(易错题精选)初中数学图形的相似经典测试题附答案解析

1、（易错题精选）初中数学图形的相似经典测试题附答案解析一、选择题1 .如图，以正方形 ABCD的AB边为直径作半圆 O,过点C作直线切半圆于点 E,交AD边于点F,则FEA.一2【答案】C【解析】【分析】连接 OE、OF、OC,ECD- 3利用切线长定理和切线的性质求出/OCF= / FOE,证明AEOFAECO),利用相似三角形的性质即可解答.【详解】解：连接 OE、OF、OC.AD、CF、CB 都与。O 相切，.-.CE= CB； OE± CF； FO平分/ AFC, CO 平分/ BCF.1. AF/ BC, ./ AFC+/ BCF= 180°, / OFC-+Z O

2、CF= 90°, . / OFC-+Z FOE= 90°, ./ OCF= / FOE, . EOM ECOOE= EF ,即 OE2=EF?ECEC OE设正方形边长为 a,则OE= a CE= a.2EF 1EC 4故选：C.【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质，其中通过作辅助线构造相 似三角形是解答本题的关键.2.如图所示，在正方形 ABCD中，G为CD边中点，连接 AG并延长交BC边的延长线于 E点，对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】D【解析】分析：根据正方形的性质可得出

3、AB/ CD,进而可得出AABFsGDF,根据相似三角形的性AF AB . 一质可得出 =2,结合FG=2可求出AF、AG的长度，由 CG/ AB> AB=2CG可得出GF GDCG为4EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解.详解：.四边形 ABCD为正方形，.AB=CD, AB/ CD,/ ABF=Z GDF, / BAF=Z DGF, . ABF GDF,AF AB=2,GF GD .AF=2GF=4,.AG=6.1. CG/ AB, AB=2CG.CG为EAB的中位线，.AE=2AG=12.故选D.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及

4、三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出 AF的长度是解题的关键.3.如图，在VABC中，点D, E分别为AB, AC边上的点，且 DEBC, CD BE相较于点O,连接AO并延长交DE于点G,交BC边于点F,则下列结论中一定正确的是(【解析】【分析】OD AEC. 一 一OC ACAG ACD. 一 一AF EC由DE/BC可得到VDEOsVCBO,依据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质 进行判断即可.【详解】ADABAEAC，故不正确;解：A. / DE/BC,B. DE/BC ,AGGFAEEC，故不正确;C. DE/BC, VADE s VABC , VDEO s VCBO,DE

5、BCODocAE DE ODAC ' BC OCAEACD. DE/BC,AGAFAEAC，故不正确；故选C.【点睛】 本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解 题的关键.AD4.如图，平行于 BC的直线DE把"BC分成面积相等的两部分，则 二二的值为(A. 1C.B.一2【答案】C【解析】【分析】由平行于BC的直线DE把AABC分成面积相等的两部分，可知 AADE与AABC相似，且面积1 1比为则相似比为【详解】力力口,F的值为2 AB. DE/ BC, . ADEs ABC, DE把AABC分成面积相等的两部分, SZADEi= S

6、四边形 DBCE本题考查了相似三角形的判定，相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方的逆用等.5 .如图，点E是YABCD的边AD上一点，DE 2AE ,连接BE ,交AC边于点F ,卜列结论中错误的是（）BCA. BC 3AEB. AC 4AFC. BF 3EFD. BC 2DE【答案】D【解析】【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的性质分别判断即可. 【详解】解：. .在 YABCD 中，AD/BC, AD BC ,VAEF : VCBF , ,AE _ AF _ EF "CB " CF - BFDE 2AEBC= 3dE = 3AE ,选项A正确，选项D错误,AF一

7、 CF AC，选项AE AE 1 口.:=一，即：CFCB 3AE 34AF ,EFBF即:BF 3EF ,B正确，.选项C正确, 故选：D.【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，能熟练利用相似三角形 对应边成比例是解题关键.6 .如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度 AB,他调整自己的位置，设法使斜边 DF保持水平，并且边 DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 DE 40cm, EF 20cm,测得边DF离地面的高度 AC 1.5m, CD 8m ,则树高 人8是（）A. 4 米B. 4.5 米C. 5 米D. 5.5 米【答案】D【解析

8、】【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形 BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.【详解】解：. / DEF玄 BCD-90 / D=Z D .ADEM DCBBC DCEF DE /. DE=40cm=0.4m, EF-20cm=0.2m, AC-1.5m, CD=8mBC 80.20.4 解得：BC=4. AB=AC+BC=1.5+4=5.5 米故答案为：5.5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型。7.如图，将 ABC沿BC边上的中线 AD平移到 ABC 16,阴影部分三角形的面积 9.若AA 1 ,则AD等于（的位置.已知

9、 ABC的面积为A. 2B. 3C. 43D.2由 SAABC= 16、SAA'EF= 9 且 AD 为 BC边的中线知 SADE A DE9AEF 二，2S ABD1_ . 一, AD一S abc 8 ,根据 ADA'0 DAB 知 2ADS ADES ABD,据此求解可得.Q S ABC16、S aef 9 ,且ad为BC边的中线,S ADE19一 SA EF一，S22Q将 ABC沿BC边上的中线1ABD - S ABC2AD平移得到8,ABCAE/AB,DAES A DES ABDADAD 1旦,16解得A D3 人7 （舍），故选：B .【点睛】本题主要平移的性质，解题

10、的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点.8.如图，在 RtAABC中，/ 0= 90°, AC= 3, 上一点，将4BDP沿DP所在的直线翻折后，点BC= 4,点D是AB的中点，点 P是直线BCB落在Bi处，若B1DXBC,则点P与点B之间的距离为（A. 15B.一4C. 1 或 3D. 5 或 54【答案】D【解析】【分析】分点Bi在BC左侧，点BD成比例可得ABBEBCBi在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可DE 1AB=5,由平行线分线段 一，可求BE, DE的长，由勾股定理可求 PB的长.AC 2BC=4,【详解】解：如图，若点B1在

11、BC左侧,AB= AC2 BC25点D是AB的中点,BD= BA=22. BiDXBC, Z C=90° BiD/ AC.BDBEDE1ABBCAC21 13 .BE=ECeBC=2, de=- ac=-222.折叠 .BiD=BD=, BiP=BP2 BiE=BiD-DE=1 在 RtABiPE中，BiP2=BiE2+P片,. .BP2=1+ (2-BP) 2,. .BP=5如图，若点Bi在BC右侧,. BiE=DE+BD=3 + 5 ，2 2BiE=4在 RtEBp 中，BiP2=BiE2+EF2, . .BP2=16+ ( BP-2) 2,.BP=5故选：d.【点睛】本题考查了

12、折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理.此题难度适中，注意数形结合 思想的应用，注意折叠中的对应关系.9 .如图，四边形 ABCD内接于eO, AB为直径，AD CD,过点D作DE AB于点 到 BE 16 ,所以 AB 20.E ,连接AC交DE于点F若sin CAB3 , DF 5 ,则AB的长为(5【答案】d【解析】【分析】C. 16D. 20连接BD ,如图，先利用圆周角定理证明ADE DAC得到FD FA 5 ,再根据正弦的定义计算出 EF 3 ,则AE 4,DE8,接着证明 ADEs dbe ,利用相似比得【详解】解：连接BD ,如图,CQ AB为直径，ADB ACB 90 ,Q

13、 AD CD,DAC DCA ,而 DCA ABD ,DAC ABD ,DE ± AB ,ABD BDE 90 , 而 ADE BDE 90 ,ABD ADE,ADE DAC ,FD FA 5 , ,EF 3在 Rt AEF 中，Qsin CAB - AF 5 'EF 3 ,AE 52T7 4，DE 5 3 8，Q ADE DBE , AED BED , ADEs DBE ,DE ：BE AE : DE ,即 8： BE 4:8 ,BE 16 ,AB 4 16 20.故选：D.【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角

14、的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.也考查了解直角三角形.10 .如图，已知 ABC和 ABD都e O是的内接三角形，AC和BD相交于点E ,则与ADE的相似的三角形是（）cA. BCEB. ABCC. ABDD. ABE【答案】A【解析】【分析】根据同弧和等弧所对的圆周角相等，则AB弧所对的圆周角 BCE BDA, CEB和DEA是对顶角，所以 ADEs BCE .【详解】解：Q BCE BDA, CEB DEAADEs BCE,故选：A.【点睛】考查相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似，关键就是牢记同弧所对的圆周角相等.11 .把Rt

15、ABC三边的长度都扩大为原来的 3倍，则锐角 A的余弦值（）A.扩大为原来的3倍B.缩小为原来的1 C,扩大为原来的9倍D.不变 3【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的性质解答.【详解】三边的长度都扩大为原来的 3倍，则所得的三角形与原三角形相似，锐角A的大小不变，锐角A的余弦值不变，故选：D.【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等 是解题的关键.12 .如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且B已AC于点F,则下列结论中错误的是)A. AF= 1CF 2B. / DCF= / DFCC.图中与"EF相似的三角形共有 5个八3D

16、. tan / CAD=-2【答案】D【解析】【分析】1 1AE AF 1由AE=- AD=-BC,又AD/ BC,所以 ，故A正确，不符合题意；2 2BC FC 21过D作DM / BE交AC于N,得到四边形 BMDE是平行四边形，求出 BM=DE= BC,得到2CN=NF,根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故 B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由BAe ADC,得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求 tan/CAD的值，故D错 误，符合题意.【详解】解：A、 AD/ BC, . AE% CBFae = af )BC FC“L11-AE= -AD=

17、- BC,22AF 1=1 ,故A正确，不符合题意；FC 2B、过 D作 DM / BE交 AC于 N,1. DE/ BM, BE/ DM,四边形BMDE是平行四边形，.-.BM = DE= 1BC, .BM = CM, .-.CN=NF,. BEAC于点 F, DM / BE, .-.DNXCF, . DF= DC,./ DCF= / DFC,故B正确，不符合题意；C、图中与 AAEF相似的三角形有 ZACD, ABAF, ACBF, ACAB, 那BE共有5个，故 C正 确，不符合题意.b aD、设 AD= a, AB= b 由 ABAEs ADC,有一 =一 .a 2. tanZCAD=

18、 CD = b = 变，故d错误，符合题意.AD a 2故选：D.B【点睛】矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线本题考查了相似三角形的判定和性质, 是解题的关键.13. （2016山西省）宽与长的比是YL/（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴2藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ABCD,分另I取AD> BC的中点E、F,连接EF:以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点 G;作GHXAD,交AD的延长线于点 H,则图中下列矩形是黄金矩形的是（DCGH【答案】D【解析】DF的长，再根据 DF=GF求得CG的

19、长，最后根据DCGH为黄金矩形.【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得CG与CD的比值为黄金比，判断矩形【详解】 解：设正方形的边长为 2,则CD=2, CF=1在直角三角形DCF中，DF 亍 遍FG 75CG J3 1CG 而1CD 2:矩形DCGH为黄金矩形故选：D.【点睛】本题主要考查了黄金分割，解决问题的关键是掌握黄金矩形的概念.解题时注意，宽与长的比是 居 1的矩形叫做黄金矩形，图中的矩形 ABGH也为黄金矩形. 214.如图，&BC中，Z BAC=45 , / ACB= 30 ；将 BBC绕点A顺时针旋转得到当点G、Bi、C三点共线时，旋转角为a,连接BBi,交AC于

20、点D.下列结论：Z7CiC为等腰三角形； ZVKBiDA BCD;a =75 ;CA= CD ,其中正确的是（A.【答案】B【解析】B.C.D.将MBC绕点A顺时针旋转得到ZVBiCi,得到根据全等三角形的性质得到AC1=AC,于是得到“CiC为等腰三角形；故正确；根据等腰三角形的性质得到/C1=ZACQ=30°,由三角形的内角和得到/ CiAC=120°,得到/ BiAB=120°,根据等腰三角形的性质 得到/ AB1B=30°=Z ACB,于是得到Z7BiDA BCQ故 正确；由旋转角 a =120,0故 错 误；根据旋转的性质得到/QABi = Z

21、 BAC=45°,推出/ BiAC=Z ABiC,于是得到 CA=CB ;故正确.【详解】 解：将4BC绕点A顺时针旋转得到ZVBiCi,ABCA AB1C1,ACi = AC,： AGC为等腰三角形；故正确；ACi = AC,O = Z ACO = 30 ,Z GAC=120 ,BiAB= 120°,.ABi = AB,，/ ABiB=30°=Z ACB,/ ADBi=Z BDC, . ABiDsBCD;故 正确；,旋转角为a,a= i20°,故错误；,'Z OABi=Z BAC= 45°, 1/ BiAC= 75°,/ A

22、BiCi = Z BAC= I05 °, ./ ABiC= 75°,BiAC= / ABiC, CA= CB；故正确.故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识 别图形是解题的关键.I5.如图，菱形 ABCD中，点P是CD的中点，/ BCD=60°,射线AP交BC的延长线于点 E,射线BP交DE于点K,点O是线段BK的中点，作 BMLAE于点M,作KN± AE于点N,连结MO、NO,以下四个结论： 4OMN是等腰三角形； tan Z OMN=；3BP=4PK;PM?PA=3PD2,其中正确的是（）Id

23、口IAA.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据菱形的性质得到 AD/ BC,根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理ZADP ECP由相似三角形的性质得到 AD=CE, P PI/ CE交DE于I,根据点P是 KP PI 1 一CD的中点证明CE=2PI BE=4PI,根据相似三角形的性质得到 二一，得到KB BE 4BP=3PK故错误；作OGLAE于G,根据平行线等分线段定理得到MG=NG,又OGLMN,证明AMON是等腰三角形，故正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出ZOMN= Y3,故正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM?PA=3PD2,故正确.【详解

24、】解：作PI/ CE交DE于I, 四边形ABCD为菱形， .AD/ BC,/ DAP=Z CEP, / ADP=Z ECP在 "DP和AECP中，DAP CEPADP ECP,DP CP . ADP ECP .-.AD=CE,则反CEPD 一一一 _,又点P是CD的中点,DCPI 1=-，CE 2. AD=CEKP PI 1一 一 =-, KB BE 4 .BP=3PK故错误；作 OGi± AE于 G, . BM ± AE于 M, KN± AE于 N, .BM / OG/ KN, 点O是线段BK的中点，.MG=NG,又 OG, MN ,.OM=ON,即A

25、MON是等腰三角形，故 正确；由题意得，ABPC, AAMB, AABP为直角三角形,设BC=2,贝U CP=1,由勾股定理得，BP=J3,贝U AP=",根据三角形面积公式，BM= ,7 点O是线段BK的中点， . PB=3PO, .OG=1 BM= 2 21 , 321MG= 2 MP=2 , 37tanZ OMN= OG =,故正确; MG 3 /ABP=90, BM± AP,. . PB2=PM?PA, / BCD=60 , ./ ABC=120,/ PBC=30,/ BPC=90,PB= 1 3 PC1 PD=PC,PB2=3PD,2 .PM?PA=3PD;,故

26、正确.故选B.【点睛】本题考查相似形综合题.16.已知线段MN = 4cm, P是线段MN的黄金分割点，MP>NP,那么线段 MP的长度等 于（）A. （2 而+2） cm B. （2 45 - 2） cm C.（而+1） cmD. （ & T） cm【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义进行作答 .【详解】由黄金分割的定义知，-MP- 45_，又mn=4,所以，MP=2痣 2.所以答案选B. MN 2【点睛】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义是本题解题关键17.如图，矩形 AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q

27、、K、M、N,设 BPQ , DKM , CNH的面积依次为&、S2、& ,若§ S3 20,则S2的值为（）E F G HA. 6B. 8C. 10D. 1【答案】B【解析】【分析】1由已知条件可以得到 ABPgDKMsCNH,然后得到 ABPQ与4DKM的相似比为 一，21BPQ与ACNH的相似比为,由相似二角形的性质求出S1 ,从而求出S2 .3【详解】解：矩形 AEHC是由三个全等矩形拼成的， .AB=BD=CD, AE/ BF/ DG/ CH, 四边形 BEFD,四边形 DFGC是平行四边形，/ BQP=Z DMK=/CHN, .BE/ DF/ CG, ./

28、 BPQ=Z DKM=/CNH, .ABQs ADM, AABQsACH,AB BQ 1 BQ AB 1一 ,一-,ADDM2CHAC 3 . BPg DKMA CNH,BQ1BQ1-,-,MD2CH35 1sli -S24 ' S39 'S2 4S, & 9§,G S3 20,S12 , S2 4§ 8；故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确得到S2 4Si, S3 9§ ,从而求出答案18.如图，顶角为36°的等腰三角形，其底边与腰之比等k,这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1, ABC为第一个黄金三角形，BCD为第二个黄金三角形，CDE为第三个黄金三角形以此类推，第2020个黄金三角形的周长(),2018A. k2018B. k2019C. D. k2°19(2 k)2 k【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例，求出前几个三角形的周长，进而找出规律：第n个黄金三角形的周长