【知识】二次函数知识点总结

1、文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.【关键字】知识二次函数知识点总结及相关典型题目二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分 二次函数根底知识相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项二次函数各种形式之间的变换二次函数用配方法可化成：的形式，其中.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.二次函数解析式的表示方法一般式： （，

2、，为常数， ） ；顶点式： （， ，为常数， ） ；两根式： （， ，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴向上性质x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值0a 00， 00， 0y轴y轴a 0向下y随x的增大增大而减小；x 0时，x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值0二次函数的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴向上性质性

3、质x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y有最小值ca 00， c0， cy轴a 0向下y轴x 0时，y随x的增大而减小；x 0时，y随x的增大而增大；x 0时，y有最大值c二次函数的性质：a的符开口方向顶点坐标对称轴1性质文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.号a 0向上h， 0h， 0x=hx h时，y随x的增大而增大；x h时，y随x的增大而减小；x h时，y有最小值0 x h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x的增大而增大；x h时，y有最大值0a 0向下x=h二次函数的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴向上性质x h时，y

4、随x的增大而增大；x h时，y随x的增大而减小；x h时，y有最小值ka 0h， kh， kx=ha 0向下x=hx h时，y随x的增大而减小；x h时，y随x的增大而增大；x h时，y有最大值k抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.顶点坐标坐标：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线中，与函数图像的关系二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当a

5、0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当a 0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在a 0的前提下，2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.b 0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab当b 0时， 0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab当b 0时， 0，即抛物线对称轴在y轴的右侧2a 在a 0的前提下，结论刚好与上述相反，即b当b 0时， 0，即抛物线的对称轴在y轴右侧

6、；2ab当b 0时， 0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab当b 0时， 0，即抛物线对称轴在y轴的左侧2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置总结：常数项c 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当c 0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当c 0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要a， b， c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法当b 0时，b 4ac b2公 式 法 ：y ax bx c ax ，

7、顶 点 是 2a4ab4ac b2b（，），对称轴是直线x .2a4a2a2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x h.22运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式一般式：y ax bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22交 点 式 ： 已 知 图 像 与x

8、轴 的 交 点 坐 标x1、x2， 通 常 选 用 交 点 式 ：y ax x1x x2.直线与抛物线的交点y轴与抛物线y ax2bx c得交点为(0,c).2与y轴 平 行 的 直 线x h与 抛 物 线y ax bx c有 且 只 有 一 个 交 点2(h,ahbh c).2抛物线与x轴的交点:二次函数y ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐2标x1、x2，是对应一元二次方程ax bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上） 0抛物线与x轴相切；3文档来源为:从网络收集整理.wor

9、d 版本可编辑.欢迎下载支持.没有交点 0抛物线与x轴相离.平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2 bx c k的两个实数根.2一次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax bx ca 0的图像y kxn的解的数目来确定： 方程组有两组不同g的交点， 由方程组2y ax bxc的解时l与g有两个交点; 方程组只有一组解时l与g只有一个交点； 方程组无解时l与g没有交点.2抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax bx c与x轴两交点为ax1， 0，bx2， 0，由于x1、x2

10、是方程ax2bx c 0的两个根，故bcx1 x2 ,x1 x2aaab x1 x2x1 x22x1 x22b24acb4c4x1x2 aaaa2二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x轴对称y ax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是y ax2bxc；y ax h k关于x轴对称后，得到的解析式是y ax h k；22关于y轴对称y ax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bxc；y ax h k关于y轴对称后，得到的解析式是y ax h k；22关于原点对称y ax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是y ax2bxc；y ax h

11、 k关于原点对称后，得到的解析式是y ax h k；关于顶点对称22b2y ax bxc关于顶点对称后，得到的解析式是y ax bxc；2a22y ax h k关于顶点对称后，得到的解析式是y ax h k22n对称关于点m，n对称后，得到的解析式是y ax h 2m 2n ky ax h k关于点m，22总结：根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换， 抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则， 选择合适的形式， 习惯上是先确定原抛物线 （或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向， 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向， 然

12、后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图象的平移平移步骤：2k； 将抛物线解析式转化成顶点式y ax h k，确定其顶点坐标h，k处，具体平移方法如下： 保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h，4文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.y=ax2向上(k0)【或向下 (k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0y图像0 x（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=a0y0 x（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；bbbb，顶点坐标是（，（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，2a2a2a2a4ac b2） ；4a（3）在

13、对称轴的左侧，即当 x性质4ac b2） ；4abb时，y 随 x（3）在对称轴的左侧，即当 x的增大而减小；在对称轴 的右侧，即当xb时，y 随 x 的增大而增大，简记左减2ab时，y 随 x 的增大而减小，简记左2a右增；（4）抛物线有最低点，当x=增右减；bb时，y 有最小（4）抛物线有最高点，当 x=时，y 有最2a2a大值，y最大值值，y最小值4ac b24a24ac b24a2、二次函数y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与 x 轴有两个交点；8文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢

14、迎下载支持.当=0 时，图像与 x 轴有一个交点；当0 时，图像与 x 轴没有交点。知识点五知识点五 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y如图：点 a 坐标为（x1，y1）点 b 坐标为（x2，y2）则 ab 间的距离，即线段 ab 的长度为x1 x22y1 y22a0 xb2y ax bx c图象的画法图象的画法知识点五知识点五 二次函数二次函数五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bxc化为顶点式y a(x h)2 k，确定其开口方向、对称轴及顶点

15、坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.c、以及0， c关于对称轴对称一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、与x轴的交点x1， 0，x2， 0（若与x轴没有交点，则取两组关于的点2h，对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.2、已知二次函数y ax bx c(a 0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）a、a 0，b 0，c 0b、a 0，b 0，c 0c、a 0，b 0，c 0d、a 0，b 0，c 0、函数y ax2 a与y a(a 0)在同一坐标系中的图象可能是（）xy yy yx xox xy yy yox xoo

16、x xabcd特别记忆特别记忆-同左上加同左上加异右下减异右下减 ( (必须理解记忆必须理解记忆) )说明 函数中 ab 值同号，图像顶点在 y 轴左侧同左同左，a b值异号，图像顶点必在y 轴右侧异右异右向左向上移动为加左上加左上加，向右向下移动为减右下减右下减9文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.3、直线斜率：y2 y1b为直线在y轴上的截距4、直线方程：k tanx2 x14 4、两点两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:y y1 kxb (tan)xb y2 y1x(x x1)此公式有多种变形此公式有多种变形牢记牢记x2 x1点斜点斜y y1 k

17、x(x x1)斜截斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0)截距截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：xy1ab牢记牢记口诀口诀 - -两点斜截距两点斜截距-两点两点 点斜点斜 斜截斜截 截距截距5、设两条直线分别为，l1：y k1x b1l2：y k2x b2若l1/ l2，则有l1/ l2 k1 k2且b1 b2。若l1 l2 k1 k2 16、点p（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离:d kx0 y0bk2 (1)2kx0 y0bk217 7、抛物线、抛物线y ax2bx c中，中， a b c, a b c,的作用的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx c的对称轴是直线22bb，故：b 0时，对称轴为y轴； 0（即a、b同号）时，对