椭圆四：面积问题

1、椭圆四：有关面积问题1. 2021 一模海淀19.本小题总分值13分椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为3F1,F2，且厅店2| 2，点1,-2在椭圆C上.I求椭圆C的方程；AF2B的面积为，求以F2为圆心7H过F1的直线I与椭圆C相交于A,B两点，且答案：19.本小题总分值13分X2 y2解：I设椭圆的方程为 2 牙1,a b 0，由题意可得:且与直线I相切的圆的方程a b椭圆C两焦点坐标分别为 片(1,0) , F2(1,0) .1分2a -d D2 (；)2 (1 D2 (；)25 | 4.3分a 2,又 c 1 b24 13, 4 分2 2故椭圆的方程为 X y 1 . 5

2、分43(n)当直线lx轴，计算得到：A( 1, -), B( 1,-),2 211S af2b | AB| | RF2| 3 23，不符合题意.6 分2 22当直线|与x轴不垂直时，设直线I的方程为：y kx 1,y k(x 1)由 x2 y ，消去 y得 (3 4k2)x2 8k2x 4k2 12 0,7 分43显然0 成立，设 A(x1, y1), B(x2, y2),那么 x1 x28k23 4k2 ,x1 x24k2 1223 4k2又 | AB |1 k2 .、(为 x?)24为 x2.1 k264k44(4 k2 12)'、(3 4k2)23 4k2即 |AB|,1 k21

3、2 . k2 13 4k212(k2 1)3 4k2又圆F2的半径|k_丫少_2|kl°k2k210分1所以 *B 2|AB|r1 12(k2 1)4k22|k|_厂k212|k| 1 k234k212/27化简，得17k4 k2 18即(k21)(17k218)0,解得12分所以，浮忑，故圆F2的方程为：x 122.13分n另解：设直线|的方程为x tyx由x2ty2y31，消去x得41223t )y6ty 90恒成立,设 A(x1, yj, B(X2, y2)，那么 y1y26t492 ,4 3t2所以|y1 y21一(M y2)2 4y1y236t2(4 3t2)24363t2

4、12.t214 3t2又圆F2的半径为r 11 t 0 11-1t210分所以AF2BIF1F2I |y1y21I y1 y2112、.t214 3t212二7，解得t21,所以2厂t212分故圆2F2的方程为：x 12.13分2朝阳2021 一模理19.本小题总分值14分A 2, 0，B2, 0为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A,B的动点,且APB面积的最大值为2,3 .I求椭圆C的方程及离心率；n直线 AP与椭圆在点B处的切线交于点 D，当直线AP绕点A转动时，试判断以 BD 为直径的圆与直线 PF的位置关系，并加以证明.答案：19.本小题总分值14分解：I由题意可设椭

5、圆2C的方程为笃a1(aF(c,O) 1 2a b由题意知2a2a2,b22、3,解得bx2故椭圆C的方程为431，离心率为0),1 .6n以BD为直径的圆与直线 PF相切.证明如下：由题意可设直线 AP的方程为k(x 2) (k0).那么点D坐标为2, 4k，BD中点E的坐标为(2,y由x!4k(x2y_32),得(3 4k2)x216k2x 16k2116k212设点P的坐标为(x°, y°)，贝U 2x0 3 4k6 82所以 X0R，y0 k(X0 2) 312k4k2 10分因为点F坐标为1, 0,1时，点P的坐标为1,-,2 2点D的坐标为2,2).直线PF x

6、轴，此时以BD为直径的圆2 2(X 2)(ym1)1与直线PF相切.1时，那么直线PF2的斜率kpFXoy。一14k4k2 .所以直线PF的方程为_(x1 4k2点E到直线PF的距离8k1 4k22k 4k 21 4k216k2彳2 2 1 (1 4k2)22k8k31 4k21 4k2|1 4k212|k| 又因为| BD | 4|k | ,1 所以 d -| BD |.2故以BD为直径的圆与直线 PF相切.14分综上得，当直线 AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线 PF相切.3. 2021顺义二模理19.本小题总分值14分椭圆C的左，右焦点坐标分别为F1 3,0,F2 3,0 ,离心率

7、是上彳。椭圆C的左，右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线 AS,BS与直线| : x分别交于M,N两点。3(1)(2)求椭圆求线段C的方程；MN长度的最小值;(3)当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的1T满足： TSA的面积为1。试确定点T的个数。5解(1)因为C ，且c . 3，a 2所以2,b,a2 c21x2所以椭圆C的方程为一4.3分(2 )易知椭圆C的左，右顶点坐标为 A( 2,0), B(2,0),直线AS的斜率k显然存在，且k 0故可设直线AS的方程为y k(x2)，从而 M( ®, 4k)33y k(x由x22才y2)得(114k2)x216k

8、2x16k2 40设 S(xi, yi)，那么(2)xi16k24k24，得 x12 8k24k2从而y14k1 4k28k22 ,2，即 S(1 4k2 14k苛)又B(2,0)，故直线BS的方程为2)丄(x4k1032)得103，所以N(43k103故MN当且仅当4k3k所以MN4k343k43k4k时，即k3k1时等号成立所以k 1时,线段MN(3)由(2)知，当线段MN此时AS的方程为x y的长度取最小值83的长度取最小值时，20，S( 6,4),5 5.9分所以ASTSA的面积为1，5只需点T到直线AS的距离等于J2所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线丨上4t 2 J235设i

9、：x y t 0,那么由右亍，解得t 2或t 2i2x当t -时，由42x y由于440 ,故直线l2x2t5时，由4 y25x y -2由于200,故直线l综上所求点T的个数是2.y2 123 得 5x212x 50-02与椭圆C有两个不同交点1得 5x220x 2100与椭圆C没有交点4. 2021寒假东城19.本小题总分值13分椭圆C的中心在原点，一个焦点F0,、2，且长轴长与短轴长的比是2:1 .I求椭圆C的方程；n假设椭圆C在第一象限的一点 P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA, PB分别交椭圆C于另外两点 A, B，求证：直线 AB的斜率为定值；川求 PAB面积的

10、最大值.答案：19.本小题总分值13分2 2解：i设椭圆C的方程为占21a b 0.a b2 , 2 2a b c ,由题意 a: b 、2:1, 2分c . 2.解得 a24, b22 .21所以椭圆C的方程为l4n由题意知，两直线 PA, PB的斜率必存在，设 PB的斜率为k,Xb 1 Xbk22.2k 22 k2同理可得xAk22、2k 22 k2那么 XaXb42k2 2k2yBk(xA 1) k(xB 1)8k所以直线AB的斜率kAB业yB、2为定值.XaXb那么PB的直线方程为y .2 k(x 1).y .2 k(x 1),由y2x2得1.4 2(2 k2)x2 2k(.,2 k)

11、x (2 k)240.设 A(xAyA), B(Xbb)，那么(川)设 AB的直线方程为y 、2x m .y 2x m,由 y2 x2得 4x2 2,2mx m2 4 0.I x 1.4210分由 (2、2m)216(m2 4)0，得 m28.此时xAxB、2 mm2 4,Xa Xb24P到AB的距离为d3 2 m2AB 7(Xa Xb)2 (Ya Yb)"12那么 S pab"lABd1 1 2 22 A ( m 8)因为m24使判别式大于零，所以当且仅当m 2时取等号,5. 2021 一模石景山19.此题总分值14分m交椭圆于不同x2y2J6_椭圆 r r 1a b 0

12、的离心率为 ,长轴长为2, 3 ,直线l : y kx ab3的两点A、B。1求椭圆的方程；2求m 1,且OA OB 0,求k的值O点为坐标原点；J33假设坐标原点O到直线I的距离为.，求 AOB面积的最大值。2答案：19.此题总分值14分解：1设椭圆的半焦距为 c,c . 6依题意 a 3 'a %； 3解得c . 2由 a2 b2 c2,得 b 1. 2 分2所求椭圆方程为y? 1. 3分32 m 1, y kx 1.设 A(X1,yd Bgy2),2xkx其坐标满足方程3y消去y并整理得2 2(1 3k )x6kx0,那么(6 k)24(12 23k )(3k3)0(*)5 分故

13、x16k1 3kX23k231 3k2AOOBx-|x2(kx11) (kx21)(1 k2 )x1 x2 k(x-iX2)k2(1 k2)31亠2吕3k1 3kk2k233k21经检验 k、.3满足式*式3由|m|2,1 k可得 m23(k21)4将y kx m代入椭圆方程，整理得2 2(1 3k )x26kmkx 3m 30.2 2 2(6km)4(1 3k )(3m3)0(*)x1x26km1 3k2 , x1 x2c 23m31 3k210|ab|2(1 k2)(X2 xj21小許12(m21)3k2112(k2 1)(3k21 m2)3(k21)(9k2 1)(3k2 1)(3k21

14、)211分312k29k4 6k219k212T当且仅当9k2 占，k4(k0)12分彳时等号成立,经检验,3满足* 式当k 0时，|AB综上可知|AB|max2.13 分当|AB最大时,AOB的面积最大值314分6海淀2021寒假19.本小题总分值14分点M1,y在抛物线C : y2 2px p0)上,M点到抛物线 C的焦点 F的距离为 2，直线l : yb与抛物线交于 A,B两点.2(I)求抛物线C的方程；(n)假设以ab为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；(川)假设直线I与y轴负半轴相交，求AOB面积的最大值答案：19.(共 14 分)解：(I)抛物线y 2px (p o)的准线为Xp2

15、，.1 分由抛物线定义和条件可知|MF| 1 (1卫222 ，解得p 2，故所求抛物线方程为 y24x.3分1(n)联立 y2x b，消x并化简整理得2y8y 8bo.y2 4x依题意应有64 32b 0，解得b 2.4分设 A(X1,yJ, B(X2,y2)，那么 y?8,y28>b ,5分设圆心Q(xo,y°)，那么应有X。, yoy1y2422因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r | yo |4 ,.6分又 |AB|(X1 X2)2 (y1 y2)2(1 4)(%y2)25(y1y2)24y2,5(6432b)所以 |AB| 2r5(6432b)8 ,.7分解得

16、b8 .58分所以 x1 x2 2b 2y1 2b 2y2 4b 16 彳85，所以圆心为书4).故所求圆的方程为(x 空)2 (y 4)216.5.9分方法二：1联立y2X b，消掉y并化简整理得x2(4 b16)x 4b2 oy2 4x依题意应有16(b4)2 16b20,解得b2.4分设 A(X1,yJ, B(X2,y2)，那么冷 x? 4b 16,为乂24b251分设圆心Q(xo, yo)，那么应有xo, yo2Y12比4因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r | yo |4 .6分又 |AB | 7(X1 X2)2 (y1 y2)2 J(1 ?(X12X2)5【(X12X2)

17、4X1X2. 5(6432 b)又 |AB| 2r 8，所以有,5(6432b)8 ,.7分解得b 8，8分5所以Xi X248"5所以圆心为故所求圆的方程为24 22(y 4)16.9分川因为直线I与y轴负半轴相交，所以 b 0 ,又I与抛物线交于两点，由n知 b 2，所以2 b 0,10分直线I : yb整理得x 2y 2b点0到直线I的距离d| 2b| 2b、55所以sa°b扣昕4b 2、2 b 4,2 ；b3 2b2 .11分12分令 g(b) b3 2b2 ,2 b 0,b(2,-)3434(,0)3g (b)+0一g(b)极大g (b) 3b2 4b 3b(b

18、4),由上表可得gb最大值为g 4 323274所以当b -时，AOB的面积取得最大值37东城2021 一模理19本小题共13分32 3913分14分1a b 0的离心率为422,且两个焦点和短轴的一个端点是个等腰三角形的顶点斜率为kk 0的直线I过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P , Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M 0, m I 求椭圆的方程；n求讥的取值范围；川试用w表示 MPQ的面积，并求面积的最大值.答案：19共13分解：I依题意可得,2 , be,ab2可得b 1,a2 所以椭圆方程为乞2n设直线|的方程为ykxy kx 1,由y2可得y 2 Ay x 1,(k222)x

19、2kX 10 设 P(xi, yj, Q(X2,y2),那么 X1 x22kk2 2X-|X2可得yi y2 kgX2)设线段PQ中点为N，那么点N的坐标为飞k22k2 2由题意有kMN k1,可得2m 一k22k可得1m k221所以0m12川设椭圆上焦点为那么 S mpqX1X2FMx1x2 .(Xi X2)2 4X1X28(k2 1)(k2 2)2m.8m(1 m) 所以1m,，可得k2 2又FM所以S mpq2m(1 m)3.所以 MPQ的面积为.2 m(1 m)3 ( 0 m 1).2那么 f'(m)(1 m)2(14m).11 1可知fm在区间o, 单调递增，在区间一,一单

20、调递减.44 21127所以，当0,丄时，fm有最大值f 丄44643.681所以，当0,4时， MPQ的面积有最大值8. 2021西城二模理19.本小题总分值14分2f21a b 0的离心率为T，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为64 2 .I求椭圆M的方程；n设直线|与椭圆M交于 代B两点，且以 AB为直径的圆过椭圆的右顶点 C , 求ABC面积的最大值.解：I因为椭圆 M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6 4.、2 ,所以 2a 2c 64、2 ,所以a3, c2 2 4分所以b1，椭圆X2M的方程为2y1.5分9n方法:不妨设BC的方程yn(x3),(n0，那么AC的

21、方程为y-(X3).nyn(x 3),由x!得(! n2)x26n2x9n21 0 6分y2 199又椭圆的离心率为 &-2，即£ 生2，所以c 乙2 a ,3 a 332分设 A(X1y1), B( X2, y2),因为3x2281n92 ，所以9n21X227n239n21同理可得X127 3n29 n2所以 | BC |1 n26, | AC |9n 11 n2 6n2n 9 n210分S ABCIBCIIACI(n2(n 丄)n _6491)2nn2t+ 2_64t 982n49t13分当且仅当t时取等号,3所以 ABC面积的最大值为14分方法二：不妨设直线 AB的方

22、程kym.x ky m,由x22y92消去X得(k1,29) y 2kmy设 A(x1, y1)，B(x2,y2)，那么有y1 y22kmk2 9y2m2 9k29因为以AB为直径的圆过点LLUULU由 CA X1 3,yJ,CBUULC，所以CAuuu CB 0.得(X1 3)(X2 3)y°2将 x1 ky1 m, x2 ky22得(k1)y1y2 k(m将代入上式，解得所以m12此时直线5所以ABC(X2 3,y2)，0.m代入上式,3)( y1y2)1 *m 或m5AB经过定点1 DC H y1 y2 1(m3)2 0 .3 舍10分12Dq,0，与椭圆有两个交点，i7(y1

23、 y2)2 4y1y29 25(k2 9) 1442 225(k9)12分1那么S取得最大值所以当t19. 2021寒假崇文19本小题共14分椭圆的中心在坐标原点 0，焦点在X轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个 正方形的顶点过右焦点 F与x轴不垂直的直线I交椭圆于P，Q两点.I求椭圆的方程；n当直线I的斜率为1时，求 POQ的面积；川在线段OF上是否存在点M m,0,使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形?假设存在，求出m的取值范围；假设不存在，请说明理由答案：19共 14 分2解：I由，椭圆方程可设为笃a2古1 a b 0 /两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2, b c 1, a 、一 22所求椭圆方程为y2 1 2n右焦点F 1,0，直线I的方程为y设 P 冷，Q x2,y2 ,2 2由X 2y y x 1,1S POQ22,得23y2yOF1y1y20,解得y11,y2 1川假设在线段 OF上存在点M m,0 01 ,使得以MP , MQ为邻边的平行四边形是菱形因为直线与x轴不垂直，所以设直线I的方程为y k x 1 k 02 x 由2y22,可得1 2 k2 x24k2 x2k22 0 yk x 1 ,- x1x24k22