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1、高2013级数列专题1、已知数列的首项,前项和()求数列的通项公式;()设,为数列的前项和,求证:解析:()由, , 得:,即, ,。 (), 故 2、已知数列的各项为正数,其前n项和,(I)求之间的关系式,并求的通项公式;(II)求证解:(I),而,得的等差数列,(II)3、设等比数列的首项,前n项和为,且,且数列各项均正。()求的通项; ()求的前n项和。解:()由 得 即可得因为,所以 解得,因而 ()因为是首项、公比的等比数列,故则数列的前n项和前两式相减,得 即 4、在数列中,. ()设.证明:数列是等差数列; ()求数列的前项和解:() 即,所以数列是等差数列 ()由(),所以所以
2、 5、数列中,且满足 求数列的通项公式;设,求;设=,是否存在最大的整数,使得对任意,均有成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由解:(1)由题意,为等差数列,设公差为,由题意得,(2)若,时,故 (3)若对任意成立,即对任意成立,的最小值是,的最大整数值是7即存在最大整数使对任意,均有6、已知函数 f (x) = a x 2 + bx 的图象关于直线x=对称, 且过定点(1,0);对于正数列an,若其前n项和Sn满足Sn = f (an) (n Î N*)()求a , b的值; ()求数列an 的通项公式; ()设bn = (n Î N*),若数列bn 的前n项和为T
3、n,试比较Tn与5的大小,并证明.解:()函数 f (x) 的图象关于关于直线x=对称,a0,=, b=3a 其图象过点(1,0),则a+b=0 由得a= , b= . 4分 ()由()得 ,= 当n2时,= .两式相减得 , ,是公差为3的等差数列,且 a1 = 4 (a1 =1舍去)an =3n+1 9分()=, - 得 ,(1) 当n=1、2时,Tn 5<0, Tn <5;(2) 当n=3时,Tn 5=0, Tn =5;(3) 当 4时,记 h (x) = 2x+1(3x+7), h ' (x)= 2x+1ln23, 当x >3时,有:h'(x)>
4、23+1ln23=23×2×ln23=8ln223=8ln43>83>0,则h(x)在(3, +¥)上单调递增,当n4时,2n+1(3n+7)>0 Tn 5>0, Tn >5 综上:当n2, Tn<5;当n=3, Tn=5;当n4, Tn>5.7、已知,对任意实数满足:()当时求的表达式()若,求解:()令,得故,当时=-4分ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u()由 得故8、已知等差数列满足:.(1)求的通项公式;(2)若(),求数列的前n项
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