2022年裴波那契数列

1、“ 斐波那契数列 ” 的发明者， 是意大利数学家列昂纳多 斐波那契 （leonardo fibonacci，生于公元 1170年，卒于 1240 年，籍贯大概是比萨） 。他被人称作 “ 比萨的列昂纳多” 。1202 年，他撰写了 珠算原理 (liber abaci) 一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、 这个数列从第三项开始，每一

2、项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/ 5)*(1+ 5)/2n - (1- 5)/2n （又叫 “ 比内公式 ” ，是用无理数表示有理数的一个范例。）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。【奇妙的属性】随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少 1。 （注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第五项的平方比前后两项之积多1，第四项的平方比前后两项之积少1）如果你看到有这样一个题目：某人把一个 8*8

3、的方格切成四块， 拼成一个 5*13 的长方形，故作惊讶地问你：为什么6465 ？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。斐波那契数列的第n 项同时也代表了集合1,2,.,n 中所有不包含相邻正整数的子集个数。斐波那契数列（f(n)， f(0)=0 ， f(1)=1 ，f(2)=1 ，f(3)=2 ）的其他性质：1.f(0)+f(1)+f(2)+f(n)=f(n+2)-1 2.f(1)+f(3)+f(5)+f(2n-1)=f(2n)-1 3.f(0)+f(2)+f(4)+f(2

4、n)=f(2n+1)-1 4.f(0)2+f(1)2+f(n)2=f(n) f(n+1) 5.f(0)-f(1)+f(2)-+(-1)n f(n)=(-1)n f(n+1)-f(n)+1 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -6.f(m+n)=f(m-1) f(n-1)+f(m) f(n) 利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为o（log n

5、 ）的程序。7.f(n)2=(-1)(n-1)+f(n-1) f(n+1) 8.f(2n-1)=f(n)2-f(n-2)2 9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2) 10.f(2n-2m-2)f(2n)+f(2n+2)=f(2m+2)+f(4n-2m) nm -1,且 n 1斐波那契数列在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 过第一行的 “ 1” 向左下方做 45度斜线，之后做直线的平行线，将每条直线所过的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、斐波那契数与植物花瓣3百合和蝴蝶花5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草8翠雀花13金盏草21紫宛34、

6、55、89 雏菊斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数 0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那息叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - -

7、 - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -【相关的数学问题】1.排列组合有一段楼梯有10级台阶 ,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第 10 级台阶有几种不同的走法 ? 这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法1，2，3，5，8， 13 所以，登上十级，有89 种走法。2.数列中相邻两项的前项比后项的极限当 n 趋于无穷大时，f(n)/f(n+1) 的极限是多少？这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+ 5)/2 ，这个就是黄金分割的数值，也是代表

8、大自然的和谐的一个数字。3.求递推数列a(1)=1 ，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式由数学归纳法可以得到：a(n)=f(n+1)/f(n)，将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。【斐波那契数列别名】斐波那契数列又因数学家列昂纳多 斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为 “ 兔子数列 ” 。一般而言， 兔子在出生两个月后，就有繁殖能力， 一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；两个月后，生下一对小兔民数共有两对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有

9、繁殖能力，所以一共是三对；依次类推可以列出下表：经过月数： -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12 兔子对数： -1-1-2-3-5-8-13-21-34-55-89-144 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -表中数字 1，1，2， 3，5，8构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

10、这个特点的证明： 每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在算盘全书中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/ （1 5/2）n-（1- 5/2 ） n（n=1,2,3. ）数列定义：斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/ 5)*(1+ 5)/2n - (1- 5)/2n （又叫 “ 比内公式 ” ，是用无理数表示有理数的一个范例。 ）数列属性：1

11、. 随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.61803398872.从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少 1。3.斐波那契数列（f(n) ，f(0)=0 ，f(1)=1 ，f(2)=1 ，f(3)=2 ）的其他性质：1.f(0)+f(1)+f(2)+f(n)=f(n+2)-1 2.f(1)+f(3)+f(5)+f(2n-1)=f(2n)-1 3.f(0)+f(2)+f(4)+f(2n)=f(2n+1)-1 4.f(0)2+f(1)2+f(n)2=f(n) f(n+1) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -5.f(0)-f(1)+f(2)-+(-1)n f(n)=(-1)n f(n+1)-f(n)