概率论与数理统计：chapter2-1 离散型随机变量的概率分布

1、教学要求：教学要求：1. 理解随机变量的概念理解随机变量的概念;2. 理解离散型随机变量的分布律及性质理解离散型随机变量的分布律及性质; 3. 掌握二项分布、泊松分布掌握二项分布、泊松分布; 4. 会应用概率分布计算有关事件的概率会应用概率分布计算有关事件的概率; 5. 理解随机变量分布函数的概念及性质理解随机变量分布函数的概念及性质. .随机变量随机变量一一 .分布分布离散型随机变量的概率离散型随机变量的概率二二 .几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布三三 .随机变量的分布函数随机变量的分布函数四四 .注意事项及课堂练习注意事项及课堂练习五五一、随机变量一、随机变量 1. 直观背景直观背

2、景 在随机现象中，有许多问题与数值直接发生关系，在随机现象中，有许多问题与数值直接发生关系，同时也有许多问题与数值不直接发生关系，这时须同时也有许多问题与数值不直接发生关系，这时须把它们进行量化把它们进行量化. . 比如：比如： (1) 掷一枚骰子，观察出现的点数掷一枚骰子，观察出现的点数.)6(,),2(),1(621点点出现出现点点出现出现点点出现出现eeeS 引入引入: 654321 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1)(eeeeeeeeeeeeeXX,33来表示来表示可用可用点点出现出现且事件且事件 X.44来表示来表示可用可用出现点数不大于出现点数不大于事件事件 X(2)

3、测试某电子元件的寿命测试某电子元件的寿命. 0| ttS引入引入:0 ,)( tteXX且事件且事件“寿命小于寿命小于5小时小时”可用可用X 5来表示来表示. (3)将一枚硬币掷三次，观察出现正反面的情况将一枚硬币掷三次，观察出现正反面的情况, , 用正面描述用正面描述. . S=正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，正正正，正正反，正反正，反正正，正反反， 反正反，反反正，反反反反正反，反反正，反反反 ,87654321eeeeeeeeS 引入引入: 87654321 , 0, , 1, , 2 , 3)(eeeeeeeeeeeeeXX由此可见，随机试验的结果可以用一个变量来表示由此可见，

4、随机试验的结果可以用一个变量来表示. .这就是随机变量这就是随机变量. .2. 定义定义 .)(,)(,上的随机变量上的随机变量叫做样本空间叫做样本空间则将单值实函数则将单值实函数与之对应与之对应有一个实数有一个实数如果对于每一个如果对于每一个的样本空间为的样本空间为设随机试验设随机试验SeXXeXSeSE .X记为记为3. 注意注意 (1)实质上，随机变量就是把样本空间进行了量化实质上，随机变量就是把样本空间进行了量化. . ,)2(来表示来表示母母随机变量通常用大写字随机变量通常用大写字ZYX.,表示它们可能取的值表示它们可能取的值用小写字母用小写字母zyx(3)随机变量为一个实值函数，定

5、义域为样本空间随机变量为一个实值函数，定义域为样本空间. . :)()4(与一般函数的区别与一般函数的区别eXX ;)(是单值函数是单值函数eXX 自变量自变量e取哪一点具有随机性，由于随机变量取值取哪一点具有随机性，由于随机变量取值有一定的概率，对于取某一点又有统计规律性；有一定的概率，对于取某一点又有统计规律性； .)(法则法则一般是人为规定的对应一般是人为规定的对应eXX (5)有了随机变量，随机事件都可用随机变量来表示有了随机变量，随机事件都可用随机变量来表示. .,:等等比如比如xXxX (6)随机变量的分类随机变量的分类: : 离散型随机变量离散型随机变量：随机变量所取的一切可能值

6、为有限多个或可列个随机变量所取的一切可能值为有限多个或可列个. . 连续型随机变量连续型随机变量：随机变量所取的一切可能值可以充满某个空间随机变量所取的一切可能值可以充满某个空间. . 其他类型随机变量其他类型随机变量. . 二、离散型随机变量的概率分布二、离散型随机变量的概率分布 定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为 ), 2 , 1( kxk相应的概率为相应的概率为, 2 , 1 , kpxXPkk称上式为随机变量称上式为随机变量X的概率分布的概率分布或或分布律分布律. . 注意注意 1.概率分布可用表格表示为概率分布可用表格表示为: : Xkp1x

7、2xnx1p2pnp2.概率分布满足两个条件概率分布满足两个条件: : );, 2 , 1( , 10)1( kpk. 1)2(1 kkp以上两式即为概率分布的性质以上两式即为概率分布的性质. . ex1. 证明证明, 2 , 1,21)( kkXPk是某一随机变量是某一随机变量X的概率分布的概率分布. Proof. , 10 kXP 1121kkkkXP又又)212121(lim2kk . 1)211(lim kk所以结论成立所以结论成立.ex2. 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 X02 .2,231 XPXP求求P414121Solution. ; 0)(231 PXP.412

8、 XPXPex3. 从一装有从一装有4个红球，个红球，2个白球的口袋中，按以下两个白球的口袋中，按以下两 种方式取出种方式取出5个球：个球：(1) 每取一个，记下颜色后放回，再取下一个；每取一个，记下颜色后放回，再取下一个；(2) 取后不放回；取后不放回； 求取出球中红球个数求取出球中红球个数X的分布律的分布律.Solution. X012345P556254115624C53225624C52335624C5445624C5564X34P562234CCC561244CCC三、几个常用的离散型分布三、几个常用的离散型分布 1. 0-1-1分布分布 or or 两点分布两点分布 or Bern

9、oullior Bernoulli分布分布 设随机变量设随机变量X只能取两个值只能取两个值, 它的分布律是它的分布律是Xkp01qp,1pq 则称则称X服从服从0-1分布或两点分布分布或两点分布,)., 1(pBX记为记为2. 伯努利试验与伯努利试验与二项分布二项分布 伯努利试验的定义伯努利试验的定义: 在一固定不变的条件下做一种试验（在一固定不变的条件下做一种试验（n次）次） ;:)1(AA与与有两个有两个每次试验的可能结果只每次试验的可能结果只; 1,)(,)()2( qpqAPpAP(3)各次试验的结果互不影响各次试验的结果互不影响, ,即相互独立即相互独立. . 这样一串试验称为这样一

10、串试验称为n重伯努利试验重伯努利试验. . 当当n=1时时, ,称为伯努利试验称为伯努利试验. . 在在n重贝努利试验中重贝努利试验中A出现出现k次的概率公式次的概率公式 .1,)( ,)(pqpAPqpCkPknkknn 其中其中Proof. 根据独立事件概率的乘法定理，在根据独立事件概率的乘法定理，在n次试验中，次试验中，事件事件A在指定的在指定的k次实验中发生，而在其余的次实验中发生，而在其余的n-k次试验中不发生的概率为次试验中不发生的概率为 ,knkqp 而事件而事件A在在n次试验中发生次试验中发生k次，而不限定哪次，而不限定哪k次，所次，所以应有以应有 ,种种不不同同方方式式knC

11、由此有由此有 .1 ,)(pqqpCkPknkknn 注意到注意到: k的取值为的取值为0，1，2,n，于是，于是 )()1()0()(0nPPPkPnnnnkn . 1)( nqp二项分布二项分布设随机变量设随机变量X的分布律是的分布律是)., 2 , 1 , 0( ,1 ,nkpqqpCkXPknkkn 则称则称X服从二项分布服从二项分布,).,(pnBX记为记为3. 泊松分布泊松分布(Poisson)分布分布 设随机变量设随机变量X的分布律是的分布律是)., 2 , 1 , 0( , 0 ,! kekkXPk 则称则称X服从泊松分布服从泊松分布, ).( X记为记为4. 几何分布几何分布

12、 设随机变量设随机变量X的分布律是的分布律是)., 2 , 1( ,)1(1 kppkXPk则称则称X服从几何分布服从几何分布, ).(pGX记为记为注意注意: 1. 两点分布是二项分布的特殊情况，二项分布是两点两点分布是二项分布的特殊情况，二项分布是两点 分布的推广分布的推广. 2. 二项分布以泊松分布为极限分布二项分布以泊松分布为极限分布. ).,( ,! nnpekqpCkknkkn ex4.设每支步枪射击飞机的命中率为设每支步枪射击飞机的命中率为p=0.004，现用，现用 250支步枪同时独立地进行一次射击，求击中飞支步枪同时独立地进行一次射击，求击中飞 机（机（A）的概率）的概率.S

13、olution. ,996. 0004. 01,004. 0,250 qpn,X机机变变量量设设击击中中飞飞机机的的次次数数为为随随),1()004. 0 ,250( BX则则1)( XPAP11 XP 001kkXP 00)1(1k .632. 0368. 01 ex5.设一女工照管设一女工照管800个纱锭，若每一个纱锭单位时间个纱锭，若每一个纱锭单位时间内纱线被扯断的概率为内纱线被扯断的概率为0.005，求单位时间内扯断次数，求单位时间内扯断次数不大于不大于10的概率的概率.Solution. 设设X为单位时间内扯断次数，则为单位时间内扯断次数，则).4()005. 0 ,800( BX)

14、10( XP所所求求概概率率为为 100)005. 0 ,800(kB 100)4(k 997. 0查查表表 ex6.某商店中某种货物每月的销售量服从某商店中某种货物每月的销售量服从 =3的泊松分的泊松分布，问月初商店应有多少件这种货物才能以布，问月初商店应有多少件这种货物才能以99%的概的概率满足该月的需要？率满足该月的需要？Solution. 设设X为每月的销售量，则为每月的销售量，则.!3!3 ekekkXPkk 设月初应有这种货物设月初应有这种货物x件件,99. 0 xXP则则,99. 01 xXP01. 0 xXP01. 0!313 xkkekxXP而而查表有：查表有：8, 91 x

15、x即即所以，查表得最小的所以，查表得最小的x应是应是8. ex7. 假设一厂家生产的每台仪器，以概率假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接可以直接出厂；以概率出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了新生产了1000台仪器（假设各台仪器的生产过程相互台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求独立），求:(1)全部能出厂的概率全部能出厂的概率 ;(2)其中恰好有两件不能出厂的概率其中恰好有两件不能出厂的概率 ;(3)其中至少有两件不能出厂的概率其中

16、至少有两件不能出厂的概率 .Solution. 设设A=仪器能出厂仪器能出厂， B1 =仪器能直接出厂仪器能直接出厂,B2=仪器需进一步调试仪器需进一步调试,.21SBB 则则, 7 . 0)(1 BP且且3 . 0)(2 BP, 1)|(1 BAP, 8 . 0)|(2 BAP由全概率公式得由全概率公式得: .94. 0)|()()|()()(2211 BAPBPBAPBPAP设设X为所生产的为所生产的1000台仪器中能出厂的台数，则台仪器中能出厂的台数，则X作为作为1000次独立试验中仪器能出厂的次数，为次独立试验中仪器能出厂的次数，为贝努利试验，贝努利试验，,94. 0 p并且并且).9

17、4. 0 ,1000( BX即即;)94. 0(1000)1(1000 XP ;)06. 0()94. 0(21000)2(29989981000CXP 998010009991)3(kXPXPkXP .)94. 0()06. 0()94. 0(110009999991000 Cex8.日寇占领南京后，为了继续捕杀中国军人，通常日寇占领南京后，为了继续捕杀中国军人，通常在街头用中国话大声喊叫在街头用中国话大声喊叫“立正立正”，凡是立正的行人格，凡是立正的行人格杀勿论杀勿论. 当时南京，军人占当时南京，军人占20%，设非军人听到喊叫，设非军人听到喊叫而立正的概率为而立正的概率为0.2，而军人由于

18、条件反射而必然立正，而军人由于条件反射而必然立正.求求10个行人听到喊声后遇难人数不小于个行人听到喊声后遇难人数不小于2的概率的概率.Solution. 设设A为为“听到喊声后遇难听到喊声后遇难”，B1表示表示“军人军人”，B2表示表示“非军人非军人”，则，则B12，%,20)(1 BP且且%,80)(2 BP, 1)|(1 BAP. 2 . 0)|(2 BAP)()()(21ABPABPAP )|()()|()(2211BAPBPBAPBP .36. 016. 02 . 0 设听到喊声后遇难的人数为随机变量设听到喊声后遇难的人数为随机变量X,).36. 0 ,10( BX则则10个行人听到喊

19、声后遇难人数不小于个行人听到喊声后遇难人数不小于2的概率为的概率为 10210)(2kkPXP101 XPXP911010010)36. 01(36. 0)36. 01(1 CC.9236199. 0 四、随机变量的分布函数四、随机变量的分布函数 1. 分布函数的定义分布函数的定义 .)( ,的分布函数的分布函数称为称为函数函数是任意实数是任意实数是一个随机变量是一个随机变量设设XxXPxFxX 注意注意:;1 , 0),()()1(值域为值域为的定义域为的定义域为分布函数分布函数xF.)()2(00 xXPxF 2. 分布函数的性质分布函数的性质 性质性质1. , 1)(0 xF, 0)(l

20、im)( xFFx. 1)(lim)( xFFx性质性质2. .)(为单调不减函数为单调不减函数xF).()(,2121xFxFxx 时时即当即当性质性质3. .)(是右连续的是右连续的xF).()(lim)0(000 xFxFxFxx 即即满足以上三个条件的函数满足以上三个条件的函数F(x)称为分布函数称为分布函数. 性质性质4. 则则为两个实数为两个实数设设,ba),()(aFbFbXaP ),0()( aFaFaXP),(1aFaXP ),0(1 aFaXP),0( bFbXP),0()( aFbFbXaP).()0(aFbFbXaP Proof. )(aXbXPbXaP aXPbXP ).()(aFbF 1limaXkaPaXPk )1()(limkaFaFk ).0()( aFaF XaPaXP).(1)()(aFaFF )( XaaXPaXP)(1)0()(aFaFaF ).0(1 aF同理可证另外的等式同理可证另外的等式. . ex9.设随机变量设随机变量X 的分布函数为的分布函数为 2 120 sin0 0)( xxxAxxF.6| XPA及及求求Solution. ,2sin)2(AAF ,1)02( F由分布函数的右连续性，可得由分布函数的右连续性，可得 .1 A666 XPXP而而)6()06( FF.2106sin ex10.设设X是随机变量，已知它的分