第十二讲3.1三相异步电动机的数学模型

1、第三章第三章 高动态性能变频调速系统高动态性能变频调速系统山东大学山东大学v问题的提出问题的提出v三相异步电动机的动态数学模型三相异步电动机的动态数学模型v坐标变换和动态数学模型的简化坐标变换和动态数学模型的简化v矢量控制的变频调速系统矢量控制的变频调速系统v直接转矩控制变频调速系统直接转矩控制变频调速系统v无速度传感器变频调速系统无速度传感器变频调速系统本章提要 3.0 问题的提出 基于稳态数学模型的异步电机调速系统虽然能够基于稳态数学模型的异步电机调速系统虽然能够在一定范围内实现平滑调速，但是，如果遇到轧钢机、在一定范围内实现平滑调速，但是，如果遇到轧钢机、数控机床、机器人等需要高动态性能

2、的调速系统或伺数控机床、机器人等需要高动态性能的调速系统或伺服系统，就不能完全适应了。服系统，就不能完全适应了。 1969年德国年德国DarmstadtDarmstadt技术大学的技术大学的K.Hasse博士在他博士在他的博士论文中提出了矢量控制的基本思想，后又于的博士论文中提出了矢量控制的基本思想，后又于1971年由德国西门子公司的年由德国西门子公司的F.Blaschke工程师将这种一工程师将这种一般化的概念形成系统理论，并以磁场定向控制（般化的概念形成系统理论，并以磁场定向控制（Field Orientation Control）的名称发表。）的名称发表。 矢量控制理论的基本思想矢量控制理

3、论的基本思想是把交流电动机模拟成直流电是把交流电动机模拟成直流电动机进行控制，它把磁链矢量的方向作为坐标轴的基准方向，动机进行控制，它把磁链矢量的方向作为坐标轴的基准方向，采用矢量变换的方法实现交流电动机的转速和磁链控制的完采用矢量变换的方法实现交流电动机的转速和磁链控制的完全解耦，以得到类似直流电动机的优良的动态调速性能。全解耦，以得到类似直流电动机的优良的动态调速性能。 矢量控制技术矢量控制技术已走向实用化，并逐步取代传统的双闭环直已走向实用化，并逐步取代传统的双闭环直流调速系统。现代控制理论在交流调速系统中的应用以及速流调速系统。现代控制理论在交流调速系统中的应用以及速度观测、参数自设定

4、等技术的研究，促进了度观测、参数自设定等技术的研究，促进了无速度传感器矢无速度传感器矢量控制量控制的发展。与矢量控制技术相比，的发展。与矢量控制技术相比，直接转矩控制直接转矩控制的实现的实现更为简单，对电动机转子参数的变化不敏感，因此是异步电更为简单，对电动机转子参数的变化不敏感，因此是异步电动机高性能调速的又一种走向实用化的方法。动机高性能调速的又一种走向实用化的方法。3.1 三相异步电动机的动态数学模型三相异步电动机的动态数学模型直流电机的数学模型直流电机的数学模型 直流电机的磁通由励磁绕组产生，可以在电枢合上电源直流电机的磁通由励磁绕组产生，可以在电枢合上电源以前建立起来而不参与系统的动

5、态过程以前建立起来而不参与系统的动态过程(弱磁调速时除外弱磁调速时除外), 因此它的动态数学模型只是一个单输入和单输出系统。因此它的动态数学模型只是一个单输入和单输出系统。直流电机直流电机模型模型U 直流电机模型变量和参数直流电机模型变量和参数v 输入变量输入变量电枢电压电枢电压 Ud ；v 输出变量输出变量转速转速 n ；v 控制对象参数：控制对象参数：p机电时间常数机电时间常数 Tm ；p电枢回路电磁时间常数电枢回路电磁时间常数 Tl ；p电力电子装置的滞后时间常数电力电子装置的滞后时间常数 Ts 。图图3-5 直流电动机动态结构图直流电动机动态结构图Id1/RTls+1TmsR1CeUd

6、0IdlEnKSTSs+1Uct+_+_ 控制理论和方法控制理论和方法 在工程上能够允许的一些假定条件下，可以描述成在工程上能够允许的一些假定条件下，可以描述成单变量（单输入单输出）的三阶线性系统，完全可以应单变量（单输入单输出）的三阶线性系统，完全可以应用经典的线性控制理论和由它发展出来的工程设计方法用经典的线性控制理论和由它发展出来的工程设计方法进行分析与设计。进行分析与设计。 但是，同样的理论和方法用来分析与设计交流调速但是，同样的理论和方法用来分析与设计交流调速系统时，就不那么方便了，因为交流电机的数学模型和系统时，就不那么方便了，因为交流电机的数学模型和直流电机模型相比有着本质上的区

7、别。直流电机模型相比有着本质上的区别。3.1.1 交流电机数学模型的特点 （1）异步电机变压变频调速时需要进行电压（或电流）异步电机变压变频调速时需要进行电压（或电流）和频率的协调控制，有电压（电流）和频率两种独立的和频率的协调控制，有电压（电流）和频率两种独立的输入变量。输入变量。 在输出变量中，除转速外，磁通也得算一个独立的在输出变量中，除转速外，磁通也得算一个独立的输出变量。输出变量。 因为电机只有一个三相输入电源，磁通的建立和转因为电机只有一个三相输入电源，磁通的建立和转速的变化是同时进行的，为了获得良好的动态性能，也速的变化是同时进行的，为了获得良好的动态性能，也希望对磁通施加某种控

8、制，使它在动态过程中尽量保持希望对磁通施加某种控制，使它在动态过程中尽量保持恒定，才能产生较大的动态转矩。恒定，才能产生较大的动态转矩。异步电动机变频调速时需要协调控制频率和电压，其输异步电动机变频调速时需要协调控制频率和电压，其输入变量为定子电压和频率两个变量。入变量为定子电压和频率两个变量。而输出量除电动机的转速外，由于磁链的建立和转速的而输出量除电动机的转速外，由于磁链的建立和转速的变化是同时进行的，为实现良好的动态性能，必须控制变化是同时进行的，为实现良好的动态性能，必须控制磁链，磁链，因此异步电动机数学模型的输出变量应为转速和磁链两因此异步电动机数学模型的输出变量应为转速和磁链两个变

9、量，而转子电流只是状态变量。个变量，而转子电流只是状态变量。多变量、强耦合的模型结构多变量、强耦合的模型结构 异步电机是一个多变异步电机是一个多变量（多输入多输出）系量（多输入多输出）系统，而电压（电流）、统，而电压（电流）、频率、磁通、转速之间频率、磁通、转速之间又互相都有影响，所以又互相都有影响，所以是强耦合的多变量系统，是强耦合的多变量系统，可以先用右图来定性地可以先用右图来定性地表示。表示。A1A2Us1(Is) 异步电机的多变量、强耦合模型结构异步电机的多变量、强耦合模型结构 模型的非线性模型的非线性在异步电机中，在异步电机中，电流乘磁通产生转矩电流乘磁通产生转矩，转速乘磁通得，转速

10、乘磁通得到感应电动势到感应电动势。由于它们都是同时变化的，在数学模。由于它们都是同时变化的，在数学模型中就含有两个变量的乘积项。型中就含有两个变量的乘积项。这样一来，即使不考虑磁饱和等因素，这样一来，即使不考虑磁饱和等因素，数学模型也是数学模型也是非线性的。非线性的。电动机的调速过程本质上就是加速度的产生、存在和消电动机的调速过程本质上就是加速度的产生、存在和消失的过程，而加速度是由转子输出的机械转矩产生的。失的过程，而加速度是由转子输出的机械转矩产生的。转子的机械转矩是定子侧的电能通过磁链传递过来的磁转子的机械转矩是定子侧的电能通过磁链传递过来的磁场能量转换为机械能量的结果场能量转换为机械能

11、量的结果 。 模型的高阶性模型的高阶性三相异步电机定子有三个绕组，转子也可等效为三个三相异步电机定子有三个绕组，转子也可等效为三个绕组，每个绕组产生磁通时都有自己的电磁惯性，再绕组，每个绕组产生磁通时都有自己的电磁惯性，再算上运动系统的机电惯性，和转速与转角的积分关系，算上运动系统的机电惯性，和转速与转角的积分关系，即使不考虑变频装置的滞后因素，也是一个八阶系统。即使不考虑变频装置的滞后因素，也是一个八阶系统。 总起来说，总起来说，异步电机的动态数学模型是一个高阶、异步电机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统非线性、强耦合的多变量系统。3.1.2 三相异步电动机的多变量非线性数

12、学模型 假设条件：假设条件：（1）忽略空间谐波，设三相绕组对称，在空间互差）忽略空间谐波，设三相绕组对称，在空间互差120电电角度，产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布角度，产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布（2）忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感都是恒定的）忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感都是恒定的（3）忽略铁心损耗；）忽略铁心损耗；（4）不考虑频率和温度变化对绕组电阻的影响。）不考虑频率和温度变化对绕组电阻的影响。 异步电动机的数学模型异步电动机的数学模型 无论电动机转子是绕线式还是鼠笼式的，都将它无论电动机转子是绕线式还是鼠笼式的，都将它等效成等效成绕线转子，并折算到定子侧，折算后的每相

13、匝数都相等绕线转子，并折算到定子侧，折算后的每相匝数都相等，等效物理模型如图等效物理模型如图3-1所示所示ABCuAuBuC1uaubucabcm图图 3-1a 三相异步电动机的物理模型三相异步电动机的物理模型异步电动机的数学模型异步电动机的数学模型LmLmABCabc muA(iA)uB(iB)uC(iC)RsLlsLmLmLlsLlsRsRsRrRrRrLmLm图图3-1 三相三相异步异步电动电动机的机的物理物理模型模型异步电动机的数学模型异步电动机的数学模型定子三相绕组轴线定子三相绕组轴线 A、B、C 在空间是固定的，故定在空间是固定的，故定义为三相静止坐标系，以义为三相静止坐标系，以

14、A 轴为参考坐标轴；轴为参考坐标轴；转子绕组轴线转子绕组轴线 a、b、c 随转子旋转，转子随转子旋转，转子 a 轴和定子轴和定子A 轴间的电角度轴间的电角度 m为空间角位移变量。为空间角位移变量。规定各绕组电压、电流、磁链的正方向符合电动机惯规定各绕组电压、电流、磁链的正方向符合电动机惯例和右手螺旋定则。例和右手螺旋定则。这时，异步电机的数学模型由下述这时，异步电机的数学模型由下述电压方程、磁链方电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程程、转矩方程和运动方程组成。组成。异步电动机的数学模型异步电动机的数学模型1. 运动方程运动方程 在一般情况下，电力拖动系统的运动方程式是在一般情况下，电力拖动系

15、统的运动方程式是 TL为为负载阻转矩；负载阻转矩； J为为机组的转动惯量；机组的转动惯量； 为电动机为电动机转子的电角速度。转子的电角速度。tnJTTddpLetddm 由运动方程可知，当负载转矩不变时，通过控制电由运动方程可知，当负载转矩不变时，通过控制电磁转矩就可以控制电动机的速度变化。磁转矩就可以控制电动机的速度变化。 (3-1)(3-2)2. 转矩方程转矩方程 )120sin()(sin)(maCcBbAmcCbBaAmpeiiiiiiiiiiiiLnT)120sin()(mbCaBcAiiiiii上式对研究由变频器供电的三相异步电动机调速系统具有重要的实际意义，它是在上式对研究由变频

16、器供电的三相异步电动机调速系统具有重要的实际意义，它是在磁路为线性，磁场在空间按正弦分布的假定条件下得出的，对定转子电流的波形没磁路为线性，磁场在空间按正弦分布的假定条件下得出的，对定转子电流的波形没有作任何假定，它们可以是任意的。有作任何假定，它们可以是任意的。 转矩方程式表示电量与机械量的关系，即电动机内部通过气隙的机电能量的转换关系。 按照电动机惯例规定正方向，电磁转矩方程表示为：(3-3)式中，mLiA、iB、iC:定子三相电流，ia、ib、ic:转子三相电流。为电动机定转子互感链过N匝线圈的磁链定义为 （3-4）式中为磁通。若磁链是由线圈本身通入电流i产生的，则称之为线圈的自感磁链。

17、于是电流i通过N匝线圈时，链过N匝线圈的磁链为 （3-5）式中L为线圈的自感。 3. 磁链方程磁链方程NiL从磁链的定义出发，交链某相的总磁链总磁链等于流过本绕组的电流产生的磁链与流过其他绕组电流因互感作用产生的交链本绕组的磁链之和。交链各绕组的磁链有两类:一类是只与定子或转子绕组本身交链而不穿过气隙的漏磁链;另一类是穿过气隙的公共主磁链（互感磁链），如图3-2所示。 3. 磁链方程磁链方程图图3-2 异步电动机的磁链异步电动机的磁链定子定子转子转子ABsLlAaL就就A相而言，交链相而言，交链A相定子绕组的磁相定子绕组的磁链链cAcbAbaAaCACBABAAAAiLiLiLiLiLiL（3

18、-6） 3. 磁链方程磁链方程 3. 磁链方程磁链方程 每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和，因此，六个绕组的磁链可表达为 cbaCBAcCcbcacCcBcAbcbbbabCbBbAacabaaaCaBaACcCbCaCCCBCABcBbBaBCBBBAAcAbAaACABAAcbaCBAiiiiiiLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL或写成 L Li i （3-7a） (3-7) 电感矩阵电感矩阵 式中，式中，L 是是66电感矩阵，其中对角线元素电感矩阵，其中对角线元素 LAA， LBB， LCC，Laa，Lbb，Lcc 是各有关

19、绕组的自感，其余各项则是是各有关绕组的自感，其余各项则是绕组间的互感。绕组间的互感。 可见，与电机绕组交链的磁通包括可见，与电机绕组交链的磁通包括穿过气隙的相间互穿过气隙的相间互感磁通感磁通和只与一相绕组交链而不穿过气隙的和只与一相绕组交链而不穿过气隙的漏磁通漏磁通，前者，前者是主要的。是主要的。 那么这些自感和互感量各为何值呢？ 主磁通：主磁通：由电机学可知，当对称三相绕组通以三相对称交由电机学可知，当对称三相绕组通以三相对称交流电时，即在气隙内建立以同步转速流电时，即在气隙内建立以同步转速 0旋转的磁场，该磁场旋转的磁场，该磁场的磁通称为主磁通。的磁通称为主磁通。主磁通的作用是实现机电能量

20、的转换与传递，交链于定子和转子主磁通的作用是实现机电能量的转换与传递，交链于定子和转子绕组。绕组。漏磁通：漏磁通：除此之外，还在绕组端部、定子槽内建立磁场，除此之外，还在绕组端部、定子槽内建立磁场，这种磁场的磁通只与绕组本身交链，称为漏磁通。这种磁场的磁通只与绕组本身交链，称为漏磁通。（一）（一） 自感自感 主磁通对应于定子、转子绕组间的互感主磁通对应于定子、转子绕组间的互感Lm；漏磁通对应的电感为定、转子漏感漏磁通对应的电感为定、转子漏感Lls、LlrlsmAALLL考虑绕组是对称的，即定子各相绕组的自感是相等的，考虑绕组是对称的，即定子各相绕组的自感是相等的，即即lsmCCBBAALLLL

21、L同理可推出转子绕组的各相自感同理可推出转子绕组的各相自感lrmccbbaaLLLLL对于每一相绕组来说，它所交链的磁通是互感磁通对于每一相绕组来说，它所交链的磁通是互感磁通 与漏与漏感磁通之和，因此，定子各相自感为感磁通之和，因此，定子各相自感为（3-9） （3-10） （一）（一） 自感自感 （一）（一） 自感表达式自感表达式 lrmslrmrLLLLv由于折算后定、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相同，故可认为 Lms = Lmr2AAA/ )(/NiNiNiLmv互感为何值呢？在线性条件下，由电感的基本定义出发，当设定、转子的匝数相等，且为N时，定、转子的磁导为，则

22、经过分析可知：定、转子的自感LAA、LBB、LCC、Laa、Lbb、Lcc都是常数（3-11） 电感的种类和计算电感的种类和计算v 定子漏感 Lls 定子各相漏磁通所对应的电感，由于绕组的对称性，各相漏感值均相等；v 转子漏感 Llr 转子各相漏磁通所对应的电感。v 定子互感 Lms与定子一相绕组交链的最大互感磁通；v 转子互感 Lmr与转子一相绕组交链的最大互感磁通。 互感表达式互感表达式v 两相绕组之间只有互感。互感又分为两类：v（1）定子三相彼此之间和转子三相彼此之间位置都是固定的，故互感为常值；v （2）定子任一相与转子任一相之间的位置是变化的，互感是角位移m的函数。 （二）定子绕组之

23、间的互感v 定子绕组间的互感是指式（3-7）中的LAB、LBA、 LAC、 LCA、 LBC、LCB。如图3-3所示，定子绕组之间因互感作用而交链A相绕组的磁通包括两部分两部分，一是通过气隙的主磁主磁通产生的互感作用通产生的互感作用；另外是漏磁通产生的互感作用漏磁通产生的互感作用。由于定子绕组是对称的，匝数相同，则定子绕组之间的互感是相等的，即LABLBALACLCALBCLCB图图3-3 定子绕组之间的互感作用定子绕组之间的互感作用定子定子转子转子ABABLmABLv 现以A相定子绕组为例求出B相相对于A相的互感LAB。v 同样由电感定义出发，分别求出气隙磁通和漏磁通决定的互感。v 设B相电

24、流产生且交链A相绕组的磁链为v 因主磁通产生的B相对A相的互感120cos2BABNim2B2BBABmAB2121120cosLNiNiiL（3-12）v 设B相的漏磁通交链于A相的磁链为，考虑B相轴线与A相轴线相差120o，故对应的互感漏磁通与A相的磁通方向相反，故漏磁通引起的互感为由此可见，定子绕组之间的互感也为常数。v定子绕组之间的互感作用为二者之和，即ABLABABmABCBBCCAACBAAB21)(LLLLLLLLLLm（3-13）v 转子绕组之间的互感是指式（3-7）中的Lab、Lba、Lac、Lca、Lbc、Lcb。由于转子绕组是对称的，轴线相差120o，相对位置是固定的，则

25、互感作用相同，即LabLbaLacLcaLbcLcb，同分析定子绕组间互感的方法一样，可得出转子绕组之间的互感（三）转子绕组之间的互感（三）转子绕组之间的互感abmcbbccaacbaab21LLLLLLLL（3-14）且为常数。 定、转子绕组间的互感，由于相互间位置的变化，可分定、转子绕组间的互感，由于相互间位置的变化，可分别表示为别表示为 mmcCCcbBBbaAAacosLLLLLLL)120cos(mmaCCacBBcbAAbLLLLLLL)120cos(mmbCCbaBBacAAcLLLLLLL 当定、转子两相绕组轴线一致时，两者之间的互感值当定、转子两相绕组轴线一致时，两者之间的互

26、感值最大，就是每相最大互感最大，就是每相最大互感 Lm。 （3-15）（3-16）（3-17）(四四) 定、转子绕组间的互感定、转子绕组间的互感2aaaaaAamWi)Wi (WiWiL2aaaaaAam)(NiNiNiNiL（3-18）ABCabc0m图图3-4 定、转子的矢量关系定、转子的矢量关系异步电动机旋转时，定子绕组轴线是固定的，则夹角m是周期变化的。即定、转子之间的互感，是时间t的函数，是时变的。从物理意义上理解，从物理意义上理解，由于定子绕组在空间位置上是固定的，而转子绕组是旋转的，当两者轴线重合，且方向一致时，交链的磁通最多，互感作用最强；当轴线方向相反时，互感作用呈“去磁”现

27、象；当轴线垂直时，没有磁链交链，定、转子之间的互感系数为零。 磁链方程磁链方程完整的磁链方程可写成分块矩阵的形式完整的磁链方程可写成分块矩阵的形式 rsrri ii iL LL LL LL L rssrssrsTCBAs Tcbar TCBAiiisi iTcbariiii i式中v 定子自感阵Lss为常数阵，即Lssconst，lsmABmABmABmlsmABmABmABmlsmCCCBCABCBBBAACABAAss212121212121LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL（3-20）v 转子自感阵Lrr为常数阵，即Lrrconst，lrmabmabmabmlrma

28、bmabmabmlrmcccbcabcbbbaacabaarr212121212121LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL 磁链方程磁链方程mmmmmmmmmmCcCbCaBcBbBaAcAbAasrcos)120cos()120cos()120cos(cos)120cos()120cos()120cos(cosLLLLLLLLLLLmmmmmmmmmmcCcBcAbCbBbAaCaBaArscos)120cos()120cos()120cos(cos)120cos()120cos()120cos(cosLLLLLLLLLLL转子对定子的互感阵Lsr为时变阵，即定子对转子的

29、互感阵Lrs也为时变阵，即 （3-22 ）（3-23） 由于磁链矩阵方程为时变的，则使异步电动机在静止的A、B、C轴系中，数学模型是时变微分方程组，难于求解，因而导致异步电动机控制复杂。 磁链方程磁链方程 值得注意的是，值得注意的是， 和和 两个分块矩阵互为转两个分块矩阵互为转置，且均与转子位置置，且均与转子位置 有关，它们的元素都是变有关，它们的元素都是变参数，这是参数，这是 系统非线性的一个根源。为了把变参系统非线性的一个根源。为了把变参数转换成常参数须利用坐标变换，后面将详细讨论数转换成常参数须利用坐标变换，后面将详细讨论这个问题。这个问题。 rsL LsrL Lm 磁链方程磁链方程4. 电压方程电压方程三相定子绕组的电压平衡方程为三相定子绕组的电压平衡方程为 tRiuddAsAAtRiuddBsBBtRiuddCsCC电压方程（续）电压方程（续） 与此相应，三相转子绕组折算到定子侧后的电压方程为与此相应，三相转子绕组折算到定子侧后的电压方程为 tRiuddaraatRiuddbrbbtR 上述各量都已折算到定子侧，为了简单起见，表示折上述各量都已折算到定子侧，为了简单起见，表示折算的上角标算的上角标“ ”均省略，以下同此。均省略，以下同此。 Rs, Rr定子和转子绕组电阻定子