三角形五心及其性质

1、三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。三角形垂心的性质设 abc 的三条高为 ad 、be 、cf ，其中 d 、e、f为垂足，垂心为h，角 a、b、c的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2 1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 . 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、 垂心 h关于三边的对称点，均在abc 的外接圆上。4、 abc中，有六组四点共圆，有三组(每组四个 )相似的直角三角形，且 ah ?hd=bh ?he=ch ?hf 。5、 h、a、b、c 四点中任一点是其余三点为顶点的

2、三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。6、 abc ，abh ，bch ，ach的外接圆是等圆。7、 在非直角三角形中，过h的直线交 ab 、ac所在直线分别于p、q ，则 ab/ap?tanb+ac/aq ?tanc=tana+tanb+tanc。8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。9、 设 o ， h分别为 abc的外心和垂心， 则bao= hac ， abh=obc ，bco= hca 。10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2 倍。11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形 (顶点在原三角形的边上)

3、中，以垂足三角形的周长最短。12、西姆松定理（西姆松线） ：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。13、 设锐角 abc内有一点 t，那么 t是垂心的充分必要条件是pb*pc*bc+pb*pa*ab+pa*pc*ac=ab*bc*ca。垂心的向径定义设点 h为锐角三角形 abc的垂心，向量 oh=h ，向量 oa=a ，向量ob=b ，向量 oc=c ，则 h=(tana a +tanb b +tanc c)/(tana+tanb+tanc). 垂心坐标的解析解：设三个顶点的坐标分别为(a1，b1)(a2 ，b2)(a3 ，b3)，那么垂心坐标 x=x/2

4、/ ，y=- y/2/ 。其中，=det(x2-x1，x3-x2 ，y2-y1，y3-y2); x=det(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1)，y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2)，y3-y2); y=det(x3-x2，(y2+y3)*(y3-y2);x3-x1，(y3+y1)*(y3-y1)+(x2-x1)*(x1-x3); 垂心的向量特征：三角形abc 内一点 o ，向量 oa ?ob=ob ?oc=oc?oa ，则点 o是三角形的垂心证明由 oa ?ob=ob ?oc ，得oa ?ob-oc ?ob=0 (oa-oc)?o

5、b=0 ca ?ob=0 ，即 ob垂直于 ac边同理由 ob ?oc=oc?oa ，可得 oc垂直于 ab边由 oa ?ob=oc?oa ，得 oa垂直于 bc边显然点 o是三角形的垂心三角形的重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理 证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理 的特例。三角形重心已知： abc中， d为 bc中点， e为 ac中点， ad与 be交于 o ，co延长线交ab于 f。求证： f为 ab中点。证明：根据燕尾定理，saob=s aoc ，又 s aob=s boc ，saoc=s boc ，再应用燕尾定理即得af=bf ，命题得证。重心的几条性质：1. 重

6、心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2： 1。2. 重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等。3. 重心到三角形3 个顶点距离的平方和最小。4. 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)；空间 直角坐标系横坐标：(x1+x2+x3)/3 纵坐标： (y1+y2+y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3） /3 5. 重心和三角形3 个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。证明：刚才证明三线交一时已证。6. 重心是三角形内到三边距离之积最大的点。其它规则图形的重心注：下面的几何体都是均匀的，线段指细棒，平面

7、图形指薄板。三角形的重心就是三边中线的交点。线段的重心就是线段的中点。平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点。平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点。圆的重心就是圆心，球的重心就是球心。锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个。四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。三角形的 旁切圆 （与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心叫做旁心。旁心是一个三角形内角平分线 与其不相邻的两个外角平分线的交点 ，它到三角形三边的距离 相等。如图，点 m就

8、是 abc的一个旁心。三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。若设 o为 abc的旁心 , 用向量表示则有aoa=bob+coc 1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。2、每个三角形都有三个旁心。内心是 三角形 三条内角平分线的交点，即内切圆 的圆心。内心是 三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离 相等）。内心定理 ：三角形的三个内角的角平分线 交于一点。该点叫做三角形的内心。注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径

9、），内心定理其实极易证。若三边分别为l1 ，l2 ，l3 ，周长为p，则内心的 重心坐标 为(l1/p,l2/p,l3/p)。直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。三角形内心 的性质设abc的内切圆为 o(半径 r) ，角 a、b、 c的对边分别为a、b、 c，p=(a+b+c)/2 。1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。3、r=s/p 。证明： s abc=s oab+s oac+s obc=(cr+br+ar)/2=

10、rp, 即得结论。abc中， c=90， r=(a+b-c)/2。5、 boc=90 +a/2。6、点 o是平面 abc上任意一点，点o是abc内心的 充要条件是：a(向量 oa)+b(向量 ob)+c( 向量 oc)= 向量 0。7、点 o是平面 abc上任意一点，点i 是abc内心的充要条件是：向量 oi=a( 向量 oa)+b(向量 ob)+c(向量 oc)/(a+b+c)。8、abc中， a(x1，y1) ， b(x2，y2) ，c(x3， y3) ，那么 abc内心 i 的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2

11、/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)。9、(欧拉 定理 ) abc中， r和 r 分别为 外接圆 为和内切圆的半径， o和 i 分别为其 外心 和内心，则oi2=r2-2rr 。10、 （内角平分线分三边长度关系）角平分线分对边与该角的两边成比例。证明： abc中， ad是 a的角平分线，d在 bc上， abc 是角 的 对 边abc， d=ad。 由 于 正 弦 定 理b/sinb=c/sinc d=r1sinb=r2sinc ，r1是 abd的外接圆半径，r2是 acd的外接 圆 半 径 ， 所 以r1/r2=sinc/sinb=c/b.又bd=r1sinbad，cd=r2sincad

12、,cad= bad ，所以 bd/cd=r1/r2=c/b=ab/ac 三角形 外接圆 的圆心叫做三角形的外心三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点, 三角形的三个顶点就在这个外接圆上. 三角形外心的性质设abc的外接圆为 g(r)，角 a、b、c的对边分别为a、b、c， p=(a+b+c)/2 1：（ 1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；（3）钝角三角形的外心在三角形外. 2： bgc=2 a，（或 bgc=2(180 -a). 3：点 g是平面 abc上一点，那么点g是abc外心的 充要条件是：(向量 ga+ 向量 gb) 向量 ab= (向量 gb+ 向量 gc) 向量 bc=(向量 gc+ 向量 ga)向量 ca= 向量 0. 4：点 g是平面abc上一点，点p是平面abc上任意一点，那么点 g是abc外心的充要条件是：（1）向量pg=(tanb+tanc) 向量 pa+(tanc+tana) 向量pb+(tana+tanb) 向量