必修知识点和例题(含答案)

1、2.1.1 平 面1.平面：平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念）。平面的基本特征是无限延展性。2.平面的画法及表示 （1）平面的画法：平面通常画成平行四边形，平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图1。如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图2. 图1 图2（2）平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母、的前面加“平面”二字，如平面、平面、平面等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图3)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图4）；（3）用表示平行

2、四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图4）. 图3 图43.点与平面的关系及其表示方法（平面内有无数个点，平面可以看成点的集合. ）点A在平面内，记作： 点B在平面外，记作：4.平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 作用：判断直线是否在平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面，使A、B、C 作用：确定一个平面的依据. 3个推论： 推论1：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面. 推论2：经过两条平行直线，有且只有一个平面. 推

3、论3：经过两条相交直线，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号表示为：P =>=L，且PL 作用：判定两个平面是否相交的依据 课堂练习1.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？2 求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.3.在正方体中，（1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？（3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线. 解：（1）在正方体中， 由公理2的推论可知，与可确定平面，与在同一平面内. （2）点不共线，由公理3可知，点可确定平面， 点在同一平面内. （3）

4、， 点平面，平面，又平面，平面， 平面平面，同理平面平面4.已知ABC三边所在直线分别与平面交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.解：如图13,A、B、C是不在同一直线上的三点,过A、B、C有一个平面.又AB=P，且AB,点P既在内又在内.设=l,则Pl,同理可证：Ql,Rl,图13P、Q、R三点共线.2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1.空间中两条直线的位置关系共 面 直 线 相交：同一平面内，有且只有一个公共点平行：同一平面内，没有公共点异 面 直 线：不同在任何一个平面内，没有公共点2.异面直线（1）概念：不同在任何一个平面内的两条直线.（2）判断：下列各图中直线l与m是异

5、面直线吗? （3）画法：用一个或两个平面衬托 （4）辨析空间中没有公共点的两条直线是异面直线.分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线.不同在某一平面内的两条直线是异面直线.平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线. 既不相交，又不平行的两条直线是异面直线 .注意：判断异面直线的关键：既不相交，又不平行.3公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c是三条直线 注：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间此性质都适用；公理4作用：判断空间两条直线平行的依据.4. 异面直线所成的角（1）等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（2）异

6、面直线a、b所成的角：在空间中任取一点O，过点O分别引aa，bb，则a，b所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.（3）异面直线所成的角的范围：，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 注：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条异面直线互相垂直 , 记为a b；在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)。求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算.课堂练习1.直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线?D1C1B1A1CABD12. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，（1）哪些棱所在

7、的直线与直线BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。（3）哪些棱所在的直线与直线A1B垂直BCADEF3.在空间四边形ABCD中, E、F分别是AB、CD中点, 且EF=5 , 又AD=6, BC=8. 求AD与BC所成角的余弦值.4.如图中，正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如图，连结DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45°， AB1 和CC1所成的角是45°.（2

8、）如图，连结DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直线AB1和EF所成的角. A1DC1是等边三角形， A1DC1=60º，即直线AB1和EF所成的角是60º.5.如图，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=AD，求异面直线AD和BC所成的角.ABDCEF6.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交7.若a和b异面，b和c异面，则（ ）A.ac B.a和c异面C.a和c相交 D.a与c或平行或相交或异面7.设空间四边形ABCD，E、F、G

9、、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB=，CD=，且HG·HE·sinEHG=，求AB和CD所成的角.解：由三角形中位线的性质知，HGAB，HECD，EHG就是异面直线AB和CD所成的角.由题意可知EFGH是平行四边形，HG=，HE=，HG·HE·sinEHG=sinEHG.sinEHG=.sinEHG=.故EHG=45°.AB和CD所成的角为45°.2.1.3、2.1.4直线与平面、平面与平面的位置关系1直线与平面有三种位置关系：直线在平面外a（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直

10、线在平面平行 没有公共点a a=A a2两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行 没有公共点（2）两个平面相交 有且只有一条公共直线L = L注：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.课堂练习1.若直线a不平行于平面,且a,则下列结论成立的是( D )A.内的所有直线与a异面 B.内的直线与a都相交C.内存在唯一的直线与a平行 D.内不存在与a平行的直线2.若直线a,则下列结论中成立的个数是( A )(1)内的所有直线与a异面 (2)内的直线与a都相交 (3)内存在唯一的直线与a平行 (4)内不存在与a平行的直线A.0 B.1 C.2 D.33.若两条异面

11、直线中的一条在平面内，讨论另一条直线与平面的位置关系.4.已知a,b,c为三条不重合的直线，为两个不重合的平面。则正确的是 ab, b c a b a ,b ab a c , c a a, a 5.下列命题中正确的个数是（ ）若直线L上有无数个点不在平面a内，则La，(2)若直线L与平面a平行，则L与平面a 内的任意一条直线都平行，(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行，(4)若直线L与平面a平行，则L与平面a内任意一条直线都没有公共点（A）0 (B) 1 (C) 2 (D)36.已知=l,a且a,b且b,又ab=P. 求证：a与相交,b与相交.证明：如图14,ab=P,Pa,Pb.又