第14讲能量均分定理及气体速率分布律

1、大学物理电子教案大学物理电子教案第第14讲讲 能量均分定理及能量均分定理及气体速率分布律气体速率分布律7.4 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能7.5 麦克斯韦气体速率分布律麦克斯韦气体速率分布律7.6 玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式等温气压公式塔里木大学教学课件塔里木大学教学课件复复 习习气体动理论的基本观点气体动理论的基本观点理想气体的微观模型理想气体的微观模型理想气体压强公式理想气体压强公式knvmnp 3222132)( 理想气体的温度理想气体的温度kTvm23212 6.4 能量均分定理能量均分定理 理想气体内能理想气体内能一、自由度一、自由度l定

2、义：定义：确定一个物体的空间位置所需要的独确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目立坐标数目自由度。自由度。l质点的自由度质点的自由度直线运动直线运动 x 一个自由度一个自由度 i=1平面运动平面运动 x,y 两个自由度两个自由度 i=2空间运动空间运动 x,y,z 三个自由度三个自由度 i=3l自由刚体自由刚体i=6 3 3个平动个平动 3 3个转动个转动一个坐标一个坐标q q 决定刚体转过的角度决定刚体转过的角度两个独立的两个独立的a a， b b 决定转轴空间位置决定转轴空间位置三个独立的坐标三个独立的坐标 x,y,z 决定转轴上一点决定转轴上一点xyzOA(x,y,z)xyza ab

3、 bq ql刚性杆：刚性杆：x,y,z, i=5l刚体定轴转动：刚体定轴转动： i=1l 分子的自由度分子的自由度单原子单原子 i=3 自由质点自由质点双原子双原子 i=5 刚性杆刚性杆多原子多原子 i=6 自由刚体自由刚体l说明：说明：一般来说，一般来说，n3个原子组成的分子，共有个原子组成的分子，共有3n个自由度，个自由度，其中其中3个平动自由度，个平动自由度，3个转动自由度，个转动自由度，(3n-6)个振动自由度。当个振动自由度。当气体处于低温状态时，可把分子视为刚体。气体处于低温状态时，可把分子视为刚体。A(x,y,z)xyza ab bq ql 一个分子的平均平动能为一个分子的平均平

4、动能为二、能量均分定理：二、能量均分定理：kTkt23 222221212121zyxkvmvmvmvm 222231vvvvzyx kTvmvmvmzyx21212121222 结论：结论：分子的每一个平动自由度上具有相同的平均平动动分子的每一个平动自由度上具有相同的平均平动动能，都是能，都是kT/2 ，或者说分子的平均平动动能，或者说分子的平均平动动能3kT/2是均匀地是均匀地分配在分子的每一个自由度上分配在分子的每一个自由度上平方项的平均值平方项的平均值平动自由度平动自由度能量按自由度均分定理：能量按自由度均分定理：说明：说明：是统计规律，只适用于大量分是统计规律，只适用于大量分子组成的

5、系统。子组成的系统。 气体分子无规则碰撞的结果。气体分子无规则碰撞的结果。统计物理可给出严格证明。统计物理可给出严格证明。推广：推广：在温度为在温度为T 的平衡态下，分子的每一个转动自由度的平衡态下，分子的每一个转动自由度上也具有相同的平均动能，大小也为上也具有相同的平均动能，大小也为kT/2。在温度为在温度为T的平衡态下，气体分子每个自由度的平衡态下，气体分子每个自由度的平均动能都相等，都等于的平均动能都相等，都等于kT/2。这就是这就是能量能量按自由度均分定理按自由度均分定理，简称，简称能量均分定理。能量均分定理。单原子分子单原子分子 i=3 k=3kT/2 双原子分子双原子分子 i=5

6、k=5kT/2多原子分子多原子分子 i=6 k=6kT/2kTik2 l热力学系统的内能热力学系统的内能热力学系统的内能是指气体分子各种形态的动能与势能的总热力学系统的内能是指气体分子各种形态的动能与势能的总和。即系统所包含的全部分子的能量总和称为系统的内能。和。即系统所包含的全部分子的能量总和称为系统的内能。三、理想气体的内能和摩尔热容三、理想气体的内能和摩尔热容1 1、理想气体的内能：、理想气体的内能：l理想气体内能公式理想气体内能公式理想气体内能是分子平动动能与转动动能之和理想气体内能是分子平动动能与转动动能之和分子的自由度为分子的自由度为i，则一个，则一个分子能量为分子能量为ikT/2

7、， 1摩尔理摩尔理想气体，有个想气体，有个NA分子，内分子，内能能RTiNkTiEA22 m/M摩尔理想气体，内能摩尔理想气体，内能RTiMmE2l说明：说明：理想气体的内能与温度和分子的理想气体的内能与温度和分子的自由度有关。自由度有关。内能仅是温度的函数，即内能仅是温度的函数，即E=E(T)，与与P，V无关。无关。状态从状态从T1T2,不论经过什么过程，不论经过什么过程，内能变化为内能变化为)(21212TTRiMmEEE 2 2、摩尔热容、摩尔热容定体摩尔热容定体摩尔热容RiCmV2, 定压摩尔热容定压摩尔热容RiCmp22, 摩尔热容比摩尔热容比iimVmpCC2, 气体气体理论值理论

8、值实验值实验值CV,mCP,mCV,mCP,mHe12.4720.781.6712.6120.951.66Ne12.5320.901.67H220.7820.091.4020.4728.831.41N220.5628.881.40O221.1629.611.40H2O24.9333.241.3327.836.21.31CH427.235.21.30CHCl363.772.01.13对于单原子分子与双原子对于单原子分子与双原子分子，理论与实验符合得分子，理论与实验符合得很好，而对于多原子分子，很好，而对于多原子分子，理论与实验相差较大。理论与实验相差较大。四、固体热容四、固体热容设固体由设固体由

9、N个原子组成，个原子组成，N个原子的三维振动，可以看成个原子的三维振动，可以看成是是3N个一维振动。原子作一维振动时，自由度为个一维振动。原子作一维振动时，自由度为i=2,一项一项为动能，一项为势能。为动能，一项为势能。N个原子振动的平均能量为个原子振动的平均能量为NkTNE33 1mol晶体的内能为晶体的内能为RTkTNEA33 晶体的摩尔热容晶体的摩尔热容111 .25 3 KmolJRdTdEdTdQCm6.5 麦克斯韦气体速率分布律麦克斯韦气体速率分布律引言：引言：气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分气体分子处于无规则的热运动之中，由于碰撞，每个分子的速度都在不断地改变，所

10、以在某一时刻，对某个分子的速度都在不断地改变，所以在某一时刻，对某个分子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大子来说，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守量分子整体而言，在一定条件下，分子的速率分布遵守一定的统计规律一定的统计规律气体速率分布律气体速率分布律。气体分子按速率分布的统计规律最早是有气体分子按速率分布的统计规律最早是有麦克斯韦麦克斯韦于于1859年年在概率论的基础上导出的，在概率论的基础上导出的，1877年年玻耳兹曼玻耳兹曼由经典统计力学由经典统计力学中导出，中导出，1920年年斯特恩斯特恩从实验中证实了麦克斯韦分子按速率

11、从实验中证实了麦克斯韦分子按速率分布的统计规律。分布的统计规律。麦克斯韦（麦克斯韦（James Clerk Maxwell 18311879)19世纪伟大的英世纪伟大的英国物理学家、数国物理学家、数学家。经典电磁学家。经典电磁理论的奠基人，理论的奠基人，气体动理论的创气体动理论的创始人之一。始人之一。 他提出了有旋电场和位移电流概念，建他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，预言了以光速传播立了经典电磁理论，预言了以光速传播的电磁波的存在。的电磁波的存在。1873年，他的年，他的电磁学通论电磁学通论问世，这问世，这是一本划时代巨著，它与牛顿时代的是一本划时代巨著，它与牛顿时代的自然

12、哲学的数学原理自然哲学的数学原理并驾齐驱，它并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。是人类探索电磁规律的一个里程碑。在气体动理论方面，他还提出气体分子在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分布的统计规律。按速率分布的统计规律。一、测定气体分子速率的实验一、测定气体分子速率的实验 1、实验装置、实验装置O蒸汽源蒸汽源 S 分子束射出方向孔分子束射出方向孔R 长为长为 l 、刻有螺旋形细槽、刻有螺旋形细槽的铝钢滚筒的铝钢滚筒D 检测器，测定通过细槽的检测器，测定通过细槽的分子射线强度分子射线强度2、实验原理、实验原理当圆盘以角速度当圆盘以角速度转动时，转动时，每转动一周，分子射线每转动一周，

13、分子射线通过圆盘一次，由于分通过圆盘一次，由于分子的速率不一样，分子子的速率不一样，分子通过圆盘的时间不一样，通过圆盘的时间不一样，只有速率满足下式的分只有速率满足下式的分子才能通过子才能通过S达到达到D q q vllvq q 3、实验结果、实验结果分子数在总分子数中所占的比分子数在总分子数中所占的比率与速率和速率间隔的大小有率与速率和速率间隔的大小有关；关；速率特别大和特别小的分子数速率特别大和特别小的分子数的比率非常小；的比率非常小；在某一速率附近的分子数的比在某一速率附近的分子数的比率最大；率最大；改变气体的种类或气体的温度改变气体的种类或气体的温度时，上述分布情况有所差别，时，上述分

14、布情况有所差别，但都具有上述特点。但都具有上述特点。二、麦克斯韦气体分子速率分布律二、麦克斯韦气体分子速率分布律l速率分布函数的定义：速率分布函数的定义：一定量的气体分子总数为一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在某区表示速率分布在某区间间 vv+dv内的分子数，内的分子数， dN/N表示分布在此区间内表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率。的分子数占总分子数的比率。实验规律：实验规律：dN/N 是是 v 的函数；的函数；当速率区间足够小时（宏观小，微观大）当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与区间大小成正比。还应与区间大小成正比。1、速率分布函数、速率分布函数dvv

15、fNdN)( NdvdNvf )(速率分布函数速率分布函数l物理意义：物理意义：速率在速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总分子数附近，单位速率区间的分子数占总分子数的概率，或概率密度。的概率，或概率密度。 100 dvvfNdNNNdNdvvf )(表示速率分布在表示速率分布在vv+dv内的内的分子数占总分子数的概率分子数占总分子数的概率 21)(vvdvvfNdN表示速率分布在表示速率分布在v1v2内的分内的分子数占总分子数的概率子数占总分子数的概率l速率分布曲线速率分布曲线归一化条件归一化条件2、麦克斯韦速率分布律、麦克斯韦速率分布律在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布

16、在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间在任一速率区间 vv+dv 的分子数占总分子数的比率为的分子数占总分子数的比率为dvvekTmNdNkTmvv2223224 2223224vekTmvfkTmv麦克斯韦麦克斯韦速率分布函数速率分布函数m分子的质量分子的质量T热力学温度热力学温度k玻耳兹曼常量玻耳兹曼常量vPv v+dvv面积面积= dN/Nf(v)f(vP)曲线下面宽度为曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于的小窄条面积等于分布在此速率区间分布在此速率区间内的分子数占总分内的分子数占总分子数的概率子数的概率dN/N 。定义：定义：与与 f( (v) )极大值相对

17、应的速率，称为最概然速率。极大值相对应的速率，称为最概然速率。物理意义：物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，若把整个速率范围划分为许多相等的小区间，则分布在则分布在vP所在所在区间的分子数比率最大。区间的分子数比率最大。 vP的值：的值： 0dvvdfMRTMRTmkTvp41. 1 22 三、三种统计速率三、三种统计速率1、最可几速率、最可几速率2、平均速率、平均速率定义：定义：大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。NvNNvNviiiii 计算：计算：NvdNv dvvNfdN)( dvvvfNdvvvNfNvdNv)()(MRT

18、MRTmkTv60. 1 8 8 3、方均根速率、方均根速率定义：定义：大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。NvNNvNviiiii 222计算：计算： dvvfvNdvvNfvNdNvv)()(2222MRTMRTmkTvvrms 73. 1 3 32 4、讨论、讨论vp 随随 T 升高而增大，随升高而增大，随m 增大而减小。增大而减小。三种速率的大小顺序为三种速率的大小顺序为 rmspvvv MRTMRTmkTvp41. 1 22 三种速率的意义三种速率的意义讨论速率分布时讨论速率分布时用最概然速率用最概然速率讨论分子碰撞

19、时讨论分子碰撞时用平均速率用平均速率讨论分子平均平动动能时讨论分子平均平动动能时用方均根用方均根速率速率都含有统计的平均意义，反映大量分子作都含有统计的平均意义，反映大量分子作热运动的统计规律。热运动的统计规律。21mm ov)(vf1Pv2Pvm 2m 1T 112TT ov)(vf1Pv2PvT 2说明下列各量的物理意义：说明下列各量的物理意义：dvvf)(.1dvvNf)(.2dvvnf)(. 3 21)(.4vvdvvf 21)(.5vvdvvNf 0)(.6dvvf 02)(.7dvvfv 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。

20、 单位体积内分子速率分布在速率单位体积内分子速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v速速率区间内的分子数。率区间内的分子数。dNdvvNf )(. 2VdNNdNVNdvvnf )(. 3解：解： 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + d v 速率区间内的分子数占速率区间内的分子数占总分子数的比率。总分子数的比率。NdNdvvf )(. 1NdvdNvf )( )()(2121)(.4vNvNvvNdNdvvf 分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分内的分子数占总分子数的比率。子数的比率。 )()(2121)(.5vNvNvvdNdvvNf 分布在有

21、限速率区间分布在有限速率区间 v1 v2 内的分子数。内的分子数。1)(.60 dvvf 分布在分布在 0 速率区间速率区间内的分子数占总分子数的比率。内的分子数占总分子数的比率。（ 归一化条件）归一化条件）202)(.7vdvvfv v2 的平均值。的平均值。麦克斯韦速度分布函数麦克斯韦速度分布函数 zyxkTvvvmvvvdvdvdvekTmNdNzyxzyx2232222 6.6 玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律 等温气压公式等温气压公式一、玻尔兹曼能量分布律一、玻尔兹曼能量分布律 kzyxmvvvvm 2222212问题：对于更一般的情形，如在外力场中问题：对于更一般的情形，如在外

22、力场中的气体分子的分布将如何？的气体分子的分布将如何？其指数仅包含分子运动动能其指数仅包含分子运动动能分子按速度的分布不受分子按速度的分布不受力场的影响，按空间位力场的影响，按空间位置的分布却是不均匀的，置的分布却是不均匀的，依赖于分子所在力场的依赖于分子所在力场的性质。性质。玻尔兹曼的推广玻尔兹曼的推广用用k+p 代替代替k，用，用x、y、z、 vx、 vy、 vz 为轴为轴构成的六维空间中的体构成的六维空间中的体积元积元 xdydzdvxdvydvz 代代替速度空间的体积元替速度空间的体积元dvxdvydvz 玻尔兹曼能量分布律玻尔兹曼能量分布律当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间

23、当系统在力场中处于平衡态时，其中坐标介于区间xx+dx、yy+dy、zz+dz内，内，同时速度介于同时速度介于vxvx+dvx，vyvy+dvy，vzvz+dvz内的分子数为内的分子数为 zyxkTvvvzyxdvdvdxdydzdvekTmndNPKzyx 230,2单位体积分子数单位体积分子数ndxdydzendvdvdvekTmdxdydzendNkTzyxkTkTzyxPKP 0230,2kTzyxPendxdydzdNn 0,n0为在为在p=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。处，单位体积内具有各种速度的分子总数。RTMghkTmghenenn 00重力场中粒子按高度的分布重力场中粒子按高度的分布( (p=mgh) )重力场中，一方面是无规则的热运动使重力场中，一方面是无规则的热运动使气体分子均匀分布于它们所能够到达的气体分子均匀分布于它们所能够到达的空间。另一方面是重力要使气体分子