第五章频域分析法

1、工程控制基础工程控制基础第五章第五章 频域分析法频域分析法 5.1 频率特性频率特性 5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性 5.3 控制系统的开环频率特性控制系统的开环频率特性 5.4 闭环控制系统的频率特性闭环控制系统的频率特性 5.5 用频率分析法分析系统的稳定性用频率分析法分析系统的稳定性 5.6 控制系统的相对稳定性控制系统的相对稳定性 5.7 频域性能指标与时域性能指标的关系频域性能指标与时域性能指标的关系 时域分析法的缺点：时域分析法的缺点：（1 1）高阶系统的分析难以进行；）高阶系统的分析难以进行；（2 2）当系统某些元件的传递函数难以列写时，）当系统某些元件的传递函数难

2、以列写时， 整个系统的分析工作将无法进行。整个系统的分析工作将无法进行。（3 3）物理意义欠缺。）物理意义欠缺。 5.1 频率特性频率特性 频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种频率响应法是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工经典工程实用程实用方法方法,是一种利用是一种利用频率特性频率特性进行控制系统分析的进行控制系统分析的图解方图解方法法,可方便地用于控制工程中的可方便地用于控制工程中的系统分析与设计系统分析与设计。 频率法用于分析和设计系统有如下优点：频率法用于分析和设计系统有如下优点： （1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解方法就可

3、研究系统的稳定性。就可研究系统的稳定性。由于频率响应法主要通过由于频率响应法主要通过开环频率特开环频率特性的图形性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。点。 （2）系统的频率特性可用实验方法测出。系统的频率特性可用实验方法测出。频率特性具有频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 （3）可推广应用于某些非线性系统。可推广应用于某些非线性系统。频率响应

4、法不仅适频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中用于线性定常系统，而且还适用于传递函数中含有延迟环节的含有延迟环节的系统和部分非线性系统的分析。系统和部分非线性系统的分析。 （4）用频率法设计系统，用频率法设计系统，可方便设计出能有效抑制噪声可方便设计出能有效抑制噪声的系统的系统。 扫频试验，无需理论建模。扫频试验，无需理论建模。 时域分析法时域分析法稳定性分析稳定性分析 劳斯判据劳斯判据动态性能动态性能 上升时间上升时间 超调超调稳态性能稳态性能 稳态误差稳态误差 频域分析法频域分析法动态性能动态性能 频带宽度频带宽度, 频率特性曲线的形频率特性曲线的形状状稳定性分析稳定性分

5、析 奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 一、频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念tUusintjeUULjRZn例例: R-L: R-L串联回路串联回路211/1/( )11 ()jjIRReAeURj LT jTjGRLTTRA/,)(1/1)(2 arctanarctanLTR 幅频特性幅频特性A( ): 稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比稳态输出信号的幅值与输入信号的幅值之比 相频特性相频特性 ( ): 稳态输出信号的相角与输入信号相角之差稳态输出信号的相角与输入信号相角之差: 幅相频率特性幅相频率特性G(j ) : G(j ) 的幅值和相位均随输入正弦信号角频的幅值和相位均随输入

6、正弦信号角频率率 的的变化而变化。变化而变化。频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率率正弦输入信号正弦输入信号的响应特性。的响应特性。( (稳态稳态) ) 00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52线性系统00.511.522.53-5-4-3-2-1012345输出的振幅和相位一般均不同于输入量，输出的振幅和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号频率的变化而变化且随着输入信号频率的变化而变化 频率特性频率特性输出的复数形式输入的复数形式jrceAjXjXjW)()()()(RCssG11)(TjRCjjG1

7、111)(频率特性与传递函数具有十分相的形式频率特性与传递函数具有十分相的形式 jssGjG)()(频率特性系统传递函数微分方程jspjpsdtdp 二、频率特性的求取方法和表示方法二、频率特性的求取方法和表示方法 根据已知系统的微分方程，把输入量以正根据已知系统的微分方程，把输入量以正弦函数代入，求其稳态解，取弦函数代入，求其稳态解，取输出稳态分输出稳态分量量和输入正弦的复数之比即得和输入正弦的复数之比即得 根据传递函数来求取根据传递函数来求取 通过实验测得通过实验测得 求取方法求取方法一般用这两种方法！一般用这两种方法！表示方法表示方法 幅相频率特性（极坐标图或奈氏图）幅相频率特性（极坐标

8、图或奈氏图） 对数频率特性（对数频率特性（Bode图）图） 对数幅相特性（尼柯尔斯图，尼氏图）对数幅相特性（尼柯尔斯图，尼氏图） 幅相频率特性（奈氏图）幅相频率特性（奈氏图） 幅相频率特性可以表示成幅相频率特性可以表示成 代数形式代数形式 极坐标形式极坐标形式 代数形式代数形式 设系统或环节的传递函数为设系统或环节的传递函数为11110110.( )().nmmmmnnnb sbsb sbG smna sasa sa令令s=js=j，可得系统或环节的频率特性，可得系统或环节的频率特性 11101110()()()()( )( )()()()mmmmnnnnbjbjb jbG jUjVajaja

9、ja这就是系统频率特性的代数形式，其中这就是系统频率特性的代数形式，其中U U( ( ) )是频率是频率特性的实部，称为特性的实部，称为实频特性实频特性，V V( ( ) )为频率特性的虚为频率特性的虚部，称为部，称为虚频特性虚频特性。 式中式中n极坐标形式极坐标形式将上式表示成指数形式将上式表示成指数形式 : :)(22)()()(jeVUjG22( ) |()|( )( )AG jUV)()()()(1UVtgjG 当当 在在0 0 变化时变化时, G(j, G(j ) ) 的幅值和相角随的幅值和相角随 而变化而变化, ,与此对与此对应的应的G(jG(j ) )的端点在复平面的端点在复平面

10、 上的运动轨迹就称为上的运动轨迹就称为幅相频率特性幅相频率特性或或 NyqusitNyqusit曲线曲线。画有。画有 NyqusitNyqusit曲线的坐标图称为极坐标图或曲线的坐标图称为极坐标图或NyqusitNyqusit图。图。 对数频率特性（对数频率特性（Bode图）图）对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。 )(22)()()(jeVUjG对上式两边取对数，得对上式两边取对数，得 ( )lg () lg ( ) lg ( )( )lglg ( )0.434 ( )jW jAeAjeAj 对数频率特性的表达式。习惯上，一般不考虑对数频率特性

11、的表达式。习惯上，一般不考虑0.4340.434这个系数，而只用相角位移本身。这个系数，而只用相角位移本身。 ( )20lg( )( )( )LAdBrad ，或Bode图图 对数幅相特性（尼氏图）对数幅相特性（尼氏图） 将将对数幅频特性对数幅频特性和和对数相频特性对数相频特性绘在一个平面上，绘在一个平面上，以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作以对数幅值作纵坐标（单位为分贝）、以相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变量。这种图称横坐标（单位为度）、以频率为参变量。这种图称为对数幅为对数幅相频率特性，也称为尼柯尔斯图，或尼相频率特性，也称为尼柯尔斯图，或尼氏图。氏图。 0o180o-1

12、80o)(lg20jwGw0-20dB20dB将将Bode图的两张图合图的两张图合二为一。二为一。1. 比例环节比例环节:G(s)=K5.2 5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性()()0| ()|j G jG jKKjUjVG je2222|()|0G jUVKK110()0VG jtgtgUK 奈奈 氏氏 图图一、一、 幅相频率特性幅相频率特性(奈奎斯特图奈奎斯特图)2. 惯性环节惯性环节:G(s)=1/(Ts+1)()22222222222111()11|() |1111|() |(1)1()()00jGjGjTjTjUjVGjeTTTGjTTVGjtgtgTUG jG jG j

13、G jG jG j 所以，在 时,| ()|=1,()=0 ;11=时，| ()|=,()=-45 ;T2时，| ()|,()-90222)21(V)21U(2211VUTUT 和211()UVU22211()( )22UV3. 积分环节积分环节:G(s)=1/s101)(jjjG1|()|G j900/1)(1tgjG4. 微分环节微分环节:G(s)=s()G jj|()|G j1()900G jtg5. 一阶微分环节一阶微分环节:G(s)=Ts+1221()1()|1()G jj TG jTG jtgT 6. 二阶微分环节二阶微分环节1212)(2222sTsTswwssGnn221222

14、212)(,)2()1 ()(TTtgTTATQTP2)(,1)(227. 振荡环节振荡环节1)(2)(1)(22jTjTjG22221|()|(1)(2)G jTT 22112)(TTtgjG0|()| 1G j()0G j|()| 0,()180G jG j 当当时时当当时时因为因为 是关于是关于 的函数的函数,所以我们可以所以我们可以)(jG|()|0d G jd令，可得到0212222TT2112rT当当 时时, 取最大值取最大值,即峰值即峰值 .该值称该值称为谐振峰值为谐振峰值 , 称为谐振频率称为谐振频率.r| )(|jGrMrmax22 221|()|()|(1)(2)rrrMG

15、 jG jTT 2121可见，当可见，当 时，时， 。当。当 时，无谐振峰时，无谐振峰值。当值。当 时，有谐振峰值。时，有谐振峰值。707. 0210p21212112rT10rnT时，1|()|2rnMG j此时此时,将在无阻尼自然频率将在无阻尼自然频率 上引起振荡，其振荡幅上引起振荡，其振荡幅值值 将趋于无穷大。将趋于无穷大。 n|()|nG j0.20.4 0.6 0.8 1.0246810120()rMdB2/1谐振峰值MrImnrRe 00无阻尼自然频率无阻尼自然频率二、对数频率特性二、对数频率特性1放大环节放大环节对数幅频特性：对数幅频特性：22( )20lg|()| 20lgLG

16、 jUV20lg()K db对数相频特性：对数相频特性： 1( )0VtgU ( )L20lgK( ) 20-101100101020101010010001010010002惯性环惯性环节节2211| )(|TsG221( )20lg1; ( )LTtg T )()(11TtgUVtgjG采用分段直线近似表示。方法如下：采用分段直线近似表示。方法如下：低频高频渐近线的交点为：低频高频渐近线的交点为：称为称为转折频率或交换频率转折频率或交换频率。 TTo1, 122221( )20lg( )20lg20lg11( )arctanLATTT 低频段：当低频段：当 时，时， ，称为，称为低频渐近线

17、低频渐近线。1TL()L()0 0高频段：当高频段：当 时，时， ，称为，称为高频渐近线高频渐近线。这。这是一条斜率为是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示的直线（表示 每增加每增加10倍频程下倍频程下降降20分贝）。分贝）。1TL()-20lgTL()-20lgT图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。! ! 低通滤低通滤波特性波特性波德图误差分析波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当当 时，误差为：时，误差为：o2211log20T当当 时，误差为：时，误差为：oTTl

18、og201log20222最大误差发生在最大误差发生在 处，为处，为To1)( 31log20202maxdBT T0.1 0.2 0.5 1 2 510L,dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 渐近线渐近线,dB 0 000-6 -14 -20 误差误差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.04 相频特性：相频特性： Ttg1)(作图时先用计算器计算几个特殊点：作图时先用计算器计算几个特殊点：。时，当时，当时，当2)(;4)1(1; 0) 0(0TT由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( 0

19、, -45)点是点是斜对称斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。 T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45 T2.03.04.05.07.01020

20、50100-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.43积分环节积分环节20200.1101000.1110100 （ ）( )L0901-20dB/dec0211)(jejjG( )20lg( )2L 不难看出，积分环节的幅频不难看出，积分环节的幅频特性是一条斜率为特性是一条斜率为-20dB十倍频程的直线，且与十倍频程的直线，且与0dB线相交于线相交于 =1这一点这一点.1( )|20lg10L 1|()|G j900/1)(1tgjG1( )20lg( )20lg20lg( )90LA 3纯微分环节纯微分环节0.1110+20-209000.110

21、0100 10001100100040( )L( ) +20dB/dec这是斜率为这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为的直线。低、高频渐进线的交点为T1相频特性：几个特殊点如下相频特性：几个特殊点如下2)(,;4)(,1; 0)(, 0T相角的变化范围从相角的变化范围从0到到 。2低频段渐进线：低频段渐进线：0)(log201)(1AAT，时，当高频段渐进线：高频段渐进线：TLTATlog20)()(1，时，当对数幅频特性（用渐近线近似）：对数幅频特性（用渐近线近似）：2( )20lg( )20lg 1 ()( )arctan()LA 4一阶微分环节一阶微分环节！高频放大

22、！高频放大！抑制噪声能力的下降！抑制噪声能力的下降221222212)(,)2()1 ()(TTtgTTA低频渐进线：低频渐进线：0)(1LT时，高频渐进线：高频渐进线：22221( )20lg(1)(2)40lgTLTTT时，转折频率为：转折频率为： ，高频段的斜率，高频段的斜率+40dB/Dec。To1相角：相角：)(,;2)(,1; 0)(0T时，当可见，相角的变化范围从可见，相角的变化范围从0180度。度。2222)2()1 (lg20)(TTL5二阶微分环节二阶微分环节2222)2()1 (1)(TTA幅频特性为：幅频特性为：22112)(TTtg相频特性为：相频特性为：2222)2

23、()1 (log20)(log20)(TTAL对数幅频特性为：对数幅频特性为：低频段渐近线：低频段渐近线：0)(1LT时，高频段渐近线：高频段渐近线：TTLTlog40)(log20)(1222 时，两渐进线的交点两渐进线的交点 称为转折频率。斜率为称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。To16. 振荡环节振荡环节相频特性：相频特性：22112)(TTtg几个特征点：几个特征点：。)(,;2)(,1; 0)(, 0T由图可见：由图可见： 对数相频特性曲线对数相频特性曲线在半对数坐标系中在半对数坐标系中对于对于( 0, -90)点点是斜对称的。是斜对称的。 对数幅频特性曲线对数幅频特性曲线有峰

24、值。有峰值。3 . 0, 1,10TKTo1DecdB/4016 . 010)(2ssjG对对 求导并令等于零，可解得求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率的极值对应的频率 。)(A)(ApTp221该频率称为谐振峰值频率。可见，当该频率称为谐振峰值频率。可见，当 时，时， 。当当 时，无谐振峰值。当时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。时，有谐振峰值。707. 0210p21212121)(ppAM当当 ， ， 。021)(0A2lg20)(0L因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。有很大的误差。 左图是不同

25、阻尼系数情况下的左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频特性对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系数情况图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实际曲线与下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差曲线。渐近线之间的误差曲线。5.3 5.3 控制系统开环频率特性控制系统开环频率特性一、一、开环系统伯德图的绘制开环系统伯德图的绘制 22112211(1)(21)( )(1)(21)iiiiiiqjjjjjjKsssG sST sT sT s 将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式：幅频特性幅频特性= =组成系统的各典型环节的组成系统

26、的各典型环节的幅频特性之乘积。幅频特性之乘积。相频特性相频特性= =组成系统的各典型环节的组成系统的各典型环节的相频特性之代数和。相频特性之代数和。) s (G).s (G) s (G) s (Gn21)(jn)(j2)(j1n21e )(A.e )(Ae )(A)j (G)(A).(A)(A)(An21)(.)()()(n21基本步骤基本步骤将开环传递函数表示为典型环节的串联；将开环传递函数表示为典型环节的串联； 确定各环节的转折频率，并确定各环节的转折频率，并由小到大由小到大标示在对数频率轴上。标示在对数频率轴上。计算计算20lgK，在，在1 rad/s 处找到纵坐标等于处找到纵坐标等于2

27、0lgK 的点，过的点，过该该 点作斜率等于点作斜率等于-20v dB/dec的直线，向左延长此线至所有环节的直线，向左延长此线至所有环节的的 转折频率之左，得到转折频率之左，得到最低频段的渐近线最低频段的渐近线。向右延长最低频段渐近线，每遇到一个向右延长最低频段渐近线，每遇到一个转折频率转折频率改变一次渐改变一次渐 近线斜率。近线斜率。对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性。相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。 例例:设开环系统传递函数为设开环系统传递函数为 210(3)( )(2)(2)sG ss sss试绘制

28、伯德图试绘制伯德图.210(3)()()(2)()2jG jjjjj27.5(1)3()()()(1)(1)222jG jjjjj放大环节：放大环节：7.5；积分环节：积分环节：1()j振荡环节：振荡环节：21()(1)22jj，转折频率，转折频率12;惯性环节：惯性环节：1(1)2j，转折频率，转折频率22一阶微分环节：一阶微分环节：13j,转折频率转折频率3327.5(1)3()()()(1)(1)222jG jjjjj22222)2()21 (lg20)2(1lg20lg20)3(1lg205 . 7lg20)(L0lg205 . 7lg20)(L我们在选定的坐标图上，分我们在选定的坐标

29、图上，分别绘出这些环节的伯德图，别绘出这些环节的伯德图，然后在对应相同的频率下，然后在对应相同的频率下，按纵坐标相加，便得到了系按纵坐标相加，便得到了系统的对数频率特性。统的对数频率特性。0204020402020lg7.5606080精确曲线123( )LdB( ) 900901802705( ) 1( ) 2( ) 4( ) ( ) 3( ) 2020221123123比例加积分比例加积分加入振荡环节加入振荡环节加入惯性环节加入惯性环节加入一阶微分环节加入一阶微分环节最小相位系统最小相位系统 在复平面在复平面 右半平面上没有开环零点和极点右半平面上没有开环零点和极点的传递函数，称为最小相位

30、传递函数；反之，即的传递函数，称为最小相位传递函数；反之，即为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数为非最小相位传递函数。具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。的系统，称为最小相位系统。 具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的具有相同幅频特性的系统，最小相位系统的相角范围是最小的。相角范围是最小的。 ssssG1011)(1最小相位系统最小相位系统sssG1011)(1非最小相位系统非最小相位系统该两个系统的波德图如下所示：该两个系统的波德图如下所示： 为了确定是不是最小相位系统，需要检查对数幅频特性为了确定是不是最小相位系统，需要检查对数幅频特性曲线高频渐近线的斜率，也需要检查在曲

31、线高频渐近线的斜率，也需要检查在 时的相角。如时的相角。如果果 时，幅频特性曲线的斜率为时，幅频特性曲线的斜率为-20（ ）dB十倍十倍频程和相角频程和相角 ，则系统就是最小相位系统。其，则系统就是最小相位系统。其中中 、 分别为传递函数中分母、分子多项式的阶数。分别为传递函数中分母、分子多项式的阶数。 0901801()Gj2()Gj( ) pq ( )90 ()qp qp 也就是说，对最小相位系统而言，相角为也就是说，对最小相位系统而言，相角为而对于非最小相位系统而言，相角就不等于而对于非最小相位系统而言，相角就不等于 。 非最小相位系统，多是由于系统含有延迟环节或小闭非最小相位系统，多是

32、由于系统含有延迟环节或小闭环不稳定环节引起的，故起动性能差、响应慢。因此，我环不稳定环节引起的，故起动性能差、响应慢。因此，我们在要求响应比较快速的系统中，总是尽量避免采用非最们在要求响应比较快速的系统中，总是尽量避免采用非最小相位系统。小相位系统。90 ()qp90 ()qp开环奈奎斯特曲线开环奈奎斯特曲线开环奈奎斯特曲线绘制方式开环奈奎斯特曲线绘制方式: :1.1.根据实验方法绘制；根据实验方法绘制；2.2.根据开环传递函数用根据开环传递函数用MATLABMATLAB绘制；绘制；3.3.根据开环传递函数绘制根据开环传递函数绘制概略概略奈奎斯特曲线。奈奎斯特曲线。绘制概略奈奎斯特曲线绘制概略

33、奈奎斯特曲线1.1.根据系统频率特性的特点确定奈奎斯特曲线低频和高频根据系统频率特性的特点确定奈奎斯特曲线低频和高频部分的位置和形状。部分的位置和形状。2.2.对于奈奎斯特曲线的中频部分，根据实、虚频特性确定对于奈奎斯特曲线的中频部分，根据实、虚频特性确定与实轴、虚轴焦点。与实轴、虚轴焦点。3.3.按照按照 从小到大的顺序用光滑曲线将频率特性的低、中、从小到大的顺序用光滑曲线将频率特性的低、中、高频部分连接起来。高频部分连接起来。步骤步骤1：确定低、高频部分位置和形状：确定低、高频部分位置和形状2 2112 211(1)(21)( )(1)(21)iii iiiqjjjjjjKsssG sST

34、 sT sT s 22nvpqmunm 0()()vKG jj当当 时，频率特性低频段表达为：时，频率特性低频段表达为： ( ) |()|( )2vKAG jv ( ) |()|( )2vKAG jv v v=0=0，起点是实轴正半轴的（，起点是实轴正半轴的（K K，j0j0）点。）点。v v=1=1，起点是虚轴负半轴无穷远点。，起点是虚轴负半轴无穷远点。v v=2=2，起点是实轴负半轴无穷远点。，起点是实轴负半轴无穷远点。1v 2v 3v (0)AK(0)A (0)A (0)0 (0)90 (0)180 I型系统型系统型系统型系统 型系统型系统0v (0)A (0)270 0型系统型系统li

35、m |() |0Gj lim()()2Gjnm 当当 时，系统频率特性的高频部分。时，系统频率特性的高频部分。 nm22112211(1)(21)( )(1)(21)iiiiiiqjjjjjjKsssG sST sT sT s 1nm2nm3nmlim |() |0Gj lim |() |0Gj lim |() |0Gj lim()/2G j lim()G j lim()3/ 2G j n-mn-m=1=1，从虚轴负半轴趋近坐标原点。，从虚轴负半轴趋近坐标原点。n-mn-m=2=2，从实轴负半轴趋近坐标原点。，从实轴负半轴趋近坐标原点。n-mn-m=3=3，从虚轴正半轴趋近坐标原点。，从虚轴正

36、半轴趋近坐标原点。步骤步骤2:2:确定奈奎斯特曲线与虚轴、实轴交点确定奈奎斯特曲线与虚轴、实轴交点22112211(1)21()( )(1)21iiiiiiqjjjjjjKjjjG jUjVjT jTjT j （）（ ）（）（）奈奎斯特曲线与实轴交点奈奎斯特曲线与实轴交点奈奎斯特曲线与虚轴交点奈奎斯特曲线与虚轴交点频率特性虚部为零频率特性虚部为零频率特性实部为零频率特性实部为零( )0?( )?VU( )0?( )?UV步骤步骤3:3:光滑连接低、中、高频段曲线光滑连接低、中、高频段曲线例例1 11212( );,.0(1)(1)KG sK T TTsT s某某0型单位负反馈系统开环：型单位负

37、反馈系统开环：试绘制概略奈奎斯特曲线。试绘制概略奈奎斯特曲线。ImRe0K 0K 00 例例2 2210(25)( )(2)(0.5)ssG sss某某0型单位负反馈系统开环：型单位负反馈系统开环：试绘制概略奈奎斯特曲线。试绘制概略奈奎斯特曲线。ImRe0 10504.037 闭环系统频率特性与开环系统频率特性的关系闭环系统频率特性与开环系统频率特性的关系 5.4 5.4 闭环控制系统的频率特性闭环控制系统的频率特性ImPARe1()G j02 G( 1, 0)j( )( )( )( )1( )C sG ssR sG sOA)(sGPA1)(sG)(|)(jePAOAPAOAj频率特性的矢量图

38、频率特性的矢量图 1 1等幅值轨迹等幅值轨迹(M(M圆图圆图) ) jeMjRjCj)()()(闭环频率特性闭环频率特性 ()G jUjV开环频率特性开环频率特性 ()()1()1jG jUjVjM eG jUjV2222()| |1()1(1)G jUjVUVMG jUjVUV2222222011MMUUVMM222222()()11MMUVMM222(1)MM 012-1-2-4-1-3-2120.8 ()G jU1M jV1.2M 0.4M 3.0M 2.01.61.41.30.63圆：圆：圆心：圆心：22()1MM，j0半径：半径：2|1MM 对称于的直线，又对称于实轴。对称于的直线，

39、又对称于实轴。等相角轨迹等相角轨迹 ( (圆图圆图) ) 2222()()1()1(1)G jUjVUUVjVjG jUjVUV22()()meIjVNtgRjUUV令：令：220VUUVN2114(2)N222241)21()21(NNNVU222241)21()21(NNNVU020100100232113jV12 ()G jU12312203040608030406080圆：圆：圆心：圆心：半径：半径：11(,)22jN1221|(1) |2NN圆本身就是闭环频率特性圆本身就是闭环频率特性 的相角的相角 的正切的正切 的的等值线。等值线。()j()N Ntg020100100232113

40、jV12 ()G jU1231220304060803040608022()()meIjVNtgRjUUV), 2 , 1 , 0()180(kktgtg对圆是多对一的关系。对圆是多对一的关系。每个圆都通过原点和（每个圆都通过原点和（-1,j0）点。）点。 因此，当用圆图确定闭环相频特因此，当用圆图确定闭环相频特性时，为了避免产生任何误差，性时，为了避免产生任何误差，应从对应于的零频开始应从对应于的零频开始，一直进行到高频。相角曲线，一直进行到高频。相角曲线必须是连续的。必须是连续的。 0 (0). .利用圆图求闭环频率特性利用圆图求闭环频率特性 Re1415232543Re()G j()G

41、j20106040202-2-4-4-2-2-42-4-201.2M 1.4M 1.1M 2M 0.6M Im( )aIm( )b ()G j ()G jRe141523324155432Re()G j0()G j2010602704090201802-2-4-4-2-2-4210.5201.5-4-201.2M 1.4M 1.1M 2M 0.6M Im( )aIm( )b( ) cM ()G j ()G j在圆图上，与轨迹相切，且具有最小半径的圆所对在圆图上，与轨迹相切，且具有最小半径的圆所对应的值，就是谐振峰值。因此，在奈魁斯特图上，谐振峰值和应的值，就是谐振峰值。因此，在奈魁斯特图上，谐

42、振峰值和谐振频率可由与轨迹相切的圆求得。本例：谐振频率可由与轨迹相切的圆求得。本例：M()G jMrMr()G jM42,rrM 闭环系统频率特性与开环系统频率特性的关系闭环系统频率特性与开环系统频率特性的关系 -Bode图看图看？dB0blg( )M3带宽)0(707. 0M截止频率截止频率 指闭环频率持性的幅值衰减指闭环频率持性的幅值衰减到到0.7070.707(0)(0)时的角频率。即相时的角频率。即相当于闭环对数幅频特性的幅值下当于闭环对数幅频特性的幅值下降降-3dB-3dB时，对应的频率，称为截时，对应的频率，称为截止频率止频率 。闭环系统将高于截止。闭环系统将高于截止频率的信号分量

43、滤掉，而只允许频率的信号分量滤掉，而只允许低于截止频率的信号分量通过。低于截止频率的信号分量通过。截止频率：截止频率：b带宽：带宽： 幅值幅值-3dB-3dB时对应的频率范围时对应的频率范围 称为系统的频宽（也称带宽）。频宽表明了称为系统的频宽（也称带宽）。频宽表明了控制系统的响应速度。控制系统的响应速度。 0b5.5 用频率法分析系统的稳定性用频率法分析系统的稳定性 它只能判别系统是否稳定，不能指出稳定的程度；另它只能判别系统是否稳定，不能指出稳定的程度；另外，必须具备闭环系统的特征方程式，但有些系统的外，必须具备闭环系统的特征方程式，但有些系统的特征方程式是列写不出来的。特征方程式是列写不

44、出来的。 奈魁斯特判据不仅能指出系统奈魁斯特判据不仅能指出系统是否稳定是否稳定，还能指出，还能指出稳定稳定的程度的程度. . 劳斯劳斯-霍维兹稳定判据，它可根据闭环系统的特霍维兹稳定判据，它可根据闭环系统的特征方程式来判别系统的稳定性。这个方法能判征方程式来判别系统的稳定性。这个方法能判别系统的稳定性。别系统的稳定性。有以下两方面的缺点有以下两方面的缺点:奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据: : 奈奎斯特稳定判据（简称为奈氏判据）是根据系统奈奎斯特稳定判据（简称为奈氏判据）是根据系统的的开环频率特性开环频率特性对闭环系统的稳定性进行判断的一对闭环系统的稳定性进行判断的一种方法。种方法。 它把开环

45、频率特性与复变函数它把开环频率特性与复变函数 位于位于右右半半S S平面的平面的极点极点联系起来，用图解的方法分析系统的联系起来，用图解的方法分析系统的稳定性稳定性。1( )( )G s H s奈奎斯特图奈奎斯特图闭环稳定性闭环稳定性设设S S平面闭合曲线包围平面闭合曲线包围 的的Z Z个零点个零点和和P P个极点，则个极点，则s s沿顺时针运动一周时，在沿顺时针运动一周时，在 平面上，平面上， 闭合曲线闭合曲线 包围原点的圈包围原点的圈数数R0R0R0分别表示分别表示 顺时针包围和逆时针顺时针包围和逆时针包围包围D(s)D(s)平面的原点，平面的原点，R=0R=0表示不包围表示不包围D(s)

46、D(s)平面的原点。平面的原点。 D s幅角定理幅角定理: : D s D sFR P Z F1110( )nnnnD sa sasa sa)()(21npspsps若方程式的个根若方程式的个根中有个根在复平面的右中有个根在复平面的右半平面，其余个根半平面，其余个根均在左半平面，均在左半平面， 0)(sDp)(pn0 sp个根()np个根j幅角定理幅角定理: :幅角定理表达：幅角定理表达： 当当 从从0 0变到变到 时，向量时，向量 的幅角增量的幅角增量 ()D j()(2 )2D jnp12( )()()()0nD ssdsdsd12,()()()()0nsjD jjdjdjd则)(jD的幅

47、角为各环节幅角的代数和：的幅角为各环节幅角的代数和：)()()()(21ndjdjdjjD12()()()()nD jjdjdjd j01d s1jdj3d2d0 s2jd3jd当当 从从0 0 时：时： 1()2jd 23()()22jdjd 负实数根负实数根有实部为负的共轭复根有实部为负的共轭复根1()jd从根从根 向向 所引向量与实轴所引向量与实轴正方向的夹角。正方向的夹角。1djj s04jd4dj s05d6d5jd6jd有正实数根有正实数根有实部为正的共轭复根有实部为正的共轭复根4()2jd 56()()22jdjd 当当 从从0 0 时：时： ()()(2 )222D jnppn

48、p特征根的分布对相角影响：特征根的分布对相角影响：2/2/有一个根在有一个根在左左半平面，则幅角增量为半平面，则幅角增量为有一个根在有一个根在右右半平面，则幅角增量为半平面，则幅角增量为 ，当，当 ，向量，向量 总的相角增量总的相角增量为：为：故方程式故方程式 有有 个左根，所带来的幅角增个左根，所带来的幅角增量为量为 ；有；有 个右根，所带来的幅角增量为个右根，所带来的幅角增量为()/2np/2p 0)(sD()D jp()np:0 幅角定理得证幅角定理得证回顾回顾奈魁斯特稳定判据：奈魁斯特稳定判据：由开环求闭环？由开环求闭环？ Nyquist Nyquist稳定判据是通过闭环系统的开环频率

49、响稳定判据是通过闭环系统的开环频率响应应 与其闭环特征方程与其闭环特征方程 的的根在根在s s平面上分布之间的联系平面上分布之间的联系, ,根据开环频率响根据开环频率响应判别闭环系统稳定性的一种准则。应判别闭环系统稳定性的一种准则。)()(jHjG0)()(1sHsG( )( )G s H s1( )( )G s H s开环传递函数和闭环传递函数的关系开环传递函数和闭环传递函数的关系：)()()()()()()()(sNsMsNsMsNsMsHsGHHGG开开( )( )1( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )HGGHGHG ssG s H sMsNs MsNs NsMs

50、 MsNs闭闭)()()()()()()(sMsNsMsMsNsNsNHGHG开开闭闭环特征方程式闭环特征方程式开环分母多项式开环分母多项式开环分子多项式开环分子多项式闭环系统的特征多项式就是开环传递函数的分母闭环系统的特征多项式就是开环传递函数的分母和分子之和。和分子之和。 实际系统中，开环传递函数的分母的阶次实际系统中，开环传递函数的分母的阶次总是高于分子的阶次。因此，闭环系统传总是高于分子的阶次。因此，闭环系统传递函数特征方程式递函数特征方程式 的阶次和的阶次相的阶次和的阶次相同。同。( )Ns开( )Ms开( )Ns闭( )Ns开开环极点数与闭开环极点数与闭环极点数相同环极点数相同构造

51、辅助函数：构造辅助函数：( )( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )GHGHGHNsNs NsMs MsF sG s H sNs NsNs 闭开0)()(1sHsG闭环特征方程闭环特征方程闭环特征多项式闭环特征多项式开环特征多项式开环特征多项式()()1()()()NjF jG jH jNj 闭开()()()F jNjNj开闭幅角关系：幅角关系：)()()(jNjNjF开闭幅角关系增幅角关系增量形式：量形式：根据劳斯霍维兹判据，系统稳定的充分必要条件是：闭环特征根全根据劳斯霍维兹判据，系统稳定的充分必要条件是：闭环特征根全部位于部位于s s平面的左半平面，应用幅角定理有

52、：平面的左半平面，应用幅角定理有：2)(njN闭若开环特征方程式有个根在复平面的右半平面，其余若开环特征方程式有个根在复平面的右半平面，其余个根均在左半平面，个根均在左半平面， p)(pn ( )0Ns 开2)2()(pnjN开)()()(jNjNjF开闭)2(22)2(2ppnn)()()(jNjNjF开闭)2(22)2(2ppnn( )1( )( )F sG s H s 即要求即要求 从从0 0变为无穷大的时变为无穷大的时候，向量候，向量 相角变化为相角变化为()F j即向量即向量 的奈奎斯特的奈奎斯特曲线绕原点旋转曲线绕原点旋转 周。周。(2 )2p/2p()F j 奈奎斯奈奎斯特曲线为

53、特曲线为 奈奎斯特曲线在奈奎斯特曲线在ss平面上向右平移了一平面上向右平移了一个单位。个单位。1( )( )G s H s( )( )G s H s若开环系统不稳定，且已知开环特征方程式有若开环系统不稳定，且已知开环特征方程式有个右根，则闭环系统稳定的充要条件为；当从个右根，则闭环系统稳定的充要条件为；当从0 0变变到时，向量的相角变化等于，到时，向量的相角变化等于，亦即向量的终端轨迹，随着从亦即向量的终端轨迹，随着从0 0变到变到而反时针包围复平面的原点次。而反时针包围复平面的原点次。p2/ )2(p()F j()F j ()F j2/p我们的目的是以开我们的目的是以开环传递函数判断闭环传递

54、函数判断闭环稳定性环稳定性闭环特征方程式闭环特征方程式( )1( )( )F sG s H s 奈奎斯奈奎斯特曲线为特曲线为 奈奎斯特曲线在奈奎斯特曲线在ss平面上向右平移了一平面上向右平移了一个单位。个单位。1( )( )G s H s( )( )G s H s若开环系统不稳定，且已知开环特征方程式有若开环系统不稳定，且已知开环特征方程式有个右根，则闭环系统稳定的充要条件为；当从个右根，则闭环系统稳定的充要条件为；当从0 0变变到时，向量的相角变化等于，到时，向量的相角变化等于，亦即向量的终端轨迹，随着从亦即向量的终端轨迹，随着从0 0变到变到而反时针包围复平面的原点次。而反时针包围复平面的

55、原点次。p2/ )2(p()F j()F j ()F j2/p当当 从从0 0变为变为 时，开时，开环频率特性曲线（奈奎斯环频率特性曲线（奈奎斯特曲线）特曲线） 包包围（围（-1-1，j0 0）点）点 次。次。()()G jH j/2p Im10-1Re11()()G jH j111()()G jH j()()G jH j0Im10Re()F j FGH1()F j10将奈奎斯特曲线向将奈奎斯特曲线向左移动一个单位即左移动一个单位即将虚轴向右移动一将虚轴向右移动一个单位。个单位。实际上，我们不会绘制实际上，我们不会绘制 的奈奎斯特曲线，而是直接绘制开环的奈奎斯特曲线，而是直接绘制开环 奈奎斯特

56、曲线奈奎斯特曲线 ，直接考察，直接考察此曲线绕点（此曲线绕点（-1-1，j0j0）旋转圈数就可）旋转圈数就可以了。以了。1()()G jH j()()G jH j( )( )( )1( )( )( )( )NsNsMsG s H sNsNs开开闭开开开环传开环传递函数递函数开环频开环频率特性率特性闭环稳闭环稳定性定性闭环右极闭环右极点数点数=01( )( )( )( )G s H sNsNs 开闭幅角定理幅角定理1( )( )(2 )(2 )222pG s H snnp n次次p p个右根个右根1( )( )(2 )2pG s H s w从从0 0增大到无穷大时，增大到无穷大时，1+1+G(

57、(jw) )H( (jw) )绕绕坐标原点旋转坐标原点旋转p/2/2圈。圈。1()()G jH j()()G jH j关系关系w从从0 0增大到无穷大时，增大到无穷大时，G( (jw) )H( (jw) )绕点绕点(-1,j0)(-1,j0)旋转旋转p/2/2圈。圈。开环奈开环奈奎斯特奎斯特曲线曲线已知已知要求要求结论结论奈魁斯特稳定判据表述奈魁斯特稳定判据表述 ：若开环系统不稳定，它的特征方程式有个根在若开环系统不稳定，它的特征方程式有个根在 平面的右半平面内，则闭环系统稳定的充要条件是开环频平面的右半平面内，则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性的轨迹在从率特性的轨迹在从0 0变到时，反时

58、针包围变到时，反时针包围(-1(-1，j0 0）点点 次。次。ps2/pImRe00 1( 1, 0)j123特殊情况处理：特殊情况处理：1.若开环系统稳定，即若开环系统稳定，即0，仍然运用以上奈氏判据。可，仍然运用以上奈氏判据。可知，这时闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性的轨迹不包知，这时闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性的轨迹不包围（围（-1，j0）点。）点。 p2.当为奇数时，闭环系统稳定的充要条件是开环频率当为奇数时，闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性的轨迹在从变到，再从变到，反时针包特性的轨迹在从变到，再从变到，反时针包围围(-1,j0）点次。）点次。 ppIm0 0-1ReG

59、H1P 左图中左图中, ,开环的右根数为开环的右根数为 , ,当当 时不好判断时不好判断, ,这时这时绘制绘制 时的奈奎时的奈奎斯特曲线斯特曲线, ,只要绕只要绕( )( )点点圈即可判断系统闭环稳定。圈即可判断系统闭环稳定。1p :0 :0 1, 0jpI m0j0jd1jre000 ,9 0 9 0r 特殊情况：如果系统的开环传递函数中有零根，即特殊情况：如果系统的开环传递函数中有零根，即开环传递函数中有积分环节。开环传递函数中有积分环节。应用代替零点附近的应用代替零点附近的虚轴，构成新的虚轴，这虚轴，构成新的虚轴，这样零根就变成了左半平面样零根就变成了左半平面的根了。的根了。jre090

60、90r 有积分环节的情况有积分环节的情况:( )( )( ) ( )MsMsG s H sNssNs开开开开( )( )=)()()()()(jNjjMjHjGv开开当当w值接近于零时，应用值接近于零时，应用 替换值代入替换值代入jre)0()()0()()(开开NerMjHjGvjjvveNrM)0()0(开开(0) (0)jvvMerN开开由于由于 ,值为有限值值为有限值0无限小值无限小值整个传递函数的幅值为无限大值；整个传递函数的幅值为无限大值；相角为。相角为。( 9090 )v00090090 我们的频率特性考察的是我们的频率特性考察的是 从从 时的幅值和相时的幅值和相角变化，所以根据