef交正方形外角dcg的平行线cf于点f，求证：ae=ef经 过思 考， 小明 展示 了一 种正 确的 解题 思路 ：取ab的中 点m，连 接me，则am=ec， 易证ameecf，所以aeef在此基础上，同学们作了进一步的研究：（ 1）小颖提出：如图2，如果把“点e是边bc的中点”改为“点e是边bc上（除b，c外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“ae=ef”仍然成立，你认为小颖的观点

6、正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（ 2）小华提出： 如图 3，点e是bc的延长线上 （除c点外）的任意一点， 其他条件不变， 结论“ae=ef”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由a d f c g e b 图 1 a d f c g e b 图 2 a d f c g e b 图 3 第1个第2个第3个4 11、 （ 2009 年牡丹江）已知rtabc中，90acbccd，为ab边的中点，90edf ，edf绕d点旋转，它的两边分别交ac、cb（或它们的延长线）于e、f当edf绕d点旋转到deac于e时（如图1） ，易证12d

7、efcefabcsss当edf绕d点旋转到deac和不垂直时，在图2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，defs、cefs、abcs又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明12 （ 2008 山东泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1 所示放置，图2 是由它抽象出的几何图形，bce，在同一条直线上，连结dc（1）请找出图2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：dcbea e c f b d 图 1 图 3 a d f e c b a d b c e 图 2 f 图 1 图 2 d c e a b （第 2

8、2 题）5 13 、 在 等 边abc的 两 边ab、 ac 所 在 直 线 上 分 别 有 两 点m、 n， d 为abc外 一 点 ， 且60mdn,120bdc,bd=dc. 探究：当m 、 n分别在直线ab 、ac上移动时， bm 、nc 、mn之间的数量关系及amn的周长 q与等边abc的周长 l 的关系（i ）如图 1，当点 m 、n边 ab 、ac上，且 dm=dn 时，bm 、nc 、mn之间的数量关系是；此时lq；（ii ）如图 2，点 m 、n边 ab 、 ac上，且当dm dn时，猜想（ i ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（iii） 如图 3，当 m 、

9、n分别在边ab 、ca的延长线上时，若 an=x，则 q= （用x、l 表示） 14、 已知四边形abcd中，abad，bccd，abbc，120abc，60mbn，mbn绕b点旋转，它的两边分别交addc，（或它们的延长线）于ef，当mbn绕b点旋转到aecf时（如图1） ，易证aecfef当mbn绕b点旋转到aecf时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段aecf，ef又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明（图 1）abcdefmn（图 2）abcdefmn（图 3）abcdefmn6 fedcbaoedcba15 正方形 abcd

10、中， e为 bc上的一点， f 为 cd上的一点， be+df=ef ，求 eaf的度数 . 16、如图，op是mon的平分线，请你利用该图形画一对以op所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在abc中，acb是直角，b=60，ad、ce分别是bac、bca的平分线，ad、ce相交于点f。请你判断并写出fe与fd之间的数量关系；（2）如图，在abc中，如果acb不是直角，而(1) 中的其它条件不变，请问，你在(1) 中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。17、如图，已知在abc中， b=60， abc的角平分线ad,ce

11、相交于点o ，求证： oe=od 18、如图， abc中， ad平分 bac ， dg bc且平分 bc ，de ab于 e ，dfac于 f. （1）说明 be=cf的理由；（2）如果 ab=a，ac=b，求 ae 、be的长 . 1、如图，abc中， ab=2ac ，ad平分bac，且 ad=bd ，求证： cd ac (第 23 题图 ) o p a m n e b c d f a c e f b d 图图图edgfcbacdba7 全等三角形专题（二）1. 在 abc 中， ab ac ， a20， d、e 分别是 ab 、ac 上的点， dcb 50， ebc 60，求 deb 的度

12、数。2. 在三角形abc 中， ab=ac,ad 平分角 abc 交 ac 于 d，ad+bd=bc，求角 a 的度数。3. 在直角三角形abc 中， bac=90 ， ab=ac ，点 d、e 是直线 ac 上的两个动点，且ad=ec ，am bd ，垂足为 m ，am 的延长线交 bc 于n，直线 bd 直线 ne 相交于点 f，试判断三角形def 的形状，并加以证明。8 全等三角形中的动态几何问题动态几何题，是指以几何知识和几何图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题；而通过对几何图形运动变化，使同学们经历由观察、想象、推理等发现、探索的过程，是中考数学试题中，考查创新意识、创新能力的重要

13、题型；解决这类问题， 要善于探索图形的运动特点和规律，抓住变化中图形的性质与特征，化动为静，以静制动本文以中考试题中的全等三角形动态几何题为例，谈谈这类问题的解题思路，供同学们学习时参考例 1 （扬州）在 abc 中， acb=90 ， ac=bc ，直线 mn经过点 c，且 ad mn于 d ，be mn于 e（1）当直线mn 绕点 c旋转到图1 的位置时，求证： adc ceb ；de=ad be；（2）当直线mn 绕点 c旋转到图2 的位置时，求证：de=ad be；（3）当直线mn绕点 c 旋转到图3 的位置时，试问de 、ad 、be具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明

14、证明：评注：本题以直线mn绕点 c旋转过程中与 abc 的不同的位置关系为背景设置的三个小题，第（1）小题的两个小题中，是的台阶，只要证明了，不难得到；第（1）小题思路又作为解决第（2）小题的借鉴；第（ 3）小题为探索性问题，探索的结论及证明过程可借鉴第（1） 、 （2）两小题，整个试题考查了同学们从具体、特殊的情形出发去探究运动变化过程中的规律的能力c b a e d 图 1 n m a b c d e m n 图 2 a c b e d n m 图 3 9 例 2 （锦州）如图a，abc和cef是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点c，连接 af和 be （1）线段 af和 be有怎

15、样的大小关系?请证明你的结论；（2）将图 a中的 cef 绕点 c旋转一定的角度，得到图b，（ 1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；（3）若将图 a中的 abc绕点 c旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c（草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现（3）此小题图形不惟一，如第（ 1）中的结论仍成立（4） 根据以上证明、说理、画图，归纳如下：如图 a ，大小不等的等边三角形abc和等边三角形cef有且仅有一个公共顶点c，则以点 c为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有af=be 10 b a abo c 全等三角形提高练习

16、1. 如图所示，abc ade ，bc的延长线过点e， acb= aed=105 ， cad=10 ，b=50，求 def的度数。2. 如图， aob中， b=30，将 aob绕点 o顺时针旋转52得到 aob 边 ab与边 ob交于点 c（a不在 ob上） ，则 aco的度数为。3如图所示，在abc中， a=90， d,e 分别是 ac,bc上的点，若adb edb edc,则 c的度数是。4. 如图所示，把abc绕点 c顺时针旋转35，得到 abc,ab交 ac于点 d，若 adc=90 ，则a= 。5已知，如图所示，ab=ac,ad bc于 d,且 ab+ac+bc=50cm, 而 ab

17、+bd+ad=40cm, 则 ad= . bd ac b a d e c b a a b c f d e a b d c 11 6如图， rtabc中， bac=90 ， ab=ac,分别过点b，c,作过点 a的直线的垂线bd,ce,垂足为 d,e，若bd=3 ，ce=2,则 de= . 7如图，ad是 abc 的角平分线， de ab,dfac,垂足分别是e,f，连接 ef,交 ad于 g,ad与 ef垂直吗？证明你的结论。8. 如图所示，在abc中， ad为 bac的角平分线， de ab于 e,dfac于 f, abc的面积是 28cm2,ab=20cm,ac=8cm,求 de 的长。9

18、. 已知，如图，ab=ae, b=e, bac= ead, caf= daf. 求证： afcd 10. 如图， ad=bd,ad bc于 d,beac于 e,ad于 be相交于点h，则 bh与 ac相等吗？为什么？d a e c b a e f b d c b e d f c b d c f a e g a 12 11. 如图所示，已知，ad为 abc的高， e为 ac上一点， be交 ad于 f , 且有 bf=ac,fd=cd. 求证： be ac 12 dac, ebc均是等边三角形，ae,bd分别与 cd,ce交于点 m,n, 求证：（1） ae=bd (2)cm=cn (3) cm

19、n 为等边三角形（4）mn bc 13已知：如图1，点 c为线段 ab上一点， acm ， cbn都是等边三角形，an交 mc于点 e，bm交 cn于点 f(1) 求证： an=bm ；(2) 求证： cef为等边三角形；(3) 将 acm 绕点 c按逆时针方向旋转90o，其他条件不变，在图2 中补出符合要求的图形，并判断第（1） 、 （ 2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）a b d c e f b a e h d c d a c b n m e13 gfhadceb14. 如图所示，已知abc和 bde都是等边三角形。下列结论： ae=cd ； bf=bg ； bh平分 ahd ；

20、ahc=600, bfg是等边三角形； fgad 。其中正确的有（） a 3个 b 4个 c 5个 d 6个15. 已知： bd ，ce是 abc的高，点f在 bd上， bf=ac,点 g在 ce的延长线上，cg=ab. 求证 :ag af 16. 如图：在 abc中， be、cf分别是 ac 、ab两边上的高，在be上截取 bd=ac ，在 cf的延长线上截取 cg=ab ，连结 ad 、ag 。求证：（1） ad=ag ，（2）ad与 ag的位置关系如何。17. 如图，已知e是正方形abcd 的边 cd 的中点，点f 在 bc上，且 dae= fae. 求证： af=ad+cf 18. 如

21、图所示， 已知 abc中， ab=ac,d是 cb延长线上一点， adb=60 ，e是 ad上一点， 且 de=db, 求证：ac=be+bc b c d a g e f a b f c e d ghfedcba14 19. 如图所示，已知在aec中， e=90， ad平分 eac,df ac,垂足为 f,db=dc. 求证： be=cf. 20.已知：如图3-50，ab=de ，直线 ae，bd 相交于 c， b d=180， afde，交 bd 于 f求证： cf=cd 21. 如图， oc是 aob的平分线， p是 oc上一点， pd oa于 d， pe ob于 e，f 是 oc上一点，连接df和 ef，求证： df=ef 。22. 已知：如图，bfac于点 f，ce ab 于点 e，且 bd=cd 求证： bde cdf点 d在a的平分线上23 如图，已