动点问题综合

1、第1页1、如图，直角梯形OABC 的直角顶点O 是坐标原点，边OA，OC 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上， OA BC，D 是 BC 上一点， BD=41OA=2，AB=3 ， OAB=45 ，E、F 分别是线段 OA 、AB 上的两动点，且始终保持DEF=45 （ 1）直接写出 D 点的坐标；（ 2）设 OE=x ，AF=y ，试确定 y 与 x 之间的函数关系；（ 3）当 AEF 是等腰三角形时，将AEF 沿 EF 折叠，得到 EFA，求 EFA与五边形 OEFBC 重叠部分的面积【答案】解： （1） D 点的坐标是)223,223(. （2）连结 OD,如图（ 1） ，由结论（ 1）

2、知： D 在 COA 的平分线上，则DOE= COD=45 ,又在梯形DOAB中，BAO=45 , OD=AB=3 由三角形外角定理得：1=DEA-45 ,又 2= DEA-45 1=2, ODE AEF AEODAFOE，即：xyx243y 与 x 的解析式为：xxy324312（3）当 AEF 为等腰三角形时，存在EF=AF 或 EF=AE 或 AF=AE 共 3 种情况 . 当 EF=AF 时，如图（ 2）. FAE= FEA= DEF=45 , AEF 为等腰直角三角形.D 在 AE上（ AE OA ）, B 在 AF上（ AF EF） AEF 与五边形OEFBC 重叠的面积为四边形

3、EFBD 的面积 . 22522324CDOAOEOAAE252222545sin0AEAF第2页825)25(21AFEF21S2AEF421223)2252(21DEAE)(BD21AEDB梯形S817825-421S-SSAEFAEDBBDEF梯形四边形（也可用BDAEFAS-SS阴影）当 EF=AE 时，如图（ 3） ，此时 AEF与五边形OEFBC 重叠部分面积为AEF面积. DEF= EFA=45 ， DEAB ， 又 DB EA 四边形 DEAB 是平行四边形AE=DB=2EFAE21SSAEFEFA1)2(21S2EFA/当 AF=AE 时，如图（ 4） ，四边形 AEA F

4、为菱形且 AEF 在五边形 OEFBC 内 . 此时 A EF 与五边形OEFBC 重叠部分面积为A EF 面积 . 由（ 2）知 ODE AEF,则 OD=OE=3 AE=AF=OA-OE=324过 F 作 FHAE 于 H,则22342232445sin?AFFH448-241223-43-2421FHAE21SSAEFEFA?综上所述， AEF 与五边形OEFBC 重叠部分的面积为817或 1 或448-241第3页2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122mxxmxmy与 x 轴的交点分别为原点O 和点 A，点 B（2，n）在这条抛物线上（1）求 B 点的坐标；（2）点 P

5、 在线段 OA 上，从 O 点出发向 A 点运动，过 P 点作 x 轴的垂线，与直线 OB 交与点 E，延长 PE 到点 D，使得 ED=PE，以 PD 为斜边，在 PD 右侧做等等腰直角三角形PCD（当 P 点运动时， C 点、D 点也随之运动）当等腰直角三角形PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时，求OP 的长；若 P 点从 O 点出发向 A 点作匀速运动，速度为每秒1 个单位，同时线段 OA 上另一个点 Q 从 A 点出发向 O 点作匀速运动，速度为每秒2 个单位（当 Q 点到达 O 点时停止运动， P 点也同时停止运动）过 Q 点做x 轴的垂线，与直线AB 交与点 F，延长 QF 到点

6、M，使得 FM =QF，以 QM 为斜边，在 QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当 Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）若 P 点运动到 t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值【答案】解： （1）抛物线23454122mmxmxmy经过原点，m23m+2=0. 解的 m1=1，m2=2. 由题意知 m1.m=2，抛物线的解析式为xxy25412点 B（2，n）在抛物线xxy25412，n=4. B 点的坐标为（2，4）（2）设直线OB 的解析式为y=k1x求得直线 OB 的解析式y=2xA 点是抛物线与x 轴的一个交点，可求得 A 点的坐标为（10

7、，0） ，设 P 点的坐标为（a， 0） ，则 E 点的坐标为（a，2a） 根据题意做等腰直角三角形PCD，如图 1. 可求得点 C 的坐标为（ 3a， 2a） ，有 C 点在抛物线上，1 y x O 1 2 3 4 2 4 3 3 1 2 3 4 4 1 2 第4页得 2a=41x（3a）2+25x3a. 即49a2211a=0 解得a1=922，a2=0（舍去）OP=922依题意作等腰直角三角形QMN. 设直线 AB 的解析式y=k2x+b由点 A(10 ，0)，点 B（ 2，4） ，求得直线AB 的解析式为y=21x+5 当 P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同

8、一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与 NQ 在同一条直线上，如图2 所示，可证 DPQ 为等腰直角三角形此时QP、 OP、AQ 的长可依次表示为t 、4t、 2t 个单位PQ = DP = 4t t+4t+2t=10 t=710第二种情况： PC 与 MN 在同一条直线上， 如图 3 所示可证 PQM 为等腰直角三角形此时 OP、AQ 的长依次表示为t、2t 个单位，OQ = 10 2tF 点在直线AB 上FQ=tMQ=2tPQ=MQ=CQ=2tt+2t+2t=10 t=2. 第三种情况：点P、Q 重合时， PD、QM 在同一条直线上，如图4 所示，此时OP、AQ的长依次表示为t、

9、2t 个单位t+2t= 10 t=310综上，符合题意的值分别为710，2，310第5页3、已知： 如图， A与y轴交于 C、D 两点， 圆心A的坐标为 （1，0） ，A的半径为5，过点 C 作A的切线交x于点 B（ 4， 0） （1）求切线BC 的解析式；（2） 若点 P是第一象限内A上一点，过点 P作 A 的切线与直线BC 相交于点G， 且 CGP120 ，求点G的坐标；（3）向左移动A（圆心A始终保持在x上） ，与直线 BC 交于 E、F，在移动过程中是否存在点A，使得 AEF是直角三角形？若存在，求出点A的坐标，若不存在，请说明理由【答案】 解： （1）连接AC，BC是 A 的切线，9

10、0ACB90ACOBCOACB90COACOB，18090ACOCAOCOA，BCOCAOBCOCAO，COBOAOCO即24 14COAO BO，2COC点坐标是（ 0，2） 设直线BC的解析式为ykxb，该直线经过点B（ 4， 0）与点C（0，2） ，402kbb解得122kb该直线解析式为122yx（2）连接AG，过点G作GHAB由切线长定理知111206022AGCCGP在Rt ACG中，tanACAGCCG，5515tantan6033ACCGAGC在Rt BOC中，由勾股定理得2222422 5BCOCOB152 53BGBCCG第6页又90 ,BOCBHGCBOCBHBOCBHG

11、，HGBGOCBC，15(25)233232 5BG OCHGBC则323是点G的纵坐标，312232x，解得2 33x点G的坐标2 33(,2)33(3)如图示，当A在点B的右侧时E、F在A上，AEAF若 AEF是直角 三角形，则90EAF，且为等腰直角三角形过点A作AMEF，在Rt AME中由三角函数可知210sin5sin 45522AMAEAEM又BOCBMA，OCBCAMBA，102 55 2222BC AMABOC5 242OAOBAB，点A坐标是5 2(4,0)2当A在点B的左侧时：同理可求点A坐标是5 2(4,0)2第7页4、如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交

12、y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧） . 已知A点坐标为（0，3）. （1）求此抛物线的解析式；（2） 过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积 . 【答案】（1）解：设抛物线为2(4)1ya x. 抛物线经过点A（0，3） ，23(04)1a.14a. 抛物线为2211(4)12344yxxx. 3 分(2) 答：l与C相交 . 4 分证明：当21

13、(4)104x时，12x，26x. B为（ 2， 0） ，C为（ 6，0）.223213AB. 设C与BD相切于点E，连接CE，则90BECAOB. 90ABD，90CBEABO. 又90BAOABO，BAOCBE.AOBBEC. CEBCOBAB.62213CE.8213CE.6 分抛物线的对称轴l为4x，C点到l的距离为2. 抛物线的对称轴l与C相交 .7 分(3) 解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q. AxyBOCD( 第 23 题) 第8页可求出AC的解析式为132yx.8 分设P点的坐标为（m，21234mm） ，则Q点的坐标为（m，132m）. 2211133(23)2

14、442PQmmmmm. 22113327()6(3)24244PACPAQPCQSSSmmm, 当3m时，PAC的面积最大为274. 此时，P点的坐标为（3，34）.10 分5、在平面直角坐标系中，已知抛物线2yxbxc 与 x轴交于点A、B（点A在点B的左侧） ，与y轴的正半轴交于点C，顶点为E.（）若2b，3c，求此时抛物线顶点E的坐标；（）将（ ） 中 的 抛 物 线 向 下 平 移 ， 若 平 移 后 ， 在 四 边 形 ABEC中 满 足SBCE= SABC，求此时直线BC的解析式；（）将（）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足SBCE= 2SAOC，且顶点E恰好

15、落在直线43yx上，求此时抛物线的解析式. AxyBOCD( 第 23 题) EPQ第9页【答案】 解： （）当2b，3c时，抛物线的解析式为223yxx， 即2(1)4yx. 抛物线顶点E的坐标为（ 1，4） 2 分（）将（）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴1x上，有2b， 抛物线的解析式为22yxxc （0c） 此时，抛物线与y轴的交点为0()Cc，顶点为1( 1)Ec， 方程220 xxc的两个根为111xc ，211xc ， 此时，抛物线与x 轴的交点为110()Ac，110()Bc，如图，过点E作 EFCB 与 x 轴交于点F，连接CF，则 SBCE= SBCF SBCE = S

16、ABC， SBCF = SABC2 1BFABc 设对称轴1x与 x 轴交于点D，则13 12DFABBFc 由 EFCB，得EFDCBO RtEDFRtCOB有EDCODFOB13 111cccc结合题意，解得54c 点54(0)C，52( 0)B，设直线BC的解析式为ymxn，则5,450.2nmn解得1,25.4mn 直线BC的解析式为1524yx. 6 分（）根据题意，设抛物线的顶点为()E h k， （0h，0k）则抛物线的解析式为2()yxhk ，此时，抛物线与y轴的交点为2(0)Chk，E y x F B D A O C 1x第10页与x轴的交点为0()A hk，0()B hk，

17、.（0kh）过点E作 EFCB 与 x轴交于点F，连接CF，则 SBCE = SBCF.由 SBCE = 2SAOC， SBCF = 2SAOC. 得22()BFAOkh .设该抛物线的对称轴与x轴交于点D. 则1322DFABBFkh . 于是，由 RtEDF RtCOB，有EDCODFOB232khkkhhk，即22520hkhk结合题意，解得12hk 点()E hk，在直线43yx上，有43kh 由，结合题意，解得1k有1k，12h 抛物线的解析式为234yxx6、如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x轴的正半轴上，OA=1,O

18、C=2, 点 D 在边 OC 上且 OD= 54。（1）.求直线 AC 的解析式；（2）.在 y 轴上是否存在点p，直线 PD 与矩形对角线AC 交于点 M ，使得 DMC 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点p 的坐标；若不存在，请说明理由。（3）.抛物线y= 2x经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D 和点 E（点 E 在 y轴正半轴上） ，且 ODE 沿 DE 折叠后点O 落在边 AB 上o处？第11页【答案】第12页第13页7、已知抛物线2142yxbx上有不同的两点E2(3,1)kk和 F2(1,1)kk（1）求抛物线的解析式（2）如图， 抛物线2142yxbx与 x

19、轴和 y 轴的正半轴分别交于点A 和 B，M 为 AB的中点， PMQ 在 AB 的同侧以M 为中心旋转，且PMQ 45 ，MP 交 y 轴于点 C，MQ交 x 轴于点 D设 AD 的长为 m（ m 0） ，BC 的长为 n，求 n 和 m之间的函数关系式（3）当 m， n 为何值时，PMQ 的边过点F【答案】11.解 ：（1 ） 抛 物 线2142yxbx的 对 称 轴 为122bxb .（1 分）抛物线上不同两个点E2(3,1)kk和 F2(1,1)kk的纵坐标相同，点 E 和点 F 关于抛物线对称轴对称，则(3)(1)12kkb，且 k 2抛物线的解析式为2142yxx .（2 分）（2

20、）抛物线2142yxx与 x 轴的交点为A（4，0） ，与 y 轴的交点为B（0，4） ，AB4 2，AMBM2 2.（3 分）在 PMQ 绕点 M 在 AB 同侧旋转过程中，MBC DAM PMQ45，在 BCM 中， BMC BCM MBC180 ，即 BMC BCM135 ，在直线 AB 上， BMC PMQ AMD 180 ，即 BMC AMD 135 BCM AMD故BCM AMD.（4 分）BCBMAMAD，即2 22 2nm，8nm故 n 和 m 之间的函数关系式为8nm（ m0） .（5 分）（3）F2(1,1)kk在2142yxx上，221(1)(1)412kkk，化简得，2430kk，k11， k2 3即 F1（ 2，0）或 F2（ 4， 8） .（6 分）B A M C D O P Q x y 第14页MF 过 M（ 2，2）和 F1（ 2， 0） ，设 MF 为ykxb，则2220.kbkb，解得，121.kb，直线 MF 的解析式为112yx直线 MF 与 x 轴交点为（2，0） ，与 y 轴交点为（ 0，1） 若 MP 过点 F（ 2， 0） ，则 n413，m83；若 MQ 过点 F（ 2，0） ，则 m4（ 2） 6，n43.（7 分）MF 过 M（ 2，2）和 F1（ 4， 8） ，设 MF 为ykxb，则2248.kbkb，解得，534