离散小波变换与框架(2)ppt课件

1、离散小波变换与框架离散小波变换 框架框架算子 对偶框架自动化系自动化系-吴吴离散小波变换 许多运用中，特别是在信号处置中，数据用有限数目的值表示，所以重要的是思索延续小波变换的离散情形。 固定两个正参数 。选取 其中m,n取遍Z,而 是固定的。记 的离散小波变换为00,bammanbbaa000, 0, 100 ba0 0022,0000( )()(),mmt nb ammmmnataaa t nbm n Z)(2RLf dtttffnmfWnmnm)()(,),)(,2000( ) ()mmaf tatnb dt框 架 框架是Duffin与Schaeffer(1952)在非调和Fourier

2、级数的研讨中引入的。 框架与基底一样依然是表示可分Hilbert空间元素的工具，不同的是框架中不要求元素的线性无关性。 定义 在Hilbert空间H中的一个序列 称为是一个框架，假设存在0A,B，使对于一切 ，有 并称数A,B是框架界。如A=B那么称是紧框架。JjjHf 222|,|fBffAJjj函数用紧框架表示 在紧框架中，对于一切 ，有 (*) 用内积恒等式 推出 或至少在较弱的意义下 (#)Hf 22|,|fAfJjj2222|,44fgfgfigfigf gijjjgfgfA,gfjjj,jjjfAf,1框架的例子 取 对于任一H 中的 ，有 由此得出， 是一个紧框架，由于 线性相关

3、，所以不是一个基。留意，在这个例子 中，框架界给出了(在二维空间中三个向量的)多 余比A。,2RH),21,23(),1 , 0(21ee3( 3 2, 1 2)e ),(21vvv 3222233112121222221| ,|jjv evvvvv 223222123|vvv,321eee321,eee1e2e3eo紧框架相关结论 假设 是Hilbert空间H的一个规范正交基。那么 是H的一个紧框架,且A=B=2而 是H的一个紧框架,且框架界为1，但它不是一个正交基。 定理 假设 是一个紧框架，而框架界为1，并且假设 对于一切 成立，那么 构成H的一个正交基。 证明 因对一切j, 由(*)推

4、出f=0,所以, j张成H, 下面验正正交，取 ，有 因 ，这就推出 对一切 成立1jje,2211eeee,33322133322eeeeeeJjj1|jJj j0,jfjf2242, |,|,|jjjjjjjJjj jJ 1|j0,jjjj 框架算子 定义定义(框架算子框架算子) 是是H中一个框架，那中一个框架，那么框架算子么框架算子F是由是由H到到 的线性算子，的线性算子，Ff 的分量定义为的分量定义为 由框架定义得到由框架定义得到 ，即框架算子是有，即框架算子是有界的。界的。F的伴随算子的伴随算子 ，是这样计，是这样计算的算的:由于由于 所以，至少在较弱的意义下所以，至少在较弱的意义下

5、 这时的伴随算子这时的伴随算子 也是有界限性算子。也是有界限性算子。Jjj222( ) :| | |j j Jjj Jl Jcccc JjfFfjj,)(22|fBFfHJlF)(:2JjjjfcFfcfcF,jjjjj Jj JcfcfjJjjccFF框架算子(续) 由F 定义推出 借助于F，框架条件可以再写为 (A) 其中Id 是不变算子。 记 ，那么T 是HH的有界限性算子，特别是式(A)隐含T 是可逆的(假设A=B,那么B-1TId, 故T 可逆)。由T 的定义，对任何 (*) 算子T 是HH的框架算子。FfFfFffJjj,|,|22fFfF,BIdFFAIdFFTHf JjjjfT

6、f,框架中等价陈说 是H中一序列,下述陈说等价(0A,B)框架算子T是H上有界限性算子,有 是具有框架界A,B的一个框架。证明 如(1)成立，关系 等价于由Id是恒等算子, 等。还有这给出 假定(2)成立, 是具有框架界A,B的一个框架,由前,框架条件能写为JjjBIdTAIdJjjBIdTAIdfBIdffTffAIdf,2,| |AIdf fAf fA ffffffTfjjJjjj,2,| ,|jjjfff222|,|fBffAJjjJjjBIdTAId框架算子的几个结论定理定理 设设 是是Hilbert空间空间H的一个框架的一个框架,框架界为框架界为A,B,且且T:HH是相应的框架算子。

7、是相应的框架算子。那么那么(1)T是可逆的是可逆的,且且 。 还是正还是正算子算子 是是T 的一个框架的一个框架,框架界为框架界为 每个每个 能表示为能表示为 附注附注 记记 ,称称 是是 的对的对偶框架。容易验证，偶框架。容易验证， 对偶框架是对偶框架是 。还有还有JjjIdATIdB1111T11,ABJjjT1Hf JjjjJjjjTfTff11,jjT1jjjjjjjjfff, 证明证明(1) T满足满足 (B) 由此得出，由此得出， (假设假设A=B,那么那么B-1TId, 故故T 可逆可逆) 所以所以 因此，因此， 是可逆的，因之相应的是可逆的，因之相应的T可逆，即可逆，即 对对(

8、B)求逆得求逆得 由于由于 由此得由此得 是正算子是正算子,(T-1)*=T-1,因此是自伴随的。因此是自伴随的。 (2) 因因 是自伴随的，有是自伴随的，有 (C)BIdTAIdIdAIdBIdTBIdBA)1 ()()(111|1 |1BATBIdTB1IdATIdB1111T)(,111fTTfTffT0|,2111fTAfTfTA1T1TjjjTTf11,fTfTTT111)(1111,jjjjjjTf TTTf gg 证明证明(续续)这给出这给出 或或 即即 或或 对右边运用对右边运用(1)的结果得的结果得 因此因此 (3)在在(*),(C)中，用中，用 ,Tf替代替代f分别得分别得

9、 ffTfTTfjjj,111111,jjjf TTfT f f ffTTfTfjjj,111ffTTfj,|,|121fIdfAffTfIdfB,111212121|,|fATffBjfT1jjjjTffTfTTf111,)(jjjjTfTTTfTfTf1111,)(例子:框架表示是经济的 这是前边平面上用三个向量组成的紧框架例子的继续。由前(#)知 (1) 在该例中，由于 ，由此下式成立 (2) 其中是恣意实数。留意系数的平方和 假设0 这阐明(1)式比(2)式更经济。3132,jjjeevv3132,jjjeevv2232|,|vevJjj22223322| ,| | |jj Jv ev

10、v0je 因因Sum(v,ej)=0框架表示经济定理 定理定理 假定假定 是是Hilbert空间空间H的一个框的一个框架架, 是由是由 给出的对偶框架。假设给出的对偶框架。假设 使使 对于某个对于某个 成立成立,并不并不是是 一切一切 都等于都等于 ,那么那么 证明证明 由于由于 其中其中 下面证明等式下面证明等式 这个等式成立后，即证明了定理。这个等式成立后，即证明了定理。JjjJjjjjT1Hf jJjjcf)(2JlccJjjjcjf,JjjJjjfc22|,|jjjjaff,jjfa,JjjjJjjJjjcaac222|证明证明(续续)留意留意把把 代入内积代入内积 第一项中得第一项中

11、得 =类似地，把类似地，把 代入内积代入内积 第一项得第一项得再代入内积第二项，结果得到再代入内积第二项，结果得到最后，运用上式得最后，运用上式得jjjjaTffTfT111,jjaffTf1,fTafTafTfjjjj111,2|jjjaaajJjjcffTf1,jjjjjjjjjacfTcfTcfTf111,2|jjjjjjjjac ac ajjjjjjjacaa222|jjjjjjjccacaa) |(|22jjc2|由框架重构 假设知道 那么由 可得怎样由 重构f。所以只需计算 。 假设A,B彼此接近，即 那么框架T “接近 ，并且 “接近 。那么有 (a)其中 ，由上式，留意算子T的

12、界 因之 。这就推出 假设r 是小的，在(a)中去掉余项Rf 就得到f 的一个重构公式。对 误差为jjT1jjjjfff,jf,j11ABrIdBA2jjBA2RfffjjBA,2TIdRBA2IdRIdABABABABrrABABR2|)(2RLf 22| frr由由(*)可得可得对偶框架的计算由前 ，因此，由于 ，级数 按范数收敛，并且它的极限是 。因此得出在前边的重构公式中，只运用R的零次项就恰好导致取掉余项的公式。如今，截取到N项，得到比较好的逼近其中这时)(2RIdTBA121)(RIdTBA1|ABABR0kkR1)(RId120kjjjA BTR%20NNkjjABkR%121k

13、NjjjA BkNRIdR%121NkjkBAjNRR|)(|,|12fffNrrJjNjj对偶框架计算的迭代法 一种方法是迭代求取系数 公式为 表示 而 另一种方法是直接迭代12NjjBANjRlJlNljNj,lmJmNmjBANljjlBANlj,1,21,2,102)(2NNkkNRfTfBATfRBAfJjjjNjBANfff,121小波框架 前边知道，为了由 得到f 的一个数值稳定的重构算法，要求 构成一个框架。在上边还知道，由 重构f 的算法中，框架界的比是重要的。 要求 构成一个框架曾经强迫是允许的 定理 假设 对于 构成具有框架界A,B的一个框架，那么nmf,nmnmf,nm

14、Znmnbtaatmmnm,),()(0020,BabdAab2ln| )( |2ln0020100BabdAab2ln| )( |2ln0020100)(2RL小波族构成框架的条件 定理定理 假设假设和和 使使 并且并且 对于某个对于某个和某个常数和某个常数C成立，那么存在成立，那么存在 使使 对于任一对于任一 构成构成 的一个框架。的一个框架。 并且，对于并且，对于 ，框架界为，框架界为0a0| )( |inf20|10mmaa0201 | |sup| ()|mama(1)00( ) sup| ()| ()|(1 | |)mmRmsaasCs 0b)(2RLnm,), 0 (0 bbbb0mabA0|10inf2mabB0|10sup212002220,0|()|() ()mbbkkakk12002220,0|() |()()mbbkkakk例子 假设 上述定理条件满足。 Mexic帽小波 是Gauss函数 二阶导数构成的，规范化使|=1,那么 下面给出框架界: N=1 =0.25 A=13.091 B=14.183 比=1.083 =0.75 =4.364 =4.728 =1.083 =1.50 =0.325 =4.221 =12.986 N=2 =0.25 =27.273 =27.278 =1.0002 =1.0